求椭圆及双曲线的离心率的习题(最新整理)

求椭圆的离心率
1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其
纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率． e ＝.
2
353
2、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且＝2BF
，则C 的离心率为________．解析：答案：
FD
33
3、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且＝2BF
，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)不妨设B 为
FD 22
x a
22
y b
上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由＝2，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，
BF FD
即，解得，D (，－)．
2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩32
2c x b
y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩32c 2b 由D 在椭圆上得：＝1， ∴＝
，∴e
＝.
22
22
3()()22b c a b -+
2
2
c a
13c
a
4、设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l
的倾斜角为60o ,
2AF FB =
.
椭圆C 的离心率
；
解：设
1122(,
),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜
0，2y ＞0.直线l 的方程为 )y x c =-，其中
c
=.联立2222),1
y x c x y a
b ⎧
=-⎪⎨+=
⎪⎩得22224
(3)30
a b y cy b ++-=解得12
y y ==
因为2AF FB =
，所以122y y -=.
即
2=得离心率
2
3
c e a =
=. 5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．
6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＋＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M
x 2a 2y 2
b
2为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________． 答案：
63
7．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )
A. B. C. D. ，故选B.15254
5215
8、设椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B
x 2a 2y 2
b
2两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝.
3
3
9．椭圆（）的两个焦点分别为、，以、为边作正三角形，若椭
22
221x y a b
+=0a b >>F 2F 1F 2F 圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为
（
B ）
e
A B C ．
D 1-4(2-10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.22241232
11、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.
联立可得P .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，(
2ac a ＋c ，
b （a －
c ）
a ＋c
)
所以＝，＝.PB 1→ (
－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c )
PA 2→ (
a （a －c ）a ＋c ，
－b （a －c ）a ＋c
)
因为∠B 1PA 2为钝角，所以·<0， 即＋<0.
PA 2→ PB 1
→ －2a 2c （a －c ）（a ＋c ）22ab 2（a －c ）（a ＋c ）2
化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故＋－1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以
(c a )
2 c a 5－12
<e <1
求双曲线的离心率
1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心
率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e ＝3
26a c c
a
2、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.＋1 B.＋1 C ．2 D ．2 选B
32323、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±x ，则该双曲线的离心率e 等于( )
1
2
A ．5 B. C. D. 选C
5525
4
2.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近
线的交点分别为,B C ．若1
2
AB BC =
，则双曲线的离心率是
( )
A
B
C D 【解析】对于
(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为
B ，
C ，
22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭
，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=-
⎪
--++⎝⎭ ，因此222,4,AB
BC a b e =∴=∴=
C
4、设F 1，
2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，x 2a 2y 2
b
2且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. B ．2 C. D ．2353如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°， 解得e ＝c a
＝.
35、过双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两
x 2a 2y 2
b
2点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a ＋c ＝，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2
a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，
b 2
a。