(江苏专用)2018版高考数学大一轮温习 第二章节 函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数讲义 文 苏教

a 3 2 6 b2 3 6

1.
a
思维升华
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利 用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算 的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负 指数.
(1)n an＝(n a)n＝a.( × )
(2)分数指数幂
a
m n
可以理解为mn 个
a
相乘.(
×
)
2
1
(3) (1)4 ＝(1)2＝ －1.( × )
(4)函数y＝a－x是R上的增函数.( × ) (5)函数y＝ax2 1 (a>1)的值域是(0，＋∞).( × ) (6)函数y＝2x－1是指数函数.( × )
u在R上为减函数，
∴函数f(x)＝ (1 )x2 2x1 的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间. 2
又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，
∴f(x)的减区间为(－∞，1].
引申探究 函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是_[_0_，__＋__∞__)_. 答案 解析
设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)， 令2x≥1，得x≥0， ∴函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞).
命题点2 复合函数的单调性
例4 (1)已知函数f(x)＝ 2|2x－m| (m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增
函数，则m的取值范围是__(－__∞__，__4_]__.
答案 解析
令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[ m ，＋∞)上单调递增， 2
在区间(－∞，m ]上单调递减. 2
考点自测
1.(教材改编)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点P(2，1 )，则f(－1)＝ 2
__2__.
答案 解析
由题意知12＝a2，所以 a＝ 22， 所以 f(x)＝( 22)x，所以 f(－1)＝( 22)－1＝ 2.
2.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标 为__(2_，__3_)__.
课时作业
1.(2016·苏州模拟)设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为___2_7__.
答案 解析
∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3， ∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y， 解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
(2)设函数f(x) 12x－7，x<0，＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是_(_－__3_，__1_)_.

x，x≥0，
答案 解析 几何画板展示
当a<0时，不等式f(a)<1可化为( 1 )a－7<1， 2
即(12)a<8，即(12)a<(12)－3，所以a>－3. 又a<0，∴－3<a<0. 当a≥0时，不等式f(a)<1可化为 a <1. 所以0≤a<1，综上，a的取值范围为(－3，1).
2.函数f(x)＝2|x－1|的图象是___②___.
答案 解析
∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除③、④. 又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除①.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3.已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系为_a_>_b_>_c_.
a 2. 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的 图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(3)过定点_(_0_，__1_)_
(4)当x>0时， y>1 ； 性质 当x<0时，_0_<_y_<_1_
(5)当x>0时， 0<y<1 ； 当x<0时，_y_>_1_
(6)在(－∞，＋∞)上是_增__函__数__ (7)在(－∞，＋∞)上是_减__函__数__
知识拓展
1.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， (－1，1 ).
2x0 1
1 1 2x0，即x0＝log2
2 时， 3
两图象相交，
由图象可知，当x<log2
2 时，f(x)>f(x＋1)； 3
当x＝log2
2 时，f(x)＝f(x＋1)； 3
当x>log2
2 3
时，f(x)<f(x＋1).
(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2的零点的个数. 解答
将g(x)＝f(x)－x2的零点个数问题转化为函数f(x)与y＝x2的图象的交点 个数问题， 在同一坐标系中，分别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图象(图略)， 有四个交点，故g(x)有四个零点.
(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于 0 ；0的
负分数指数幂 没有意义 .
(2)有理数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)t＝atbt，其中s，
t∈Q，a>0，b>0.
2.指数函数的图象与性质 几何画板展示
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
(1)_R__ (2)_(_0_，__＋__∞__)_
答案 解析
由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数， 所以0.40.2>0.40.8，即b>c. 又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1， 所以a>b，综上，a>b>c.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x2＋x－1120x≤≥x1<1，，设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则 b·f(a)的取值范围是__[34_，__2_)__.
答案 解析 几何画板展示
函数的图象如图所示. 因为a>b≥0，f(a)＝f(b)， 所以0.5≤b<1且1.5≤f(a)<2. 所以0.75≤bf(a)<2.
命题点3 函数的值域(或最值) 例5 (1)函数y＝14x－12x ＋1在区间[－3，2]上的值域是__34_，__5_7__.
答案 解析
因为x∈[－3，2]，所以若令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.
跟踪训练1
化简
(
1

)
1 2
4

( 4ab1 )3
1
(0.1)1 (a3 b3)2
8 ＝___5__.
答案 解析
原式＝2×
3
23 a 2
3
3
b 2
3
＝21＋3×10－1＝ 8 5
.
10 a 2 b 2
题型二 指数函数的图象及应用 例2 已知f(x)＝|2x－1|. (1)求f(x)的单调区间； 解答
(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14， 则a的值为_13_或___3_.
答案 解析
思维升华
(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值 范围，并在必要时进行分类讨论. (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶 性的求解方法，要化归于指数函数来解.
答案 解析
由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1， ∴1<a2<2，即 1<a< 2或－ 2<a<－1.
题型分类 深度剖析
题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：
1
2
(1) [(0.0645 )2.5 ]3 －
3
3 38
－π0；
解答
原式＝{[(
64
1
)5
5 2
] 2 }3
而y＝2t为R上的增函数，
所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有
m 2
≤2，
即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)函数 f (x) (1)x2 2x1 的单调减区间为_(_－__∞__，__1_]_. 2
答案 解析
设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝
1 2

(
27
)
1 3
1
1 000
8

[(
4
) ]3
1( 5 ) 2 5 23
10

[(
3
)3
1
]3
2
1 ＝52－32－1＝0.
2
(a 3

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b1
)

1 2

1
a2
1
b3
(2)
.
6 a b5
解答
1 1 1 1
原式＝ a 3b2 a 2b3 15 a6b6
111 115
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝－12x，a≤x＜0， 的值域是[－8，1]， －x2＋2x，0≤x≤4
则实数a的取值范围是_[_－__3_，__0_)_. 答案 解析 几何画板展示
当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，
当a≤x＜0时，f(x)∈[－( 1 )a，－1)， 2
所以[－21a ，－1) [－8，1]，
555
又
c＝ (
3

)
3 4
2
<(32)0＝1，
∴c<b<a.
4.计算：(
3
)

1 3
2
×－760＋
1
84
×4
2－
(
2
)
2 3
3
＝__2___.
答案 解析
原式＝
(
3
)
1 3
×1＋ 2
3 4
1
24

(
2
)
1 3
＝2.
2
3
5.若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是 _(_－___2_，__－__1_)_∪__(1_，____2_) _.
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 指数函数单调性的应用 例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是___②_____.
①1.72.5>1.73；
②0.6－1>0.62；
③0.8－0.1>1.250.2；
④1.70.3<0.93.1.
答案 解析
②中，∵y＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.
由 f(x)＝|2x－1|＝21x－－21x， ，xx≥ <00， 可作出函数 的图象如图所示. 因此函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.
(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小； 解答 几何画板展示
在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x＋1)的
图象如图所示.
由图象知，当
现场纠错系列2 指数函数底数的讨论
典例 (2016·南京模拟)已知函数 y b ax22x (a，b为常数，且a>0，a≠1)
在区间[
－32
，0]上有最大值3，最小值
5 2
，
则a，b的值分别为________.
错解展示 现场纠错 纠错心得
与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.
§2.5 指数与指数函数
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.分数指数幂
m
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 a n ＝
n
am
(a>0，m，n∈N*，
且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规
1
m
定a n ＝
m
an
答案 解析
由a0＝1知，当x－2＝0， 即x＝2时，f(2)＝3， 即图象必过定点(2，3).
3.已知
a

(
3

)
1 3
,
b

(
3
)

1 4
,c

(
3
)

3
4，则a，b，c的大小关系是_c_<_b_<__a_.
5
5
2
答案 解析
∵y＝(35)x 是减函数，
∴
(
3
)
13＞(
3

)
1
4 ＞(
3)0
,
即a>b>1，
思维升华
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过 这些点，若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象 入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关 系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象， 数形结合求解.
即－8≤－
1 2a
＜－1，即－3≤a＜0，
所以实数a的取值范围是[－3，0).
(2)(2015·福建)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞) 上单调递增，则实数m的最小值等于__1__.
答案 解析
∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为x＝1， ∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)， ∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.