对教材例题“二次开发”的教学实践

对教材例题“二次开发”的教学实践
发布时间：2022-03-09T08:46:06.333Z 来源：《中小学教育》2022年第449期作者：雷敏乾[导读] 让学生在加深理解基础知识的同时，体验数学思想方法，进而逐步领悟数学的本质。

——以平面几何例习题教学为例
湖北省孝感市大悟县四姑镇中心初级中学432000
摘要：教材例题具有基础性、示范性和典型性，在教学设计中应正确体会教材的编写意图，弄清配备例题的功能，充分挖掘其潜在的价值.去探究题目源头，寻找变化规律、拓宽解题思路、总结解题方法、提炼数学思想，从多解、多变、多用等角度进行分析，使学生懂其原理、得其方法、通其变化。

关键词：教材例习题二次开发教学实践
一、问题提出
中考命题十分重视课本例题的开发和再利用。

例题教学是数学教学的重要组成部分，是帮助学生理解、掌握和运用数学概念、定理、公式和法则的重要教学环节，也是培养学生数学思维能力的重要途径。

在例题教学中，解题只是手段，教学的关键是要提高每一道例题的功效性，通过对例题解法探索，让学生在加深理解基础知识的同时，体验数学思想方法，进而逐步领悟数学的本质。

平面几何教学是初中数学教学的重点，也是培养学生逻辑推理能力的关键。

随着年级的升高，几何学习难度的逐步提升，学生明显感到几何学习的困难，初一上升到初二论证几何上表现得更为突出。

老师常有这样的困惑：同种类型的题目讲了许多遍，题目稍有变化，可是学生还是不会做，学生的解题能力得不到提高！学生也这样抱怨：巩固题做了千万道，数学成绩却迟迟得不到提高！出现上述情况涉及方方面面，但其中例题教学值得反思，课本的例题是数学知识由产生到应用的第一步，即所谓“抛砖引玉”，然而有时教学只是例题继例题，解题后并没有引导学生进行挖掘例题的内涵，因而学生的学习也停留在例题表层。

如何才能更好地挖掘例题的潜在教学资源，让学生明其理、得其法、通其变，真正理解数学、读懂数学，进而使学生数学思维能力得到提高？笔者谈谈在沪教版教学实践中的一些认识。

二、教学实践
1.重视基本图形的离析，提高解题效率。

几何基本图形是指教材中的几何定义、公理、定理、推论或典型例题、习题中所对应的几何图形，我们把它叫做基本图形。

任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的，将一个复杂的图形中的基本图形“离析”出来，是解决问题必须具备的重要能力之一，而这种“离析”是在真正理解基本图形的基础上。

【案例1】
例如，如图27.2—11，Rt△ABC中，∠C=90o,AB= 10, AC=8,E是AC上一点，AE=5,ED⊥AB, 垂足为D，求AD的长。

(人教版九年级数学教材上册第35页)
师：要求AD,此题只有几个三角形？
生：△ADE与△ACB。

师：它们相似吗？具备的条件呢？
此题的难度不大，学生能很容易解答出来。

待学生解答完毕后，直接提出问题：若将点E沿AC向上移动到与点C重合，仍保持ED⊥AB,如图，就变成教材第36页的练习第2题的图了，就让学生解的此题。

如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，求证：(1)△ACD∽△ABC, (2)△CBD∽△ABC 可以将△ADE沿直线AB的方向向右平移，使点A与B重合，如图,那么△ACD与△EAF是否仍然相似呢？学生能很轻松解答完成。

通过例题变式到习题，再通过平移演变到两个图形在直线BC上有三个相等直角时，甚至演变成将直角都变成相等的锐角，例：已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P、D分别在BC、AC上，BP＝12，∠1＝∠B．
求：CD的长。

此题的难度比前面的加大了。

师：我们在审题的过程中你能猜测出哪些三角形是相似的？
生：△ABP与△PCD。

师：△ABP与△PCD相似已经具备了哪些条件？还缺什么条件？如何得到？
生：已经具备了∠B＝∠C，还缺一对角相等或对应边成比例。

利用三角形的外角性质: ∠APC=∠1+∠2=∠B +∠3。

又∵∠1＝∠B．∴∠2=∠3。

从而证得到两个三角形相似。

后面解答过程略：
共同特点是在直线BC上有三个相等的角时，往往存在一对相似三角形。

我们称作为“一线三等角”，这一基本图形的应用很广。

教学中带领学生领悟这个基本图形，对于较复杂问题的解决将会起到事半功倍的效果。

为了强化学生对“一线三等角”基本图形的掌握，在作业中设计中对课本例题进行改编以巩固“一线三等角”这个基本图形的应用。

应用：如图，在等边三角形ABC的AB边上取一点P，把△ABC进行折叠，使点C 落在点P上，折痕是EF，求证：AP·BP=AE·BF。

析：因为△ABC是等边三角形，所以∠A =∠B=∠ACB，
若把∠ACB翻折至点P，则∠ACB=∠FPE，形成了同一直线上∠A=∠FPE=∠B。

证出△AEP∽△CEF。

由相似三角形的性质得到对应线段成比例，从而使问题得证。

由于课堂上已经对例题进行了归纳和总结，学生真正理解了“一直线上的三等角”这一基本图形，学生在实践中都能很快地辨析出基本图形，使课本例题真正地起到了示范作用。

2.坚持“一题多解”训练，培养学生思维灵活性。

“一题多解”，即同一个问题，用不同的方法和途径来解决。

引导学生对典型例题进行一题多解，并且重视不同解法的由来，通过对各种解法进行总结，进一步拓宽解题思路，沟通各知识点的内涵和外延，培养学生发散性和创造性思维。

教学过程中，教师要关注学生的求异思维，引导学生从不同角度进行类比联想，形成多角度、多方位砂认识和处理问题的习惯。

已知：如图∠B=∠C=90°,E为BC中点，DE平分∠ADC
求证：AE平∠BAD．(提示：过点E作EF⊥AD于F)(八年级下册教材52页)
师：已知条件中有，∠B=∠C=90°则BC⊥CD, BC⊥AB由作辅助线可得EF⊥AD。

生：通过“角平分线的定理和逆定理”证明。

请学生简要说明过程。

师：还有其它方法吗? 若忘记角平分线的定理和逆定理呢？
生：由已知条件中的E为BC中点,引导学生分别延长DE和AB,交于点M，可证得DE=EM,∠ADM=∠AMD,再得AD=AM由等腰三角形的：“三线合一”即得证。

证明略。

这是一道梯形的经典问题，两种解法不仅使解题方法多样，符合“不同的学生在数学学习上有不同的发展”的理念，而且综合复习角平分线的定理和逆定理，等腰三角形的重要性质，全等三角形等重要知识点。

这样引导学生从同一例题中探求不同的解法，有利于克服思维定势，促进学生数学思维能力的发展同时可以得到梯形添加辅助线的方法：
(1)过点E作垂线，运用角平分线的定理和逆定理(2)由腰的中点构造中心对称的全等三角形；尽管方法②要复杂点，但一题多解使学生的思维活跃起来，潜能得以充分的挖掘，使课堂上气氛活跃，也可让学生直接写出DE⊥AE的位置关系，线段AD=AB+CD，达到一举多得的意想不到的效果。

提高了课堂实效，发展了学生思维能力，提升了学生解决问题的能力。

在不增加学生负担的情况下开拓了学生的解题思路，复习了旧知识，帮助他们发现知识的内在联系，融会贯通知识网络，有利于培养学生思维的灵活性。

3.基于“母题”的变式训练，培养学生思维的探索性和深刻性。

变式训练是指在教学中从一道母题出发，通过改变母题的条件、问题或改变母题设计的数学情境，重新进行探讨的一种教学方法．就是要利用教材，对例题进行不同角度，不同层次、不同情形、不同背景的变式，一题多用，做到变中求活、变中求新、变中求异、变中求广，对知识进行总结升华或者引入“课外”知识，化难为简。

对例题的变式研究不是解决一个问题，而是解决一类问题，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。

【案例2】
如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC,例题是通过作∠BAC的平分线AD, 通过证△ABD≌△ACD即得证。

(八年级上册第77页)若已知条件改为：如图,点D在边BC上,BD=CD, ∠1=∠2。

求证: AB=AC。

师：如何证AB=AC。

是否条件已经具备证全等呢？
生：证△ABD与△ACD全等。

(许多学生立即说边边角不能证全等)。

师：如何使∠1与∠2转化到同一个三角形？大家可以分组讨论。

(学生活动：讨论添加辅助线的方法)
生：延长AD到点E,使DE=AD,联结CE。

可证得△ABD与△CDE全等,得到AB=CE,∠1=∠E,又∵∠1=∠2，∴∠2=∠E，∴CE=AC,从而结论得证。

师：非常好，这样添置辅助线，实质上是利用了图形的哪种运动？
生：旋转，把△ABD绕点Ｄ旋转180°后得到△ECD,可得两个全等的三角形，使∠1与∠2转化到同一个三角形中解决问题。

师：利用图形的旋转，把中线延长一倍的方法称“倍长中线法”，它是常见的基本的添辅助线的方法之一．
过程略
变式：已知：如图，在△ABC中，D是线段BC 的中点，P是线段AD上一点，∠1=∠2。

求证：PB=AC。

师：观察变式和例题有什么不同和哪些区别。

生：不同点：△ABC不是等腰三角形。

相同条件：D是线段BC的中点；∠1=∠2。

师：能用“倍长中线法”添辅助线吗？
学生思考片刻。

生1：能。

延长AD到点E,使DE=AD,联结BE。

可证得△ACD与△BDE全等,得到AC=BE, ∠2=∠E,又∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴BP=BE,从而结论得证。

生2：还有另外一种方法，延长AD到点E,使DE=PD,连接CE。

可证得△ECD与△BDP全等,得到CE=BP, ∠1=∠E,又∵∠1=∠2，∴∠2=∠E，
∴AC=CE,从而结论得证。

师：非常棒！再看这两种添加辅助线的实质是什么？
生：生1是把△ACD绕点Ｄ旋转180°后得到△ECD,可得两个全等的三角形，使∠1与∠2转化到△BPE中解决问题。

生2是把△BDP绕点Ｄ旋转180°后得到△ECD,可得两个全等的三角形，使∠1与∠2转化到△ACD中解决问题，实质上两种辅助线的填法都是“倍长中线法”的应用。

变式练习让学生在解决问题的过程中再次体验“倍长中线法”的应用，感悟“倍长中线法”的用法，促进学生对数学新知的理解，同时又能提高学生学习数学的兴趣。

例题和变式的图形未变，只是条件和结论进行互换，例题已知等腰三角形中的两等角或中线和三角形的角平分线求证平行，变式已知三角形的角平分线和角平分线的平行线求证等腰三角形，继续引导学生若已知三角形的角平分线和角平分线的平行线则有结论等腰三角形。

反思解题的思路和过程，实际上揭示了在特定条件下，三角形的角平分线、角平分线的平行线、底边的中线等腰三角形条件中知道其中任两个，第三个则为结论。

在例题教学中引导学生反思题目条件和结论，改变问题的条件和结论来构造出充满生机的“新题”，引导学生在学习中也要学会“变题”使学生自己探索、分析、综合，进一步加深数学知识之间的内在联系，归纳出解题的本质。

发掘题目的内涵和外延，增强学生运用知识的能力，培养学生思维的探索性和深刻性。

三、实践反思
1.正确理解教材。

数学教育家波利亚指出的：“一个有责任性的教师穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生的解题过程中，提高他们的才智和解题能力。

” 例题是经过众多专家敲打锤炼筛选出来的，具有基础性、示范性和典型性。

因此要吃透例题，正确体会教材的编写意图，弄清配备例题的功能，在教学设计中充分挖掘其潜在的价值，遵循从理解到巩固再深化的规律，把每一个例题当成一个课题去研究。

在案例1中通过对例题、变式图形的分析引导学生发现基本图形，从而归纳出此类习题的通性通法。

补充的课后习题加深了对新知识的巩固。

基于对教材理解的基础上，对课本例题进行适当的变式提升了课堂教学效益，取得了满意的结果。

案例4中通过对例题中的条件和结论对换，引导学生发现此类题目的解题规律，有效地利用了例题资源使教学效果收到了事半功倍的效果。

2.合理超越教材。

新课程的理念认为，数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求教师应该在教学中创造性地使用教材，发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。

合理地超越教材是在明确教材的内涵基础上，在把握好教材内容
的前提下，对知识加以提高和升华。

这要求教师不能拘泥于教材，要跳出教材，站在更高的角度，将教材内容进行重组、挖掘、延伸、开发，不但实现量上的扩展，还应实现在质上的飞跃升华，让例题成为学生能力发展的策源地，进而实现超越教材。

在案例3中“倍长中线法”在是等腰三角形背景下添加的辅助线，辅助线的添法对于学生来讲比较难理解，当改为一般的三角形为背景时，适当地加深了题目的难度，使学生更深入理解“倍长中线法”的内涵。

有效地突破了本节课的重难点，从而使学生扎实地掌握了数学知识，发展了逻辑思维能力。

课本是众多教材编写者智慧的结晶，是每年中考试题命题的“源”，它们大多以课本上的例题、习题为“根”，通过对课本上的例题习题加工、综合、类比、拓展而来。

例题是数学教材的核心内容，它具有典型性、规范性，它能让学生由例及理、由例及法、由例及类，举一反三、触类旁通，能让老师疏理出新的知识点，能让老师在教学设计中始终把握教学重难点，确立教学目标及构思教学设想。

所以教师要深刻地理解教科书，善于对这类例题进行挖掘，以例题为载体，挖掘知识表层下的数学内涵，去探究题目源头、寻找变化规律、拓宽解题思路、总结解题方法、提炼数学方法，从多解、多变、多用等角度精心去备课，使学生懂其原理、得其方法、通其变化．这样才能以学生的发展为本，把全面实施素质教育、培养学生创新精神和实践能力落到实处。

参考文献
[1]张洪波提炼基本模型探究解题规律。

数学教学，2015，4。

[2]刘永忠对教材习题价值挖掘的实践。

中小学数学，2015，4。

[3]周林祥一道错题的剖析与再变。

上海中学数学，2013，3。

[4]庞彦福初中数学有效教学。

北京师范大学出版社。

[5]陈峰理解教材运用教材超越教材。

中学数学教材参考。