学案9：1.3.2 杨辉三角

1.3.2 杨辉三角
学习目标
1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律.(难点)
2.掌握二项式系数的性质及其应用.(重点)
3.掌握“赋值法”并会灵活运用. 基础·初探
教材整理1 杨辉三角 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 .
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，即 . 预先自测
1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________.
1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 2
2 18 9
2.如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶
3.
1 1 1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 6 4 1
……
教材整理2 二项式系数的性质
1.每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.
2.每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等.
3.如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项T n
2＋1的二项式系数最大；如果n
是奇数，那么其展开式中间两项T n ＋12与T n ＋1
2＋1的二项式系数相等且最大.
4.二项展开式的二项式系数的和等于2n . 预习自测
1.已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于________.
2.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________.
3.(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________.
合作探究
类型1 与“杨辉三角”有关的问题
例1如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值.
名师指导
“杨辉三角”问题解决的一般方法
观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.如表所示：
跟踪训练
1.如图所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”.
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________.
类型2 求展开式的系数和
例2设(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017·x2 017(x∈R).
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 017的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 017|的值.
名师指导
1.解决二项式系数和问题思维流程.
2.“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
跟踪训练
2.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
探究共研型
探究点二项式系数性质的应用
探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
探究2计算C k n
C k－1
n
，并说明你得到的结论.探究3二项式系数何时取得最大值？
例3已知f(x)＝(3
x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
名师指导
1.求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情
况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得. 跟踪训练 3.已知(a 2＋1)n
展开式中的各项系数之和等于⎝
⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的
展开式的系数最大的项等于54，求a 的值. 课堂检测 1.(1＋x )2n
＋1
的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )
A.n ，n ＋1
B.n －1，n
C.n ＋1，n ＋2
D.n ＋2，n ＋3
2.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5
n 的值等于( )
A.64
B.32
C.63
D.31
3.若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________.
4.已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.
5.在⎝⎛⎭⎫x －2
x 28的展开式中， (1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项.
参考答案
基础·初探
教材整理1 杨辉三角 (1)1 相等
(2)和 C m n ＋1＝C m －
1
n ＋C m n
预先自测
1.【答案】 2n －1
【解析】 由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 2.【答案】 34
【解析】 设第n 行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，
则3C 13n ＝2C 14n
， 即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！， 解得n ＝34.
教材整理2 二项式系数的性质 1. 1 它“肩上”两个数的和 2. “等距离” 4. 2n 预习自测 1.【答案】 8
【解析】 因为只有第5项的二项式系数最大，所以n
2＋1＝5，所以n ＝8.
2.【答案】 5
【解析】 二项式系数之和为C 0n ＋C 1
n ＋…＋C n n ＝2n ＝32，所以n ＝5.
3.【答案】 1－3102
【解析】 因为(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1， 再令x ＝－1，得
310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10， 两式相减，可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－310
2.
合作探究
类型1 与“杨辉三角”有关的问题
例1 解：S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14
＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312
＝(2＋10)×92＋220＝274. 跟踪训练
1.【答案】 46 n 2－n ＋2
2
【解析】 由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46， 第n 行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋2
2.
类型2 求展开式的系数和 例2 解：(1)令x ＝1，得
a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.② ①－②得
2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 017
2
.
(3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 017·(2x )r
，
∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ). ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017. 跟踪训练
2.解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1；
令x ＝1，得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.
(2)令x ＝－1，得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256.
(3)由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7， ∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128.
探究共研型
探究点 二项式系数性质的应用
探究1 【提示】 对称性，因为C m n ＝C n －m
n
，也可以从f (r )＝C r n 的图象中得到.
探究2 【提示】 C k n
C k －1n
＝n －k ＋1k .
当k <n ＋12时，C k n
C k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k >n ＋12
时，二项式系数逐渐减小.
探究3 【提示】 当n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项1
2C
n n
，
12
C
n n
+ 相等，且同时取得最大值. 例3 解：令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，
∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.
(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(
2
3
x )3(3x 2)2＝90x 6，
T 4＝C 35(2
3x )2(3x 2)3
＝27022
3x .
(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·2
3x (5＋2r ).
假设T r ＋1项系数最大，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
C r 53r ≥C r －
15·3r －
1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
5！(5－r )！r ！×3≥5！
(6－r )！(r －1)！
，
5！(5－r )！r ！≥5！
(4－r )！(r ＋1)！×3，
∴⎩⎨⎧
3
r ≥1
6－r ，
15－r ≥
3
r ＋1.
∴72≤r ≤9
2
，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 452
3x (3x 2)4
＝405x 26
3. 跟踪训练
3.解：由⎝
⎛⎭⎫165x 2＋1
x 5，得
T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭
⎫1655－r ·C r 52052
r
x -， 令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0， 所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165
＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ， 由此得到2n ＝16，n ＝4.
所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4
＝54，所以a ＝± 3.
课堂检测 1.【答案】 C
【解析】 该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项. 2.【答案】 B
【解析】 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729， ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.
3.【答案】 5
【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x
＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5. 4.【答案】 1
【解析】 (a －x )5展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5a
5－
r x r ， 令r ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，
解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.
5.解：T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝⎛⎭
⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 8
2r 524r x -. (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大.
则⎩
⎪⎨⎪⎧
C r 8·2r ≥C r ＋1
8·2r ＋1
，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴
⎩⎨⎧
18－r ≥2r ＋1
，2r ≥19－r .
解得5≤r ≤6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项. 所以
T 5＝C 48·24
·
20
2
4x
-＝1 120x －
6.
(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正.
则系数最大的项为T 7＝C 68·26
·x
－11
＝1 792x
－11
.
(4)系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25
17
2
x
-x －172
＝－1 79217
2x -.。