通用2018高考数学二轮复习练酷专题小题押题16_9三角恒等变换与解三角形课件文

解析：因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理 得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0， 所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1， 3π 因为A∈(0，π)，所以A＝ ， 4 2 2× 2 1 c· sin A 由正弦定理得sin C＝ a ＝ ＝ ， 2 2 π π 又0＜C＜ ，所以C＝ . 4 6
a2＋c2－b2 a2＋4a2－2a2 3 得b＝ 2a，∵cos B＝ ＝ ＝ ， 2ac 4a2 4 ∴sin B＝
3 1－42＝
7 . 4
答案：A
2．(2017· 南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( 1 A． 2 C．1 1 B． 4 D．2 )
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； a b c sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； 正弦 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； 定理 asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； a＋b＋c ＝2R sin A＋sin B＋sin C b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 cos B＝ 2ac ； 余弦 cos A＝ 2bc ； 定理 a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
答案：B
6．(2016· 全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， 2 c，已知a＝ 5，c＝2，cos A＝ ，则b＝ 3 A. 2 C．2
2
(
)
B. 3 D．3
2 解析：由余弦定理得5＝b ＋4－2×b×2× ， 3 1 解得b＝3或b＝－ (舍去)． 3 答案：D
7．(2016· 全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， 4 5 c，若cos A＝ ，cos C＝ ，a＝1，则b＝________. 5 13 4 5 解析：因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝ ，cos C＝ ， 5 13
11．(2014· 全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A， B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)· sin
C，则△ABC面积的最大值为________．
解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)· (a－b)
2 2 2 b ＋ c － a 1 2 2 2 ＝(c－b)c，即b ＋c －a ＝bc，所以cos A＝ ＝ ， 2bc 2
解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°， 45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v AD AD m/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中AB＝ ＝ ＝200. cos∠BAD cos 60° AD 100 在Rt△ADC中，AC＝ ＝ ＝100 2 .在△ABC中， cos∠CAD cos 45° 由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC· AB· cos∠BAC，所以(14v)2 50 10 ＝(100 2 ) ＋200 －2×100 2 ×200×cos 135°，所以v＝ 7
π π αcos ＋sin αsin 4 4
3 10 答案： 10
2 5 2 5 3 10 ＝ × ＝ . 2 5 ＋5 10
考查点二
利用正、余弦定理解三角形及应用
5．(2017· 全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝ 2， 则C＝ π A. 12 π C. 4 π B. 6 π D. 3 ( )

10．(2014· 全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是 2，则AC＝ B. 5 C．2 1 1 解析：由题意可得 AB· BC· sin B＝ ， 2 2 A．5
1 ，AB＝1，BC＝ 2 ( D．1 )
2 又AB＝1，BC＝ 2，所以sin B＝ ， 2 所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时， 由余弦定理可得AC＝ AB2＋BC2－2AB· BC· cos B ＝1，此时 AC＝AB＝1，BC＝ 2 ，易得A＝90°，与“钝角三角形”条 件矛盾，舍去．所以B＝135°. 由余弦定理可得AC＝ AB2＋BC2－2AB· BC· cos B＝ 5. 答案：B
8．(2014· 全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的 山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°， C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠ MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
MA 解析： 在三角形 ABC 中， AC＝100 2， 在三角形 MAC 中， sin 60° AC MN ＝ ，解得 MA＝100 3，在三角形 MNA 中， ＝sin sin 45° 100 3 3 60°＝ ，故 MN＝150，即山高 MN 为 150 m. 2
2

π 4．(2017· 全国卷Ⅰ)已知α∈0，2 ，tan
π α＝2，则cosα－4 ＝
________.
π 解析：∵α∈0，2 ，tan
α＝2，
2 5 5 ∴sin α＝ ，cos α＝ ， 5 5
π ∴cosα－4 ＝cos
2．三角形的面积公式 1 1 1 (1)S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B. 2 2 2 abc (2)S△ABC＝ (R为其外接圆半径)． 4R 1 (3)S△ABC＝ (a＋b＋c)r(r为其内切圆半径)． 2
[题组突破] 1．(2017· 张掖模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a， 1 b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝ asin C，则sin B的值为( 2 7 1 C. D. 3 3 1 解析：由bsin B－asin A＝ asin C，且c＝2a， 2 7 A. 4 3 B. 4 )
π 3 3．(2016· 全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin θ＋4 ＝ ，则 5 π tanθ－4 ＝________. π 3 解析：由题意知sinθ＋4 ＝ ，θ是第四象限角， 5
π 所以cosθ＋4 ＝
π 4 1－sin θ＋ 4 ＝ . 5 π π π tanθ－4 ＝tanθ＋4 －2 π cosθ＋ 4 1 ＝－ ＝－ π π tanθ＋4 sinθ＋ 4 4 5 4 4 ＝－ × ＝－ . 答案：－ 5 3 3 3
查难度较大，是重点突破问题．
考查点一
三角函数的求值问题 ( )
4 1．(2017· 全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝ ，则sin 2α＝ 3 7 A．－ 9 2 B．－ 9 2 C. 9 7 D. 9
4 解析：将sin α－cos α＝ 的两边进行平方，得sin2 α－2sin 3 16 7 αcos α＋cos α＝ ，即sin 2α＝－ . 9 9 答案：A
答案：150
考查点三
三角形的面积问题
π 1 9．(2016· 全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝ ，BC边上的高等于 4 3 BC，则sin A＝ 3 A. 10 5 C. 5 10 B. 10 3 10 D. 10 ( )
解析：如图，AD为△ABC中BC边上的高． 1 1 π 设BC＝a，由题意知AD＝ BC＝ a，B＝ ， 3 3 4 1 2 易知BD＝AD＝ a，DC＝ a. 3 3 在Rt△ABD中，由勾股定理得， 1 1 2 2 2 a ＋ a ＝ AB＝ a. 3 3 3 1 2 5 2 2 a ＋ a ＝ a. 同理，在Rt△ACD中，AC＝ 3 3 3 1 1 ∵S△ABC＝ AB· AC· sin∠BAC＝ BC· AD， 2 2 1 2 5 1 1 ∴ × a× a· sin∠BAC＝ a·a， 2 3 3 2 3 3 3 10 ∴sin∠BAC＝ ＝ . 答案：D 10 10
解析：由cos 2A＝sin A，得1－2sin2A＝sin A，解得sin A 1 1 ＝ (负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝ bcsin 2 2 1 1 1 A＝ ×2× ＝ . 2 2 2
答案：A
3．(2017· 全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
2 2
≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
答案：22.6
[解题方略]
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次 式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一 次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑 两个定理都有可能用到． (2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定 理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等 变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一 角、统一函数、统一结构”．
3 12 所以sin A＝ ，sin C＝ ， 5 13 所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin 3 5 4 12 63 C＝ × ＋ × ＝ . 5 13 5 13 65 asin B 63 5 21 又a＝1，所以由正弦定理得b＝ ＝ × ＝ . sin A 65 3 13 21 答案： 13
2
1 2．(2016· 全国卷Ⅲ)若tan θ＝－ ，则cos 2θ＝ 3 4 A．－ 5 1 C． 5 1 B．－ 5 4 D． 5
(
)
cos2θ－sin2θ 1－tan2θ 解析：∵cos 2θ＝ 2 ＝ ， cos θ＋sin2θ 1＋tan2θ 1 1－ 9 4 1 又∵tan θ＝－ ，∴cos 2θ＝ ＝ . 3 1 5 1＋ 9 答案：D
π 又A∈(0，π)，所以A＝ ，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即 3 1 1 3 bc≤4，故S△ABC＝ bcsin A≤ ×4× ＝ 3 ，当且仅当b＝c 2 2 2 ＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为 3. 答案： 3
抓牢常考点——解三角形及其应用 1．正、余弦定理的常用变形
4．(2017· 福州模拟)如图，小明同学在山顶 A处观测到一辆汽车在一条水平的公路 上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公 路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝ 135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这 辆汽车的速度约为________ m/s(精确到0.1)． 参考数据： 2≈1.414, 5≈2.236.
命题规律分析 三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变 换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、 余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简． 三角恒等变换在高考中主要考查给角求值与给值求值，题目相 对比较简单；解三角形主要考查有两类：一是利用正、余弦定
理解三角形问题，二是解三角形的范围问题，在压轴小题中考
解析：法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，得 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A ＝sin(A＋C)＝sin B＞0， 1 因此cos B＝ . 2 π 又0＜B＜π，所以B＝ . 3
法二：由2bcos B＝acos C＋ccos A及余弦定理，得 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 b2＋c2－a2 2b· ＝a· ＋c· ， 2ac 2ab 2bc 整理得，a2＋c2－b2＝ac， 1 所以2accos B＝ac＞0，cos B＝ . 2 π 又0＜B＜π，所以B＝ . 3 π 答案： 3