陕西省西安市高一数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）
A．58 B．88 C．143 D．176
2．已知点（3，1）和点（﹣4.6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值X围是（）A．（ 7，24）B．（﹣7，24）C．（﹣24，7 ）D．（﹣7，﹣24 ）
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A．B．C．D．
4．下列各函数中，最小值为2的是（）
A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，2π）
C．y=D．y=+﹣2
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）
A．4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣8
6．若在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：6，则sinB等于（）
A．B．C．D．
7．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2012个圆中共有●的个数是（）A．61 B．62 C．63 D．64
8．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知2bsin2A=asinB，且b=2，c=3，则a等于（）
A．B． C．2 D．4
9．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33
10．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成
立，则（）
A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．用火柴棒按图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是．12．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为；则xy的最小值为．
13．已知实数x，y满足，则的取值X围是．
14．在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为．
15．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，面积的最大值为．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3=6，S5=15．
（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）求数列{}的前n项和T n．
17．解不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．
（1）求的值
（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．
19．某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数
分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？
四、解答题（共3小题，满分20分）
20．函数y=2﹣x﹣（x＞0）的值域为．
21．在△ABC中， =||=2，则△ABC面积的最大值为．
22．已知数列{a n}的首项为1，前n项和S n与a n之间满足a n=（n≥2，n∈N*）（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+S n）≥k对于一切n∈N*都成立，求k 的最大值．
2016-2017学年某某省某某市西北大学附中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）
A．58 B．88 C．143 D．176
【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．
【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，
∴a1+a11=a4+a8=16，
∴S11==88，
故选B．
2．已知点（3，1）和点（﹣4.6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值X围是（）
A．（ 7，24）B．（﹣7，24）C．（﹣24，7 ）D．（﹣7，﹣24 ）
【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】根据题意，若两点在直线两侧，则有（3×3﹣2×1+m）[3×（﹣4）﹣2×6+m]＜0，解可得m的取值X围，即可得答案．
【解答】解：因为点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，
所以，（3×3﹣2×1+m）[3×（﹣4）﹣2×6+m]＜0，
即：（m+7）（m﹣24）＜0，解得﹣7＜m＜24，
即m的取值X围为（﹣7，24）
故选：B．
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A．B．C．D．
【考点】HR：余弦定理；87：等比数列．
【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．
【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b=a，
=，
故选B．
4．下列各函数中，最小值为2的是（）
A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，2π）
C．y=D．y=+﹣2
【考点】7F：基本不等式．
【分析】通过举反例，排除不符合条件的选项A、B、C，利用基本不等式证明D正确，从而得出结论．
【解答】解：当x=﹣1时，y=x+=﹣2，故排除A．当sinx=﹣1时，y=sinx+=﹣2，故排除B．
当x=0时，y==，故排除C．
对于y=+﹣2，利用基本不等式可得y≥2﹣2=2，当且仅当x=4时，等号成立，故D满足条件，
故选：D．
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）
A．4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣8
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z对应的直线进行平移，可得当x=0且y=4时，目标函数取得最小值为﹣8．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，
其中A（0，4），B（1，3），C（2，4）
设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，
观察可得：当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z最小值=F（0，4）=﹣8
故选：D
6．若在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：6，则sinB等于（）
A．B．C．D．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可得a：b：c=3：5：6，设a=3k，b=5k，c=6k，k∈Z，由余弦定理可得cosB=，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．
【解答】解：在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=3：5：6，
∴a：b：c=3：5：6，则可设a=3k，b=5k，c=6k，k∈Z，
∴由余弦定理可得：cosB===，
∴由b＜c，B为锐角，可得sinB==．
故选：A．
7．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2012个圆中共有●的个数是（）A．61 B．62 C．63 D．64
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】将圆分组：把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组，那么每组圆的总个数就等于2，3，4，…，构成等差数列．根据等差数列的求和公式可以算出第2012个圆在之前有多少个整组，即可得答案．
【解答】解：根据题意，将圆分组：
第一组：○●，有2个圆；
第二组：○○●，有3个圆；
第三组：○○○●，有4个圆；
…
每组的最后为一个实心圆；
每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为
s n=2+3+4+…+（n+1）==
因为=1952＜2011＜=2015
则在前2012个圈中包含了61个整组，和第62组的一部分，
即有61个黑圆，
故选A
8．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知2bsin2A=asinB，且b=2，c=3，则a等于（）
A．B． C．2 D．4
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得：4sinBsinAcosA=sinAsinB，结合sinA≠0，sinB≠0，可求cosA的值，进而利用余弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵2bsin2A=asinB，
∴由正弦定理可得：4sinBsinAcosA=sinAsinB，
又∵A，B为三角形内角，sinA≠0，sinB≠0，
∴cosA=，
∵b=2，c=3，
∴由余弦定理可得：a===．
故选：B．
9．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．33
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．
故选：D．
10．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成
立，则（）
A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】此题新定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y），由题意（x﹣a）⊙（x+a）=（x﹣a）（1﹣x ﹣a），再根据（x﹣a）⊙（x+a）＜1，列出不等式，然后把不等式解出来．
【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
即x2﹣x﹣a2+a+1＞0
∵任意实数x成立，
故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0
∴，
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．用火柴棒按图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是a n=2n+1 ．
【考点】F1：归纳推理．
【分析】由题设条件可得出三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个，所以所用火柴棒数a n是一个首项为3，公差为2的等差数列，由此易得火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式
【解答】解：由题意，三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个，
所以所用火柴棒数a n与是一个首项为3，公差为2的等差数列
所以火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是a n=3+2（n﹣1）=2n+1
故答案为 a n=2n+1
12．若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为16 ；则xy的最小值为12 ．【考点】7F：基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．
【解答】解：∵x，y＞0，且+=1，
∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y取等号．因此x+3y的最小值为16．
∵x＞0，y＞0，且+=1，
∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．
则xy的最小值为12．
故答案为：16，12
13．已知实数x，y满足，则的取值X围是[，]．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率，
联立方程组求得A（3，﹣1），B（3，2），
又，．
∴的取值X围是[，]．
故答案为：[，]．
14．在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】根据正弦、余弦定理化简已知条件，然后利用基本不等式即可求出所求式子的最大值．
【解答】解：在三角形中，由正、余弦定理可将原式转化为：
ab•=ac•+bc•，
化简得：3c2=a2+b2≥2ab，
故≤，即的最大值为．
故答案为：
15．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，面积的最大值为9 ．【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式．
【分析】根据题意，由正弦定理分析可得三角形的面积S=absinC=ab，又由a+b=12，结合基本不等式的性质可得三角形面积的最大值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，△ABC中，，a+b=12，
则其面积S=absinC=ab≤（）2=9，
即三角形面积的最大值为9；
故答案为：9．
三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S3=6，S5=15．
（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）求数列{}的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）由a n=n，，利用裂项求和方法即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=6，S5=15．
∴3a1+d=6，5a1+d=15，
解得a1=d=1．
∴a n=1+n﹣1=n．
（2）由a n=n，，
则．
17．解不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）可化为0，令，解得a=±1．对a分类讨论：
当a＜﹣1或0＜a＜1时，当a=±1时，当a＞1或﹣1＜a＜0时，即可得出．
【解答】解：不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）可化为0，令，解得a=±1．
当a＜﹣1或0＜a＜1时，，因此原不等式的解集为．
当a=±1时，a=，因此原不等式的解集为∅．
当a＞1或﹣1＜a＜0时，a＞，因此原不等式的解集为．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．
（1）求的值
（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2．
（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理，则=，
所以=，
即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．
因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．
因此=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB=，b=2，
得4=a2+4a2﹣4a2×．解得a=1，从而c=2．
因为cosB=，且sinB==，
因此S=acsinB=×1×2×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19．某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．
【解答】解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，
约束条件是
目标函数是z=0.3x+0.2y
由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分
由z=0.3x+0.2y可得5z为直线z=0.3x+0.2y在y轴上的截距，截距最大时z最大．
结合图象可知，z=0.3x+0.2y在A处取得最大值
由可得A，此时z=80万
故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大．
四、解答题（共3小题，满分20分）
20．函数y=2﹣x﹣（x＞0）的值域为（﹣∞，﹣2]．
【考点】34：函数的值域．
【分析】利用基本不等式求出值域．
【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2=4，当且仅当x=即x=2时取等号，
∴2﹣x﹣=2﹣（x+）≤2﹣4=﹣2．
∴y=2﹣x﹣（x＞0）的值域为（﹣∞，﹣2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
21．在△ABC中， =||=2，则△ABC面积的最大值为．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式，以及余弦定理消去cosA，结合基本不等式的应用进行求解即可．
【解答】解：设A、B、C所对边分别为a，b，c，
由=||=2，得bccosA=a=2 ①，
=bc==，
由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=4②，
由①②消掉cosA得b2+c2=8，所以b2+c2≥2bc，bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，
所以S△ABC==，
故△ABC的面积的最大值为，
故答案为：．
22．已知数列{a n}的首项为1，前n项和S n与a n之间满足a n=（n≥2，n∈N*）（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+S n）≥k对于一切n∈N*都成立，求k 的最大值．
【考点】8H：数列递推式．
【分析】（1）数列{a n}的前n项和S n与a n之间满足a n=（n≥2，n∈N*），可得S n﹣S n
=，化为：﹣=2．即可证明．
﹣1
（2）由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得S n=．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1；n=1时，a1=1．
（3）1+S n=1+=．可得T n=（1+S1）（1+S1）…（1+S n）=××…×＞××…×=×…××（2n+1）=，可得：T n＞．即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n}的前n项和S n与a n之间满足a n=（n≥2，n∈N*），
∴S n﹣S n﹣1=，化为：﹣=2．
∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为1．
（2）解：由（1）可得： =1+2（n﹣1）=2n﹣1，可得S n=．
∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣．
∴a n=．
（3）解：∵1+S n=1+=．
∴T n=（1+S1）（1+S1）…（1+S n）=××…×＞××…×=×…××（2n+1）
=，
可得：T n＞．
∴存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+S n）≥k对于一切n∈N*都成立，则k的最大值为1．。