河北省保定市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

河北省保定市2021届新高考数学模拟试题（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r
（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r
，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣
莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin n
n
r i r
n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)
4
z i =，则
z =（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．16
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin n
n r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦
，直接求解即可. 【详解】
)
4
4
4
1
216cos sin 266z i
i i ππ⎡⎤⎫⎛⎫=
=+=+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
16z =
=.
故选：D 【点睛】
本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.
2．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21
()cos g'x a x
=-， 当1a ≤，(,)22
x ππ
∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2
x π
∈-
时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，
∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2
π
-
上单调递增，
(0,)2
x π
∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ，
∴()0f 'x <，即()f x 在(0,
)2
π
上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；
当1a >时，存在(0,)
2
t π
∈使得cos t =，即'()0g t =，
又21
()cos g'x a x =-
在
(0,)2
π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾． 综上，1a ≤．故选B ．
方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相
切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ． 3．已知1
5
455,log log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性，可得1
551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与1
1,2对比，即可求出结论.
【详解】
由题知1054
41551,1log log 22
a b =>=>=>=
，
51
log 2log 2
c =<=
，则a b c >>. 故选:A. 【点睛】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题.. 4．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．
A ．
12
B ．
C
D ．5
【解析】
试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－
1
2
，b ＝－1 所以|a ＋bi|＝2215
()(1)2-+-=
，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模
5．已知圆22670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则p 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．
12
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
因为圆22
670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相
切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！
6．函数3222
x x
x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．
设3
2()22x x
x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；3
66
26(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故
选B ． 【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
7．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）
A ．3
()3x f x x
=-
B ．e e ()x x
f x x --= C ．2()f x x x =-
D ．||
e ()x
f x x
=
【答案】A 【解析】 【分析】
根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x x
f x x
--=为偶函数，不符合题意，排除B ；
其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||
e ()x
f x x
=在()0,∞+上无零点, 不符合
题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2
()f x x x
=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 8．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．
22
- D ．
22
+ 【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】
解: )()())1111111222
i
i i z i i i i ---=
====-+++-， 故选：C 【点睛】
本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.
9．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x π
π+=-（
）（），且58
f π
=（
），则b =（ ） A ．3 B ．3或7
C ．5
D ．5或8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的对称轴8
x π=以及函数值，可得结果.
【详解】
函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，
若88f x f x π
π
+=-（
）（），则()f x 的图象关于8x π
=对称， 又58
f π
=（
），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】
本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 10．函数()1cos f x x x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则1
1
()()cos ()0f πππππ
π
=-
=--<，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
11．设集合{}2
20A x x x =-->，{}
2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =I
A ．{}
12x x -≤≤ B ．{}
02x x <≤
C ．{}
04x x <≤
D ．{}
14x x -≤≤
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】
对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]
1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]
0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.
12．函数22cos x x y x x
--=-的图像大致为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522
f f ππ⎛⎫
⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
排除选项D ； 根据特殊值502
f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】
对于选项D:由题意可得, 令函数()
f x = 22cos x x
y x x
--=-,
则552
2
52252
2
f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭
,552
2
52252
2
f ππππ--⎛⎫=
⎪⎝⎭
;
即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选项D 排除; 对于选项C ：因为552
2
522052
2
f πππ
π-
-⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,故选项C 排除;
对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【点睛】
本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量,a b r r 满足(2)()6a b a b +⋅-=-r r r r ，且||1,||2a b ==r r
，则cos ,a b <>=r r _________．
【答案】12
【解析】 【分析】
由数量积的运算律求得a b ⋅r r
，再由数量积的定义可得结论．
【详解】
由题意222(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-r r r r r r
r
r r
r
，
∴1a b ⋅=r r ，即cos ,2cos ,1a b a b a b <>=<>=r r r r r r ，∴1
cos ,2
a b <>=r r ．
故答案为：1
2
．
【点睛】
本题考查求向量的夹角，掌握数量积的定义与运算律是解题关键．
14．已知边长为ABCD 中，60A ∠=︒，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为________. 【答案】112π 【解析】 【分析】
分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，ON x =，由勾股定理可得x 、2R ，再根据球的面积公式计算可得； 【详解】
如图，分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，
则易得6AM CM ==，3MN =，MD =CN = 由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，
设球心为O ，半径为R ，ON x =，可得2222
27(3)12
R x R x ⎧=+⎨=++⎩，解得1x =，228R =.
故该球的表面积为24112==S R ππ
.
故答案为：112π 【点睛】
本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.
15．函数()x f x ae =与()1g x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤ 【解析】 【分析】
先求得与()g x 关于x 轴对称的函数()1h x x =+，将问题转化为()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，即方程e 1x a x =+有解.对a 分成0,0,0a a a =<>三种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】
因为()1g x x =--关于x 轴对称的函数为()1h x x =+，因为函数()e x f x a =与()1g x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，所以()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，方程e 1x a x =+有解.
0a =时符合题意.
0a ≠时转化为1e (1)x x a =+有解，即e x y =，1(1)y x a =+的图象有交点，1
(1)y x a
=+是过定点(1,0)
-的直线，其斜率为1
a ，若0a <，则函数e x y =与1(1)y x a
=+的图象必有交点，满足题意；若0a >，设
e x
y =，1(1)y x a =+相切时，切点的坐标为(),e m m ，则e 1
11
e m m m a a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩
，解得1a =，切线斜率为11a =，
由图可知，当
1
1a ≥，即01a <≤时，e x y =，1(1)y x a
=+的图象有交点，此时，2()e x f x a x =-与2()1h x x x =-++的图象有交点，函数2()e x f x a x =-与2()1g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称
点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤.
故答案为：1a ≤ 【点睛】
本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.
16．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________． 【答案】丙 【解析】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙． 考点：反证法在推理中的应用.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
【答案】（1）10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；（2）1λ≥. 【解析】 【分析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2）1x ，2x 是方程
12x
x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝
⎭
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【详解】
（1）由题可知2()(1)20x x
f x x e ae
'=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +=
=， ()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x
x a e +=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x
x x x λλ
+>⇔>->
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-
⎪⎝⎭，又()()21
h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛
⎫
=+--
-+ ⎪⎝
⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥. 【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18．某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售
出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温
（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[
)2025，
，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为n （单位：瓶）时，y 的数学期望的取值范围？
【答案】（1）见解析；（2）[600800)，
【解析】 【分析】
（1）X 的可能取值为300,500,600，结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；
（2）由题意得300600n ≤≤，分[]500600n ∈，
，及[
)300500n ∈，，分别得到y 与n 的函数关系式，得到对应的分布列，分析即得解. 【详解】
（1）由题意：X
的可能取值为300,500,600
4141
(300)905P X +==
= 362
(500)905
P X ===
27632
(500)905P X ++===
故：六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列为
（2）由题意得300600n ≤≤.
1°.当[]
500600n ∈，
时， 利润7522550072500525003[202530072300515003[1020n n n t y n n n t n n n t -=≥⎧⎪
=⨯+--=-∈⎨⎪⨯+⨯--=-∈⎩
，℃．（
），，）（），，）
此时利润的分布列为
y
2n
25003n - 15003n -
P
25
25
15
2(25003)(15003)1300555
Ey n n n n ⇒=⨯+-⨯+-⨯=-
[]700800E y ⇒∈（），.
2.[
)300500n ∈，
时， 利润752207300230051500320n n n t y n n n t -=≥⎧
=⎨
⨯+⨯--=-<⎩
，（），
此时利润的分布列为
y
2n
15003n - P
4
5
15
2(15003)30055
Ey n n n ⇒=⨯+-⨯=+
[)600800E y ⇒∈（），.
综上y 的数学期望的取值范围是[)600800，
. 【点睛】
本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
19．设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2
2
e =，右准线为l ，,M N 是l 上
的两个动点，1
20FM F N ⋅=u u u u r u u u u r
． （Ⅰ）若1225F M F N ==u u u u r u u u u r
，求,a b 的值；
（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，1
2FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r
共线．
【答案】（Ⅰ）2,2a b ==（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
由222a b c -=
与2
a e c =
=
，得222a b =，
1200F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，l
的方程为x =．
设
))
12M
y N
y ，，，，
则1122F M y F N y ⎫⎫
==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，，，，
由1
20FM F N ⋅=u u u u r u u u u r 得 2123
02y y a =-＜． ①
（Ⅰ）由12F M F N ==u u u u r u u u u r
=， ②
= ③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =，
故2,a b ==
= （Ⅱ）()2
2
22212121212121222246MN
y y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=，
当且仅当12y y =-=
或21y y =-=时，MN
，
此时，(
)()
12121212,,02F M F N y y y y F F ⎫⎫
+=+=+==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
u u u u r u u u u r u u u u r ，，，
故1
2FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． 20．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c
，若asinB =． （1）求角A ；
（2）若ABC ∆
的面积为5a =，求ABC ∆的周长． 【答案】（1）3
π
；（2）1. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得，求得，结合范围A ∈（0，π），可求A=
3
π
． （2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得b+c=7，即可得解△ABC 的周长的值． 【详解】
（1）由题意，在ABC ∆中，因为asinB =，
由正弦定理，可得， 又因为(0,)B π∈，可得sinB≠0，
所以cosA ，即：， 因为A ∈（0，π），所以A=3
π
； （2）由（1）可知A=
3
π
，且a=5，
又由△ABC 的面积12，解得bc=8， 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA ，可得：25=b 2+c 2-bc=（b+c ）2-3bc=（b+c ）2-24， 整理得（b+c ）2=49，解得：b+c=7， 所以△ABC 的周长a+b+c=5+7=1． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21．已知函数2
()sin sin cos()6
f x x x x π
=+-.
（1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． 【答案】（1）π；（2）见解析 【解析】 【分析】
()1将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期
()2根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值
【详解】 （Ⅰ）由题意得
原式2
1
sin sin sin 2x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭
23sin cos 2x x x =
()31cos24x x =
-+
13sin2cos22224x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
3sin 2234x π⎛
⎫=
-+ ⎪⎝
⎭ ()f x ∴的最小正周期为π.
（Ⅱ）0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
Q ，
223
3
3
x π
π
π
∴-
≤-
≤
. ∴当233
x π
π
-
=-
，即0x =时，()min 0f x =；
当23
2
x π
π
-
=
，即512x π=
时， ()max f x = 综上，得0x =时，()f x 取得最小值为0；
当512x π=
时，()f x . 【点睛】
本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题
22．一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.
（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11
,2
n Q Q =. ①求2Q ；
②当*N n ∈时，记111
,2
n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+
=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列. 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①
3
4
；②证明见解析
【解析】 【分析】
（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量X 的分布列和数学期望；
（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得2Q ；②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，可知当3n ≥且*N n ∈时，1211
22n n n Q Q Q --=
+，结合112
n n n A Q Q +=+，可推出121111
22
n n n n n n A Q Q Q Q A ++++=+=+=，从而可证明数列{}n A 为常数列；结合1n n n B Q Q +=-，可推出
121111
()22
n n n n n n B Q Q Q Q B ++++=-=--=-，进而可证明数列{}n B 为等比数列.
【详解】
（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8.
每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率也为1
2
， 则4142
444111113(4)(),(5)(),(6)()2162428P X P X C P X C ===
==⨯===⨯=， 344
4441111(7)(),(8)()24216
P X C P X C ==⨯===⨯=.
所以变量X 的分布列为：
故变量X 的数学期望为()4567861648416
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为22113
()224
Q =
+=. ②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，
故3n ≥且*N n ∈时，有1211
22
n n n Q Q Q --=+， 则*N n ∈时，2111
22n n n Q Q Q ++=+，
所以12111111111
22222
n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++++==+=+=，
故数列{}n A 为常数列； 又1211111111111
()222222
n n n n n n n n n n n B Q Q Q Q Q Q Q Q Q B +++++++=-=
+-=-+=--=-， 121311
424
B Q Q =-=-=，所以数列{}n B 为等比数列.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.
23．已知函数()()2
2ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）.
（1）讨论函数()f x 在[]1,e 上的单调性；
（2）若存在[]
1,x e ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）1a ≥- 【解析】 【分析】
（1）分类讨论a 的值，利用导数证明单调性即可；
（2）利用导数分别得出2a ≤，22a e <<，2a e ≥时，()f x 的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】
（1）()()()2
22'22x a x a a f x x a x x
-++=-++=()()21x a x x --=
，[]1,x e ∈. 当
12
a
≤即2a ≤时，[]1,x e ∈，()'0f x ≥，此时，()f x 在[]1,e 上单调递增； 当12a e <
<即22a e <<时，1,2a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减； ,2a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在,2a e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；
当
2
a
e ≥即2a e ≥时，[]1,x e ∈，()'0
f x ≤，此时，()f x 在[]1,e 上单调递减； （2）当2a ≤时，因为()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f a =--，所以12a -≤≤ 当22a e <<时，()f x 在1,
2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,2a e ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增 所以()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫
=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 因为22a e <<，所以0ln 12a <<，311242
a e <+<+. 所以ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫
=--<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以22a e <<. 当2a e ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递减 所以()f x 的最小值为()()2
2f e e a e a =-++
因为
22
2
1
e e
a e
e
-
≥>
-
，所以()0
f e<，所以2
a e
≥，综上，1
a≥-.
【点睛】
本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题，属于中档题.。