2017-2018年高考数学真题汇编解析几何及答案详解

2017--2018年高考数学解析几何汇编及答案解析
类型一选择填空
1、（2018年高考全国卷1文科4）（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），可得a2﹣4=4，解得a=2，
∵c=2，
∴e===．故选：C．
2、（2018年高考全国卷1理科8）（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且
斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y=2x+4，
联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2﹣6y+8=0，
解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），，．
则•=（0，2）•（3，4）=8．故选：D．
3、（2018年高考全国卷1理科11）（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C 的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）
A．B．3 C．2D．4
【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不
妨设过F（2，0）的直线为：y=，
则：解得M（，），
解得：N（），
则|MN|==3．
故选：B．
4、（2018年高考全国卷2文科6）（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，
则=====，
即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，
故选：A．
5、（2018年高考全国卷2文科11）（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）
A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1
【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），
所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
解得e=．
故选：D．
6、（2018年高考全国卷2理科5）（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，
则=====，
即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，
故选：A．
7、（2018年高考全国卷2理科12）（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的
左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），
直线AP的方程为：y=（x+a），
由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），
代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，
∴题意的离心率e==．
故选：D．
8、（2018年高考江苏卷理科12）（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在
第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．
【解答】解：设A（a，2a），a＞0，
∵B（5，0），∴C（，a），
则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．
联立，解得D（1，2）．
∴=．
解得：a=3或a=﹣1．
又a＞0，∴a=3．
即A的横坐标为3．
故答案为：3．
9、（2018年高考上海卷2）（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．
【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y=±
∴双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为：y=±
10、（2018年高考上海卷8）（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），
E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．
【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴；
∴a=b+2，或b=a+2；
且；
∴；
当a=b+2时，；
∵b2+2b﹣2的最小值为；
∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
11、（2018年高考上海卷12）（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，
x1x2+y1y2=，则+的最大值为1．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
=（x1，y1），=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，
可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
且•=1×1×cos∠AOB=，
即有∠AOB=60°，
即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，
+的几何意义为点A，B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，
显然d1+d2≤AB=1，
即+的最大值为1，
故答案为：1．
12、（2018年高考上海卷13）（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
A．2B．2C．2D．4
【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，
P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为
2a=2．
故选：C．
13、（2018年高考浙江卷9）（4分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与
的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）
A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣
【解答】解：由﹣4•+3=0，得，
∴（）⊥（），
如图，不妨设，
则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，
又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．
不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．
即．
故选：A．
14、（2018年高考浙江卷12）（6分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是﹣2，最大值是8．
【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，
如图：
其中B（4，﹣2），A（2，2）．
设z=F（x，y）=x+3y，
将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，
可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．
=F（4，﹣2）=﹣2．
∴z
最小值
可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值：
z最大值=F（2，2）=8．
故答案为：﹣2；8．
15、（2018年高考浙江卷17）（4分）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，
B满足=2，则当m=5时，点B横坐标的绝对值最大．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由P（0，1），=2，
可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），
即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，
又x12+4y12=4m，
即为x22+y12=m，①
x22+4y22=4m，②
①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，
可得y1﹣2y2=﹣m，
解得y1=，y2=，
则m=x22+（）2，
即有x22=m﹣（）2==，
即有m=5时，x22有最大值16，
即点B横坐标的绝对值最大．
故答案为：5．
16、（2018年高考天津卷文科12）（5分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．
【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，
结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，
其圆心为（1，0），半径为1，
则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．
【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，
解得D=﹣2，E=F=0；
∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．
故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．
17、（2018年高考天津卷文科7）（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，
∴当sin（θ+α）=﹣1时，
d max=1+≤3．
∴d的最大值为3．
故选：C．
18、（2018年高考北京卷理科14）（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：
﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六
边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．
【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得
，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
解得e=．
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得：，即，
可得双曲线的离心率为e==2．
故答案为：；2．
19、（2018年高考天津卷理科7）（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线
y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，
F是AB的中点，EF==3，
EF==b，
所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，
可得：，解得a=．
则双曲线的方程为：﹣=1．
故选：C．
20、（2018年高考天津卷理科12）（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，
（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；
直线化为普通方程是x+y﹣2=0，
则圆心C到该直线的距离为d==，
弦长|AB|=2=2=2×=，
∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．
故答案为：．
21、（2018年高考北京卷文科10）（5分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为（1，0）．
【解答】解：∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴，
∴x=1，
代入到y2=4ax，可得y2=4a，显然a＞0，
∴y=±2，
∵l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，
∴4=4，
解得a=1，
∴y2=4x，
∴抛物线的焦点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）
22、（2018年高考北京卷文科12）（5分）若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则a=4．
【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，
可得：，解得a=4．
故答案为：4．
23、（2018年高考全国卷3文科）8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）
A．[2，6]B．[4，8]C．[，3] D．[2，3]
【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，
∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+，），
∴点P到直线x+y+2=0的距离：
d==，
∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，
∴△ABP面积的取值范围是：
[，]=[2，6]．
故选：A．
24、（2018年高考全国卷3文科）10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的
离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（）
A．B．2 C．D．2
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得=，即：，解得a=b，
双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为：=2．
故选：D．
25、（2018年高考全国卷3理科）11．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）
A．B．2 C．D．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，
∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，
∴|OP|===a，cos∠PF2O=，
∵|PF1|=|OP|，
∴|PF1|=a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2=c2，
即a=c，
∴e==，
故选：C．
26、（2018年高考全国卷3理科）13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若
∥（2+），则λ=．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），
∴=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2+），
∴，
解得λ=．
故答案为：．
27、（2018年高考全国卷3理科）16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C 的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=
2．
【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），
∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），
联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=1，
∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，
∵M（﹣1，1），
∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1），
∵∠AMB=90°=0，∴•=0
∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，
整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，
∴1+2+﹣4﹣+2=0，
即k2﹣4k+4=0，
∴k=2．
故答案为：2
28、（2018年高考江苏卷理科）8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1
（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线的距离为
c ，则其离心率的值是 2 ．
【解答】解：双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0）到一条渐近线y=x 的距
离为
c ，
可得：=b=，
可得
，即c=2a ，
所以双曲线的离心率为：e=．
故答案为：2．
类型二 解答题
1.（2017年高考数学北京卷（理））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1
(0,)2
作直线l 与抛物线C 交
于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.
解：（Ⅰ）因为抛物线C 过点(1,1)P ，把(1,1)P 代入2
2y px =，得1
2
p =
∴2
:C y x =
∴焦点坐标1(,0)4，准线为14
x =-。

（Ⅱ）设过点1(0,)2
的直线方程为1
:2
l y kx =+
，1122(,),(,)M x y N x y 直线:OP y x =，直线2
2
:y ON y x x =
由题意知12
1112
(,),(,
)x y A x y B x x 由212y kx y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩
，可得221(1)04k x k x +-+=
121222
11
,4k x x x x k k -∴+=
= 121212111222
1
()
12222x kx x y x x y kx kx x x x ++∴+=++=+ 211112
1
122(1)22124k
k kx kx k x x k x -=+=+-⋅=⨯ ∴A 为线段BM 中点。

2.（2017年高考数学北京卷（文））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x 轴上，离
心率为
2
． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5． 解：（Ⅰ）
焦点在x 轴上，且顶点为(2,0)±2a ∴=
2
c e a =
=c ∴=222a b c =+1b ∴=
∴椭圆方程为2
214
x y +=
（Ⅱ）设()()()00000,0,,,,D x M x y N x y -， 直线AM 的方程是()0
022y y x x =
++， DE AM ∴⊥，00
2
DE x k y +∴=-
，
直线DE 的方程是()0002x y x x y +=-
-，直线BN 的方程是()0
022
y y x x -=--，
直线BN 与DE 直线联立
()()000
00222x y x x y y y x x +⎧
=--⎪⎪⎨
-⎪=-⎪-⎩
， 整理为：
()()00000222
x y
x x x y x +-=--，即()()()2200042x x x y x --=- 即()()()22
0004424
x x x x x ---=-，解得042
5E
x x +=，
代入求得045
E y y ==-∴5
4N E y y =
又
4
S 5
BDE E BDN N S y y ==△△
BDE ∴∆和BDN ∆面积的比为4:5
3.（2017年高考数学全国卷Ⅰ）已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1
，
2），P 4（1
，2
）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
解：（1）由于34,P P 两点关于
y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点 又由
22221113
4a b a b
+>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此22211,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224
1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
故C 的方程为2
214
x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k 如果l 与
x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <
，可得,A B 的坐标分别为
(,22
t t -
则121k k +==-，得2t =，不符合题设
从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2
214
x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=
由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844
,4141
km m x x x x k k -+=-=++
而 12121211y y k k x x --+=
+1212
11
kx m kx m x x +-+-=+
121212
2(1)()
kx x m x x x x +-+=
由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=
即222
448(21)(1)04141
m km
k m k k --++-=++，解得12m k +=- 当且仅当1m >-时，0∆>，于是1
:2
m l y x m +=-
+，所以l 过定点(2,1)- 4.（2017年高考数学全国卷Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-= 由2NP NM =
得，00,x x y y ==
因为00(,)M x y 在C 上，所以22
122
x y +=，因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -，设(3,),(,)Q t P m n -，则
(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-，
(,),(3,)OP m n PQ m t n ==---
由1OQ PQ =得2231m m tn n --+-= 又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=
所以0OQ PF =，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
5.（2017年高考数学全国卷Ⅲ）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是
以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程． 解：（1）设1122(,),(,),:2A x y B x y l x my =+
由22,2x my y x
=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =- 又22
1212,22y y x x ==，故2
1212()44
y y x x ==
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为
12124
14
y y x x -==-，所以OA OB ⊥ 故坐标原点O 在圆M 上
（2）由（1）可得2
1212122,()424y y m x x m y y m +=+=++=+ 故圆心M
的坐标为2(+2,)m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP ⋅=， 故1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=， 即121212224()2()200x x x x y y y y -+++++= 由（1）可得12124,4y y x x =-= 所以2210m m --=，解得1m =或1
2
m =-
当1m =时，直线l 的方程为10x
y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M M 的方程为
22(3)(1)10x y -+-=
当12m =-
时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为
91(,)42-，圆M 的半径为4
，圆M 的方程为2
2
9
185()()4
2
16
x y -++=
6.（2017年高考数学山东卷（理））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22
221x y a b
+=()0a b >>的离心率
2.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l
：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，
且12k k =
，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率
.
解：（Ⅰ）由题意知
c e a =
=，22c =，所以
1a b ==， 因此 椭圆E 的方程为2
212
x y +=.
（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，
联立方程2
211,2
x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得(
)
22114210k x x +--=，
由题意知0∆>
，且()
1121222
111
,21221x x x x k k +=
=-++， 所以
121AB x =-.
由题意可知圆M 的半径r
为：12||3r AB ==
由题意知12k k =
21
k =
由此直线OC
的方程为1
y x =.
联立方程22
11,
2
,x y y ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
得22
2
1221181,1414k x y k k ==
++，因此
OC 由题意可知 1
sin
21SOT r
OC r OC
r
∠==++
，
而
1OC r
=
令2112t k =+，则()1
1,0,1t t
>∈，
因此
1OC r
=
==≥，
当且仅当11
2
t =，即2t =
时等号成立，此时1k =，
所以 1sin 22SOT ∠≤，因此26SOT π∠≤，所以 SOT ∠最大值为3
π
.
综上所述：SOT ∠的最大值为
3
π
，取得最大值时直线l
的斜率为1k =.
7.（2017年高考数学天津卷（理））设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率
为
12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1
2
. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相
交于点D .若APD △
的面积为
2
AP 的方程. （Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -. 依题意，
12c a =，2
p a =，12a c -=，解得1a =，1
2c =，2p =，
于是2
2
2
34b a c =-=.所以，椭圆的方程为22
413
y x +
=，抛物线的方程为24y x =.
（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠， 与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --
，故2(1,)Q m
-. 将1x my =+与2
2
413
y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=， 解得0y =，或2634
m
y m -=
+.
由点B 异于点A ，可得点222346(
,)3434
m m
B m m -+-++. 由2
(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为22
2
62342()(1)(1)()03434m m x y m m m m
--+-+-+-=++， 令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32
m D m -+.所以22
22236||13232m m AD m m -=-=++.
又因为APD △的面积为222
162232||2
m m m ⨯⨯=+，
整理得23|20m m -+=，解得||m =
，所以m =.
所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=.
8.（2017年高考数学天津卷（文））已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，
点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为2
2
b .
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3
||2
FQ c =
，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .
（ⅰ）求直线FP 的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程.
（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e ，由已知，可得2
1()22
b c a c +=
又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2
210e e +-=
又因为01e <<，解得12e =
，所以，椭圆的离心率为12
（Ⅱ）（ⅰ）解：依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为
1
m
由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为
12x y
c c
+=，即220x y c +-=， 与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22
m c c
x y m m -=
=++，
即点Q 的坐标为(22)3(
,)22
m c c
m m -++
由已知3||2FQ c =
，有222(22)33()()()222
m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=， 所以43
m =
，即直线FP 的斜率为34
（ⅱ）解：由2a c =
，可得b =，故椭圆方程可以表示为22
22143x y c c
+=
由（ⅰ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22
223430143x y c x y c c
-+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 消去y ，整理得22
76130x cx c +-=，解得137
c
x =-
（舍去），或x c = 因此可得点3(,
)2c P c
，进而可得5||2
c FP =， 所以53||||||22
c c
PQ FP FQ c =-=
-= 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 与QN 都垂直于直线FP ， 因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248
c c
QN FQ QFN =⋅∠=
⨯=， 所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于2
7532
c ，由四边形PQNM 的面积
为3c ，得22
752733232
c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =.
所以，椭圆的方程为22
11612
x y +=
9.（2017年高考数学江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右
焦点分别为12,F F ，离心率为
1
2
，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标. 解：（1）设椭圆的半焦距为c
因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以2
12,
82c a a c
== 解得2,1a c ==
，于是b
因此椭圆E 的标准方程为22
143
x y +=. （2）由（1）知，12(1
,0),(1,0)F F - 设00(,)P x y ，因为P 为第一象限的点，故000,0x y >>， 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为
001y x +，直线2PF 的斜率为001
y
x - 因为1122,l PF l PF ⊥⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-
，直线2l 的斜率为00
1
x y --， 从而直线1l 的方程：00
1
(1)x y x y +=-
+
①
直线2l 的方程：00
1
(1)x y x y -=-
-
②
由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2
000
1
(,)x Q x y --
因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即220
01x y -=或22
001x y += 又P 在椭圆E 上，故2200
143
x y +=，
由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
解得00x y ==；22
0022001
14
3x y x y ⎧+=⎪⎨+
=⎪⎩无解 因此点P
的坐标为(
,77
. 10.（2017年高考数学浙江卷）如图，已知抛物线2x y =，点A 11
()24
-，，39()24
B ，，抛物线上的点
13
()()22
P x y x -
<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q
.
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.
解：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，21
14122
x k x x -
=
=-+， 因为13
22
x -
<<，所以直线AP 斜率的取值范围是（-1,1） （Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程
110,24
930.
42
kx y k x ky k ⎧
-++=⎪⎪⎨
⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22
43
2(1)
Q k k x k -++=+
因为1||)1)2
PA x k =+=+
2
||)Q PQ x x =-=所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+
令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+ 所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2
上单调递减，
因此当12k =
时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716
11、（2018年高考全国卷1文科20）（12分）设抛物线C ：y 2=2x ，点A （2，0），B （﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN ．
【解答】解：（1）当l 与x 轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2， 所以M （2，2）或M （2，﹣2），
直线BM 的方程：y=x +1，或：y=﹣x ﹣1．
（2）证明：设直线l 的方程为l ：x=ty +2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
联立直线l 与抛物线方程得，消x 得y 2﹣2ty ﹣4=0，
即y 1+y 2=2t ，y 1y 2=﹣4，
则有k BN +k BM =+===0，
所以直线BN 与BM 的倾斜角互补， ∴∠ABM=∠ABN ．
12、（2018年高考全国卷1理科19）（12分）设椭圆C ：+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线
l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0）． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
【解答】解：（1）c==1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x=1，
由，解得或，
∴A（1.），或（1，﹣），
∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，
直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB=+，
由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得k MA+k MB=，
将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k）=0
从而k MA+k MB=0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，
综上∠OMA=∠OMB．
13、（2018年高考全国卷2理科）19．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），当直线的斜率不存在时，|AB |=4，不满足；
设直线AB 的方程为：y=k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则
，整理得：k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2=0，则x 1+x 2=
，x 1x 2=1，
由|AB |=x 1+x 2+p=+2=8，解得：k 2=1，则k=1，
∴直线l 的方程y=x ﹣，；
方法二：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公
式|AB |==
=8，解得：sin 2θ=，
∴θ=
，则直线的斜率k=1，
∴直线l 的方程y=x ﹣1；
（2）过A ，B 分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A 1，B 1，设AB 的中点为D ，过D 作DD 1⊥准线l ，垂足为D ，则|DD 1|=（|AA 1|+|BB 1|）
由抛物线的定义可知：|AA 1|=|AF |，|BB 1|=|BF |，则r=|DD 1|=4， 以AB 为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB 的中点D ， 由（1）可知：x 1+x 2=6，y 1+y 2=x 1+x 2﹣2=4， 则D （3，2），
过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=16．．
14、（2018年高考全国卷3文科）20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：+=1
交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）． （1）证明：k ＜﹣；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且
+
+
=，证明：2|
|=|
|+|
|．
【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵线段AB 的中点为M （1，m ），
将A，B代入椭圆C：+=1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
可得x1+x2=2
∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，
∴x3=1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．
则|FA|+|FB|=4﹣，
∴|FA|+|FB|=2|FP|，
15、（2018年高考全国卷3理科）20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点为M（1，m），
将A，B代入椭圆C：+=1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
可得x1+x2=2，
∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，
∴x3=1，
∵m＞0，可得P在第一象限，故，m=，k=﹣1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．
则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，
联立，可得|x1﹣x2|=
所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，
∴该数列的公差为±．
16、（2018年高考全国卷3理科）18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过
点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，
∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．
∵∴，又a2+b2=c2=3，
解得a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．
（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，
∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．
由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．
由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，
可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．
将k=﹣，m=3代入可得，
解得x=，y=1，故点P的坐标为（．
②设A（x1，y1），B（x2，y2），
由⇒k＜﹣．
联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
|x2﹣x1|==，
O到直线l的距离d=，
|AB|=|x2﹣x1|=，
△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．
∴y=﹣为所求．
17、（2018年高考上海卷）20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F （2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），
则|BF|==t+2，
∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2t），
由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，
∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，
D（，），
k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），
联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，
解得：x=，x=6（舍去），
∴△AQP的面积S=××=；
（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，
直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），
根据+=，则E（+6，），
∴（）2=8（+6），解得：y2=，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．
18、（2018年高考浙江卷）21．（15分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），
AB中点为M的坐标为（，），
抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，
可得（）2=4•，
（）2=4•，
化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，
可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，
可得n=，
则PM垂直于y轴；
（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，
可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，
由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，
由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|
=（﹣m）•
=[•（4n2﹣16m+2n2）﹣m]•
=（n2﹣4m），
可令t==
=，
可得m=﹣时，t取得最大值；
m=﹣1时，t取得最小值2，
即2≤t≤，
则S=t3在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，
△PAB面积的取值范围为[6，]．
19、（2018年高考天津卷理科）19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上
顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若
=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，
由椭圆的离心率为e=，
∴=；
又a2=b2+c2，
∴2a=3b，
由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；
可得ab=6，
从而解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；
∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；
又|AQ|=，且∠OAB=，
∴|AQ|=y，
由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；
由方程组，消去x，可得y1=，
∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；
由方程组，消去x，可得y2=；
由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，
两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，
解得k=或k=；
∴k的值为或．
20、（2018年高考北京卷理科）19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，
上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M 均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，
由已知可得，又a2=b2+c2，
解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为：，
（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．
∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2=5x1，
易知直线AB的方程为：2x+3y=6．
由，可得＞0．
由，可得，
⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．
由＞0．可得k，故k=﹣，
21、（2018年高考北京卷理科）19．（14分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB 交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点
P（1，2），∴4=2p，解得p=2，
设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组可得，
消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，
且k≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，
故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，y M），N（0，y N），
则=（0，y M﹣1），=（0，﹣1）
因为=λ，所以y M﹣1=﹣y M﹣1，故λ=1﹣y M，同理μ=1﹣y N，
直线PA的方程为y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1），
令x=0，得y M=，同理可得y N=，
因为+=+=+==
====2，
∴+=2，∴+为定值．
22、（2018年高考北京卷文科）20．（14分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率
为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2，则c=，椭圆的离心率e==，则a=，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，
x1+x2=﹣，x1x2=，
∴|AB|==，
∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为；
（Ⅲ）设直线PA的斜率k PA=，直线PA的方程为：y=（x+2），
联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）=0，
由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0，
x1•x C=﹣，x C=﹣，则y C=（﹣+2）=，
则C（﹣，），同理可得：D（﹣，），
由Q（﹣，），则=（，），=（，），
由与三点共线，则×=×，
整理得：x1﹣x1=y1﹣y1，则直线AB的斜率k==1，
∴k的值为1．。