安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第二次联考数学(理)试题(教师版)

“皖南八校"2020届高三第二次联考数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}
2A x x =≥，{}
03B x x =≤≤，则()R A C B =（ ）
A. [2,)+∞
B. (3,)+∞
C. [0,3]
D. (,2)[2,)-∞⋃+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出B 的补集，再求交集。

【详解】由题意{|03}R C B x x x =<>或，∴(){|3}R A C B x x =>。

故选：B 。

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。

2.已知12i
z i
-=+，则z =（ ） A.
1355
i - B.
1355
i + C. 1355
i -
- D. 1355
i -
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
由复数除法计算出z ，再由共轭复数定义求出z 。

【详解】1(1)(2)22113
2(2)(2)555
i i i i i z i i i i ------=
===-++-， ∴1355
z i =
+。

故选：B 。

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。

属于基础题。

3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（ ）
A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少
B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍
C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同
D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】
设2016年参考人数为a ，依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、不上线的人数，然后比较得出结论。

【详解】设2016年参考人数为a ，则
2016年一本达线人数0.28a ，2019年一本达线人数0.24 1.20.288a a ⨯=0.28a >，A 错；
2016年二本达线人数0.32a ，2019年二本达线人数0.4 1.20.48a a ⨯=，增加了0.16a ，不是一倍，B 错； 2016年艺体达线人数0.08a ，2019年艺体达线人数0.08 1.20.096a a ⨯=，C 错；
2016年不上线的
人数0.32a ，20196年不上线的人数0.28 1.20.3360.32a a a ⨯=>，D 正确。

故选：D 。

【点睛】本题考查统计表格的应用，解题关键是读懂表格给出的数据，并能加以应用。

4.已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e -=，则12,e e 的夹角为（ ） A.
23
π B.
34
π C.
3
π D.
4
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由已知模求出12e e ⋅，再利用向量夹角公式计算。

【详解】∵12,e e 是单位向量， ∴2
22
12
1122
122441447e e e e e e e e -=-⋅+=-⋅+=，121
2
⋅=-u r u r e e ，
12
12121
,2cos e e e e e e ⋅>=
=<-，∴122,3
e e π=<>。

故选：A 。

【点睛】本题考查求向量的夹角，可根据数量积定义由两向量的数量积求出其夹角的余弦，而求向量的数量积必须利用向量的模与向量数量积的关系转化计算，即2
2
a a =。

5.函数22sin ()cos x x
f x x x
=
+在[2,2]ππ-上的图象大致为（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先分析奇偶性，可排除两个选项A 、C ，然后从特殊值角度研究，计算()2
f π
和3(
)2
f π
，比较它们绝对值的大小，可得正确选项。

【详解】∵22sin()sin ()()()cos()cos x x x x
f x f x x x x x
---=
==-+-+，∴()f x 是偶函数，排除A 、C ，
4()2f ππ=，34
()23f ππ
=-，易知3()()22f f ππ<，B 不符，只有D 满足。

故选：D 。

【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可先研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性、周期性等，排除一些选项，然后研究函数特殊值、特殊点再排除一些选项，最后只剩一个正确选项为止。

6.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】C 【解析】 【分析】
每朵玫瑰花的花瓣总数为33，计算斐波那契数列的前n 项和，比较即得。

【详解】由题意每朵玫瑰花的花瓣总数为33，而斐波那契数列的前n 项和依次为1,2,4,7,12,20,33,，因
此一朵该种玫瑰花最可能有7层。

故选：C 。

【点睛】本题考查数列的前n 项和的概念。

属于数列应用的基础题。

7.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是,AB AD
中点，O 为正方形ABCD 的中心，
则（ ）
A. 直线EF ，AO 是异面直线
B. 直线EF ，1BB 是相交直线
C. 直线EF 与1BC 所成的角为30︒
D. 直线EF ，1BB 【答案】C 【解析】 【分析】
按共面不共面判断A 、B ，由异面直线所成角定义计算角判断C 、D 。

【详解】∵O 为正方形ABCD 的中心，F 是11A D 中点，∴11////OF A B AB ，即OF ，AE 共线，从而
,EF AO 共线，A 错；
F ∉平面1BEB ，1BB ⊂平面1BEB ，1E BB ∉，E ∈平面1
BEB ，∴1,EF BB 是异面直线，B 错；
又E
是AB 中点，可得//FO EB 且FO EB =，EFBO 是平行四边形，则//EF BO ，1OBC ∠是异面直线
EF 与1BC 所成的角，设正方体棱长为1，1BC O ∆中，1BC =1OC =
，
BO EF ===
，
2221111cos 22
OB BC OC OBC OB BC +-∠==⋅，130OBC ∠=︒。

C 正确，
同理得1OBB ∠是EF ，1BB 所成的角，在1OBB ∆
中求得1cos OBB ∠=D 错。

故选：C 。

【点睛】本题考查异面直线的判断，考查求异面直线所成的角，解题方法可根据异面直线的判断定理证明，求异面直线所成的角可根据定义作出这个角，然后解三角形得结论。

8.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2-
【答案】B 【解析】 【分析】
模拟程序运行，寻找规律，得出结论． 【详解】程序运行时，变量,S i
值依次为：4,1S i ==；2,2S i ==；4,3S i ==；2,4S i ==；…，i
是奇数时，4S =，i 是偶数时2S =，输出时2020i =，2S =． 故选：B ．
【点睛】本题考查程序框图，解题时模拟程序运行，观察变量的变化规律，就可得出结论． 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a =，
121()4
b -=，
12log 2c =，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（ ）
A. ()()()f b f c f a <<
B. ()()()f a f c f b <<
C. ()()()f c f b f a <<
D. ()()()f c f a f b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
由()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，确定()f x 在[1,0]-上是增函数，再由奇函数性质得()f x 在[0,1]上递增，在[1,1]-上单调递增．然后把自变量的值都转化到[1,1]-上，比较大小． 【详解】设1210x x -≤<≤，则121222x x ≤+<+≤，又()f x 在[1,2]上递减，∴12(2)(2)f x f x +>+，而11(2)()f x f x +=-，22(2)()f x f x +=-，∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <，∴()f x 在[1,0]-是递增，
∵()f x 是奇函数，∴()f x 在[0,1]上递增，从而在[1,1]-上单调递增，(0)0f =，
ln 2(0,1)a =∈，1
21()24
b -==，12log 21
c ==-，()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==，
∴由10ln 2-<<得(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<． 故选：C ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由()f x 满足
(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，确定()f x 在[1,0]-上是增函数，然后就是这类问题的常
规解法，确定出[1,1]-上单调性，转化比较大小．
10.已知2F 是双曲线22
:193
x y
C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上
一点，则2AB AF +的最小值为（ ）
A. 9
B. 8
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由212AF AF a =+，AB 的最小值是AE r -，转化为求1AF AE +的最小值即为1EF ．
【详解】
双曲线22193x y -=中3a =
，b =
c ==
1(F -，圆E 半径为1r =，(0,2)E -，
∴21126AF AF a AF =+=+，1AB AE BE AE ≥-=-（当且仅当
,,A E B 共线且B 在,A E 间时取等号．
∴2AB AF +11615AF AE AF AE ≥++-=+
+1559EF ≥+==，
当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号． ∴2AB AF +的最小值是9． 故选：A ．
【点睛】本题考查双曲线的
标准方程，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离时，常常与定义联系，双曲线上点到一个焦点的距离可能转化为到另一个焦点的距离，圆外一点到圆上点的距离的最大值为圆外的点到圆心距离加半径，最小值为圆外的点到圆心距离减半径．
11.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的最小值为；②()f x 在[,2]ππ上单调递增；③函数()1y f x =-在[,]-ππ上有3个零点；④曲线()y f x =关于直线x π=对称.其中所有正确结论的编号为（ ） A. ①② B. ②③
C. ②④
D. ③④
【答案】D 【解析】 【分析】
根据各个选项研究函数的性质，如最值，单调性，零点，对称性等．
【详解】()cos sin 1f x x x =+≥-，①错；当[,2]x ππ∈时，()cos sin )4
f x x x x π
=-=
+，在
[,2]ππ上不是单调函数，实际上它在7[,
]4
ππ上递减，在7[,2]4π
π递增，②错；当cos 0x <时，
()cos sin 1
f x x x =+<，函数()1y f x =-无零点，当cos 0x ≥，即[,]22
x ππ
∈-时，注意到()f x 是偶函
数，研究[0,]2
x π
∈时，()cos sin )4f x x x x π=+=+，只有(0)()12
f f π
==，因此在[,]22
x ππ
∈-
时
(0)()()122
f f f ππ
==-=，函数
()y f x =-有三个零点，③正确；
(2)c o s (2)s i n (2)c o s s i n c o s f x x x x x x x f x πππ-=-+-=+-=+=，∴曲线
()y f x =关于直线x π=对称，④正确． ∴正确结论有③④， 故选：D ．
【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的图象和性质，本题的难点在于含有绝对值符号，因此我们可以通
过绝对值定义去掉绝对值符号后研究函数的性质，如cos sin ,[2,2)
(),cos sin ,[2,2)x x x k k f x k Z x x x k k ππππππ+∈+⎧=∈⎨
-∈-⎩
，然后分段研究．
12.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段
AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的
面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A. 72π B. 86π
C. 112π
D. 128π
【答案】C 【解析】 【分析】
先找到外接球球心，过BC 的中点M 作//OM PA ，则OM ⊥平面ABC ，取1
2
OM PA =
，则O 为P ABC -外接球球心，
过点D 作球O 的截面，最大的截面过球心，最小的截面是过D 且与OD 垂直的截面，由此可用PA 表示出两截面圆半径．
【详解】
如图．M 是BC 边中点，E 是AC 边中点，∵AB AC ⊥，∴M 是ABC ∆的外心，作//OM PA ，∵PA ⊥平面ABC ，∴OM ⊥平面ABC ，∴,OM AM OM MD ⊥⊥， 取1
2OM PA =
，易得OA OP =，∴O 是三棱锥P ABC -的外接球的球心。

E 是AC 中点，则//ME AB ，132ME AB ==，∴ME AC ⊥，∵3AD DC =，∴1
24
ED AC ==，
∴MD ===2PA a =，则OM a =，2222
13OD OM MD a =+=+，
又152AM BC =
==，∴222225OA OM AM a =+=+，
过D 且与OD 垂直的截面圆半径为r ，则r =这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA ，∴2
2
2
(25)1240OA r a πππππ+=++=，23a =，
222528OA a =+=，2
4428112S OA πππ==⨯=球。

故选：C 。

【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定三棱锥外接球球心。

结论：多面体外接球球心一定在过各面外心与此面垂直的直线上。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】
求导函数。

由(1)1f '=可求得a 。

【详解】由题意1
()ln ax f x a x x
-'=+，(1)1f a '=-，由11a -=得2a =。

故答案为：2。

【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数图象在该点的导数值。

14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则5a =_______. 【答案】
323
【解析】 【分析】
用基本量法，求出首项1a 和公比q ，再求5a 。

【详解】设首项1a ，公比q ，易知1q ≠，
∴214144
(1)2(1)
101S a q a q S q =+=⎧⎪-⎨==⎪-⎩，由于n a 均为正，∴1
232a q ⎧
=⎪⎨⎪=⎩， ∴4
451232
233
a a q ==⨯=。

故答案为：
323。

【点睛】本题考查等比数列的前n 项公式和通项公式，解题方法是基本量法，即由已知首先求出首项1a 和公比q ，然后再求通项公式和前n 项和公式。

15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（"
"表示一根阳线，"
"表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中
恰有两根阳线，四根阴线的概率为
_______.
【答案】
3
14
【解析】 【分析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。

抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。

抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

∴从8个卦中任取2卦，共有2828C =种可能，两卦中共2阳4阴的情况有12
336C C +=，所求概率为
632814
P =
=。

故答案为：
314。

【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。

本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。

16.点,A B 是抛物线2
:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ︒∠=，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则
||
d
AB 的最大值为_______.
【答案】3
【解析】 【分析】
过,,A B D 作准线的垂线，垂足分别为,,N P M ，则11
()()22
d MD AN BP AF BF ==+=+，在ABF ∆中寻找它们的关系，求出比值的最大值。

【详解】
如图，过,,A B D 作准线的垂线，垂足分别为,,N P M ，则11
()()22
d MD AN BP AF BF ==
+=+， ABF ∆中，
2
2
2
2cos120AB AF BF AF BF =+-︒22
AF BF AF BF
=++22223
()()(
)()24
AF BF AF BF AF BF AF BF AF BF +=+-≥+-=+，
当且仅当AF BF =时取等号。

∴
AF BF AB
+≤
=，
||d AB 123AF BF AB +=⋅≤，即d AB
【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到准线的距离，可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，cos 2cos 22sin (C B A -=sin A -sin )C . （1）求角B 的大小；
（2）若1c =，ABC ∆的面积为
2
，求b .
【答案】（1）3
π
；（2【解析】 【分析】
（1）应用二倍角公式化cos 2,cos 2C B 为sin ,sin C B 的形式，然后正弦定理转化为边的关系，最后由余弦定理求得B ；
（2）由面积公式求得a ，再由余弦定理求得b 。

【详解】（1）2
2
cos 2cos 212sin (12sin )2sin (C B C B A -=---=sin A -sin )C . ∴222sin sin sin sin sin B C A A C -=-，
由正弦定理得2
2
2
b c a bc -=-，2
2
2
a c
b b
c +-=，2221cos 22
a c
b B a
c +-==，∴3B π=。

（2）11sin 1sin 223ABC S ac B a π∆=
=⨯⨯=
，6a =，
∴2
2
2
2
2
2cos 61261cos
313
b a
c ac B π
=+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =
【点睛】本题考查二倍角公式，考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积公式。

在解三角形问题中应用正弦定理、余弦定理时行边角转换，是常用方法。

18.如图（1），在平面四边形ABCD 中，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，AB 中点为F ，3AC =，2BD =，
90BCD ︒∠=，沿BD 将BCD ∆折起，使C 至C '位置，如图（2）.
（1）求证：AC BD '⊥；
（2）当平面BC D '⊥平面ABD 时，求直线AC '与平面C DF '所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】
（1）折叠过程中，,BD CE BD AE ⊥⊥保持不变，又由线面垂直，从而得证线线垂直。

（2）由两平面垂直可得,,EA EB EC '两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面C DF '的法向量，由线面角的向量法求解。

【详解】（1）∵,BD C E BD AE '⊥⊥， ∴BD ⊥平面AC E '，而AC '⊂平面AC E '， ∴BD AC '⊥。

（2）由（1）知C EA '∠是二面角C BD A '--的平面角， 又平面BC D '⊥平面ABD ，∴90C EA '∠=︒，即EC EA '⊥， 分别以,,EA ED EC '为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，
在四边形ABCD 中，∵,CE BD BE DE ⊥=，∴CB CD =，1
12
CE BD =
=，2AE =，
∴(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1)E A B D C '-，F 是AB 中点，∴1(1,,0)2
F
(2,0,1)AC '=-，3(1,,0)2
DF =，(0,1,1)DC '=，
设平面DC F '的法向量为(,,)n x y z =，则
30
20
n DF x y n DC y z ⎧
⋅=+=⎪⎨
⎪⋅'=+=⎩，即2y =，则3,2x z =-=-，(3,2,2)n =--， cos ,(
n AC n AC n AC '⋅'
<>=
='-85
=， ∴直线AC '与平面C DF '
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求直线与平面所成的角，证明线线垂直，要先证线面垂直；而求直线与平面所成角可建立空间直角坐标系，用空间向量法求角，这样可以只要计算，不需要作图与证明。

19.设椭图2222:1(
0)x y C a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为3
，O 是坐标
原点，且1OB F B ⋅= （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点1
F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥
，求直线l 的方程.
【答案】（1）22
132
x y +=；
（2）10
x ++=
或10x +=. 【解析】 【分析】
（1）椭圆中1F B a =，由已知就有c a
ba ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，解得,a b ，得椭圆方程； （2）设出M 坐标，由21MF NF ⊥，得OM c =，再由M 在椭圆上，联立后可解得M 点坐标，从而求得直线方程。

【详解】（1
）由题意1c e a OB F B ba ⎧==⎪⎨⎪==⎩，又222
a b c =+
，∴1
a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ∴椭圆方程为22
132
x y +=；
（2）由（1）12(1,0),(1,0)F F -， 直线l 斜率不存在时不合题意，设l 方程
(1)y k x =+，1122(,),(,)M x y N x y ，
由22(1)
13
2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(32)6360k x k x k +++-=，
22121222
636
,3232
k k x x x x k k -+=-=++， ∵22MF NF ⊥，∴220F M F N ⋅=，即1212(1)(1)0x x y y --+=，
∴21212(1)(1)(1)(1)0x x k x x --+++=，222
1212(1)(1)()10k x x k x x k ++-+++=，
222
2
222366(1)(1)()103232k k k k k k k -+⋅+-⋅-++=++，整理得284k =
，2
k =±
， ∴直线l
的方程为(1)2
y x =±
+
，即10x ++=
或10x +=。

【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题。

考查运算求解能力。

在直线与椭圆相交问题中常常采用“设而不求”思想方法，即设直线方程，设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后可得1212,x x x x +，然后把1212,x x x x +代入题中的条件（如本题中22MF NF ⊥），求得参数值或证明出相应的结论。

20.已知函数1
()4cos()2
3
x f x x e π
=-
-，()f x '为()f x 的导函数，证明：
（1）()f x '
在区间[,0]π-上存在唯一极大值点； （2）()f x 在区间[,0]π-上有且仅有一个零点. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】 （1）求出导函数
'()f x ，设()'()g x f x =，再求'()g x ，由'()g x 的单调性及零点存在定理说明'()g x 在
[,0]π-上有唯一零点，这就是()g x 的唯一极大值点．
（2）由（1）
'()f x 在[,0]π-上有唯一极大值点，又计算'()f π-和'(0)f ，说明'()0f x >在[,0]π-上恒
成立，即()f x 是[,0]π-上的增函数，结合零点存在定理可得结论． 【详解】（1）1
'()2sin()2
3x f x x e π
=---，设1()2sin()23
x g x x e π
=---， 则1
'()cos()2
3
x g x x e π
=---，
当[,0]x π∈-时，516233x πππ-
≤-≤-，1cos()23
y x π
=-递增，又x y e =是增函数， ∴1'()cos()2
3
x g x x e π
=--
-在[,0]π-是单调递减．
1
'()02g e
ππ-=
->，3'(0)02g =-<，
∴存在唯一的0(,0)x π∈-，使得0'()0g x =，且当0[,)x x π∈-时，'()0g x >，()g x 递增，0(,0]x x ∈时，
)'(0g x <，()g x 递减，∴0x 是()g x 的极大值点，也是唯一极大值点．
即0x 是[,0]π-上的
'()f x 的唯一极大值点．
（2）由（1）1
'()10f e
ππ-=-
>，'(0)10f =>，∴[,0]x π∈-时，'()0f x >， ∴()f x 在[,0]π-上单调递增．
1
()0f e
ππ-=-<，(0)10=>f ， ∴()f x 在[,0]π-上存在零点也是唯一零点．
【点睛】本题考查导数与极值，考查零点存在定理．解题时导数说明函数的单调性，由零点存在定理说明零点存在，这样就是唯一的零点．
21.11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为
12
，乙每次投球命中的概率为2
3，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；
（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；
②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②1161
77i i i p p p +-=+，11156n n
p ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1-，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2--），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，
由00p =，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}n n p p --是等比数列，由等比数列通项公式得1n n p p --，然后用累加法可求得n p ． 【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3
P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，
(1)()P X P AB =-=1
21()()(1)233
P A P B ==-⨯
=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232
=
⨯+-⨯-=， 121
(1)()()()(1)236
P X P AB P A P B ====⨯-=，
∴X 的分布列为：
（2）由（1）116
p =
， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117
()2662636
=⨯+⨯+=，
同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--： 记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则
2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==
由此得甲的得分Y 的分布列为：
∴3111111131143()()3362636636636216
p =
⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，
∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)7
17b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：1161
77
i i i p p p +-=+， ∴111
()6
i i i i p p p p +--=
-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为1
6q =，首项为1016
p p -=， ∴11
()6
n
n n p p --=．
∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-+
+-111
111
()()(1)66
656
n n n -=++
+
=-． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，
则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为
极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14
π
ρθ-=.
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，P 是曲线C 上一点，求PAB ∆面积的最大值.
【答案】（1）()2
221x y -+=，x y +=；
（2. 【解析】 【分析】
（1）用消参数法可得曲线C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）求出,A B 两点坐标，得AB ，P 到直线l 的距离的最大值等于圆心到直线l 的距离加上圆的半径，由此可得ABP ∆面积最大值．
【详解】（1）由2cos sin x y αα
=+⎧⎨=⎩得22
(2)1x y -+=，这是曲线C 的普通方程，
由cos()14
π
ρθ-
=得
cos sin 122
ρθρθ+=，∴122x y +=，即x y +=．
（2）由（1）知直线l 与坐标轴的交点为A ，B ，
圆C 方程为2
2
(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1r =，点P 在圆C 上，
圆心C 到直线l 的距离为1d =
=，
P 到直线AB 的距离的最大值为h d r =+=2AB =，
∴max 1
()22
ABP S ∆=
⨯= 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程用消参
数法可化为普通方程，利用公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可进行极坐标方程与直角坐标方程的互化．
选修4-5：不等式选讲
23.已知0,0a b >>，2 3.a b +=证明：
（1）2
2
95a b +≥
； （2）33
814.16
a b ab +≤ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用22a b +的几何意义证明，22a b +表示点(,)P A b 到原点O 的距离的平方，距离的最小值是原点到直线23a b +=的距离，由此可证；
（2）先求出ab 的范围，然后334a b ab +可化为关于ab 的二次函数形式，再由二次函数的性质可得最大值，从而证明结论．
【详解】证明：（1）22a b +表示点(,)P A b 到原点O 的距离的平方，而原点到直线23a b +=的距离为
35
d =
=，∴2229
5a b d +≥=；
（2）∵0,0a b >>，∴32a b =+≥9
08
ab <≤
， 3322224(4)[(2)4](94)94()a b ab ab a b ab a b ab ab ab ab ab +=+=+-=-=-2981
4()816
ab =--+，易知
98ab =时，2981
4()816
ab --+取得最大值8116．
∴33
81416
a b ab +≤．
【点睛】本题考查不等式的证明，证明方法与一般证明不等式的方法不同，第（1）小题利用二次式的几何意义，表示两点距离的平方，由此得证法，第（2）小题由已知条件变形后代数式化为关于ab 的二次函数，由二次函数性质证明．这两种方法具有一定的局限性，注意体会．。