2018-2019学年北师大版数学选修1-2同步学案：第三章 3 综合法与分析法

§3 综合法与分析法
学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．
知识点一 综合法
思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .
证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc .
又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc .
因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .
答案 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 综合法的定义及特点
(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法．
(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．
(3)模式：综合法可以用以下的框图表示 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q
其中P 为条件，Q 为结论．
知识点二 分析法
思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab . 证明：要证a ＋b 2
≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，
只需证a＋b－2ab≥0，
只需证(a－b)2≥0，
因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
梳理分析法的定义及特征
(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．
(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．
(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：
Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件
1．综合法是执果索因的逆推证法．(×)
2．分析法就是从结论推向已知．(×)
3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(√)
类型一用综合法证明不等式
例1已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
考点综合法及应用
题点利用综合法解决不等式问题
证明∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又∵a，b，c互不相等，
∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
反思与感悟 综合法证明问题的步骤：
跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，
求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c
>3. 考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c
＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a
－3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数，
而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a
≥2， 且上述三式等号不能同时成立，
所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a
－3>6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c
>3. 类型二 分析法的应用
例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥
22(a ＋b )． 考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 当a ＋b ≤0时，∵
a 2＋
b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22
(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：
要证a 2＋b 2≥22
(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡
⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12
(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，
∴a 2＋b 2≥22
(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．
反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．
跟踪训练2 设a >b >0，求证：a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )．
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 因为a >b >0，所以a 2>ab >b 2，所以a 2－ab >0. 要证
a 2－
b 2＋ab －b 2>a (a －b )， 只需证a 2－ab a 2－b 2－ab －b 2
>a 2－ab a 2＋ab ， 只需证a 2－b 2－ab －b 2<a 2＋ab . 又
a 2－
b 2<a 2＋ab ＋ab －b 2显然成立， 所以a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )成立．
类型三 分析法与综合法的综合应用
例3 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：(a ＋b )－1＋ (b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－
1. 考点 分析法和综合法的综合应用
题点 分析法和综合法的综合应用
证明 要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，
即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c
， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c
＝3， 即证c a ＋b ＋a b ＋c
＝1. 即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，
即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.
因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.
由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°，
即b 2＝c 2＋a 2－ac .
所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证．
引申探究
本例改为求证a ＋b
1＋a ＋b >c 1＋c
. 证明 要证a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c
， 只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c ，
即证a ＋b >c .
而a ＋b >c 显然成立，
所以a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c
. 反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程． 跟踪训练3 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1.
求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2
<log x a ＋log x b ＋log x c . 考点 分析法和综合法的综合应用
题点 分析法和综合法的综合应用
证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2
<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需证log x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )， 由已知0<x <1，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2
>abc ， 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，
∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2
>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2
<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.
1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其应用了( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法、分析法综合使用
D ．类比法
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
答案 B
解析 在证明过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法．
2．要证2－3<6－7成立，只需证( )
A ．(2－3)2<(6－7)2
B ．(2－6)2<(3－7)2
C ．(2＋7)2<(3＋6)2
D ．(2－3－6)2<(－7)2
答案 C
解析 根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2，
∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.
3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x
中最大的是( ) A ．a
B ．b
C ．c
D ．随x 取值不同而不同
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 C
解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ，
∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 2
1－x
>0， ∴c >b >a .
4．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1
(x ∈R )是奇函数，那么实数a 的值为________． 考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
答案 1
解析 ∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1
(x ∈R )是奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x ＋1＋a (2x ＋1)－22x ＋1
＝0， ∴a ＝1.
5．已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3.
考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证
a 2＋
b 2＋
c 23≥a ＋b ＋c 3， 只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b ＋c 32， 只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ，
只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，
只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，
而这是显然成立的， 所以
a 2＋
b 2＋
c 23≥a ＋b ＋c 3
成立．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
一、选择题
1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D .这里①是②的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
考点 分析法及应用
题点 寻找结论成立的充分条件
答案 B
解析 分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B.
2．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )
A ．x >0，y >0
B ．x <0，y <0
C ．x >0，y <0
D ．x <0，y >0
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 A 解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，xy >1，得⎩⎨⎧ x >0，y >0. 3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )
A ．f (x )＝1x
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln(x ＋1) 考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
答案 A
解析 由题意得，f (x )在区间(0，＋∞)上是减少的，只有f (x )＝1x
符合要求． 4．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( )
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0
C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0
D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
考点 分析法及应用
题点 寻找结论成立的充分条件
答案 D
解析 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，
只需证a 2b 2－(a 2＋b 2)＋1≥0，
即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.
5．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是(
) A ．b 2＋c 2≥a 2 B ．b 2＋c 2>a 2
C ．b 2＋c 2≤a 2
D ．b 2＋c 2<a 2
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决三角形问题
答案 D
解析 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ，
∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.
6．若A ，B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决三角形问题
答案 C
解析 由正弦定理得a sin A ＝b sin B
＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)， 又A ，B 为三角形的内角，
∴sin A >0，sin B >0，
∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .
7．设a ，b >0，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )
A ．1≤ab ≤a 2＋b 22
B ．ab <1<a 2＋b 22
C ．ab <a 2＋b 22
<1 D.a 2＋b 22
<ab <1 考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 B
解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22
>ab ， 又因为a ＋b ＝2>2ab ，
故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2
＝2－ab >1， 即a 2＋b 22
>1>ab . 8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )是减少的．若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )
A ．恒为负
B ．恒等于零
C ．恒为正
D ．无法确定正负 考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
答案 A
解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )是减少的，可知f (x )在R 上是减少的．
由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，
所以f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，
所以f (x 1)＋f (x 2)<0.
二、填空题
9．“已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8”的证明过程
如下：
∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，
∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c
>0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc
＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．
这种证法是________．(填“综合法”或“分析法”)
考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题
答案 综合法
解析 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．
10．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．
考点 分析法及应用
题点 寻找结论成立的充分条件 答案 a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )
＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )
＝(a －b )2(a ＋b )．
∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a . 11．设a ≥0，b ≥0，a 2
＋b 2
2＝1，则a ·1＋b 2的最大值为________． 考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 324
解析 a ·1＋b 2＝2a ·12＋b 22≤22⎝⎛⎭⎫a 2＋12＋b 22＝324，当且仅当a 2＝12＋b 22且a 2＋b 22
＝1，即a ＝32，b ＝22
时，等号成立． 三、解答题
12．已知n ∈N ＋，且n ≥2，求证：
1n >n －n －1. 考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证
1n >n －n －1， 即证1>n －
n (n －1)， 只需证n (n －1)>n －1.
∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，
只需证n >n －1，该不等式显然成立，
故原不等式成立． 13．(1)用分析法证明：当a >2时，a ＋2＋a －2<2a ； (2)设a ，b 是两个不相等的正数，且1a ＋1b
＝1，用综合法证明：a ＋b >4. 考点 分析法和综合法的综合应用
题点 分析法和综合法的综合应用
证明 (1)要证
a ＋2＋a －2<2a ， 只需证(a ＋2＋a －2)2<(2a )2，
只需证2a ＋2
a 2－4<4a ， 只需证a 2－4<a .
∵a 2－4<a 2显然成立，∴
a 2－4<a 成立， ∴a ＋2＋a －2<2a 成立．
(2)∵a >0，b >0，且a ≠b ，
∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b
＝1＋1＋b a ＋a b
>2＋2b a ·a b ＝4， ∴a ＋b >4.
四、探究与拓展
14．若不等式(－1)n
a <2＋(－1)n ＋1
n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 ⎣
⎡⎭⎫－2，32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n ， 而2－1n ≥2－12＝32，所以a <32
； 当n 为奇数时，a >－2－1n ， 而－2－1n
<－2，所以a ≥－2. 综上可得，－2≤a <32
. 15．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
证明 由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .①
由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，
所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3
.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④
由余弦定理及③，
可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
，所以△ABC为等边三角形．由②③⑤，得A＝B＝C＝π
3。