上海数学初高衔接--初三一元二次方程根的判别式和根与系数关系(韦达定理) 学案

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初升高衔接-专题:
一元二次方程根的判别式和根与系数关系(韦达定理)
教学目标
1. 通过根与系数的关系的发现与推导,进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力;
2. 通过本节课的学习,向学生渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律。

培养逻辑思维及创新思
维能力。

知识梳理
引导:你能否写出一个一元二次方程,使它的两个根分别为 1)2和3 2)—4和7
问题1:从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系?
探索:03522
=+-x x 这个方程的两根之和,两根之积与各项系数之间有什么关系?请猜想?
问题2:对于一元二次方程的一般式)0(02
≠=++a c bx ax 是否也具备这个特征?
结论1:如果)0(02
≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ,那么a b x x -
=+21,a
c x x =21 结论2:如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ,那么p x x -=+21,q x x =21。

结论1具有一般形式,结论2有时给研究问题带来方便.
典例精讲
17 min.
例1. 关于x 的方程022
=+-m x x 的一根为2,求另一根和m 的值。

(★★)
例2. 已知βα,是方程01322
=--x x 的两根,不解方程,求下列各式的值。

(★★★)
(1)
β
α1
1
+
(2))1)(1(++βα (3)2
2βα+
(4)βα-
(5)3
3βα+
例3. 已知21,x x 是关于x 的方程02
2
=-+p px x 的两个实数根且02121=--x x x x 。

(1)求证:方程总有两个实数根; (2)求p 的值。

例4. 已知关于x 的二次方程05)2(22
2
=-+--a x a x 有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的
值。

课堂检测
1. 已知方程02
=++c bx x 有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求c b ,的值。

2. 已知21,x x 是关于x 的方程02
=++q px x 的两根,1,121++x x 是关于x 的方程02
=++p qx x 的两根,
求常数q p ,的值。

3. 设:01632=--a a ,01632=--b b 且b a >,求2
2b a -的值。

4. 关于x 的一元二次方程0)2()14(32
2
=++--m m x m x 的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m 的
值。

5. 已知21,x x 是关于x 的方程02
2=++n x m x 的两个实数根;
21,y y 是关于y 的方程0752
=++my y 的两个实数根,且2,22211=-=-y x y x ,求n m ,的值
6.已知关于x 的一元二次方程022
2
=++p x x 有两个实根21,x x (21x x ≠),在数轴上,表示2x 的点在表示1
x
的点的右边,且相距1+p ,求p 的值。

7.设:已知实数b a ,分别满足222
=+a a ,222
=+b b 且b a ≠,求4
4
b a -的值。

5.关于x 的方程04
122
2
=+-n mx x ,其中n m ,分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。

(1)求证:这个方程有两个不相等的实根;
(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长。

6.已知关于x 的方程mx 2-nx+2=0两根相等,方程x 2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证:方程x 2-(k+n)x+(k -m)=0一定有实数根。

7.已知一元二次方程0524)32(2
=-++-k kx x k ,且14+k 是腰长为4的等腰三角形的底边长,求当k 取何整数时,方程有两个整数根。

回顾总结
一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积和系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,为进一步学习使用打下坚实基础.
韦达定理的内容
①如果)0(02
≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ,那么a b x x -
=+21,a
c x x =21 ②如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ,那么p x x -=+21,q x x =21。

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