2021-2022学年北师大版必修五 an与Sn的关系及裂项求和法 课件(32张)

解:(1)当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-8(n-1)+10=2n2-12n+20,
∴an=Sn-Sn-1=2n2-8n+10-2n2+12n-20=4n-10.
当n=1时,a1=S1=2-8+10=4,
4,
= 1,
而 4×1-10=-6≠4,∴an=
4-10, ≥ 2.
∵当n≥2时,an-an-1=4n-10-4(n-1)+10=4,
第2课时
an与Sn的关系及裂项求和法
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.进一步熟练掌握等差数列通项公式
及前 n 项和公式.
2.掌握公式 an=Sn-Sn-1(n≥2)的应用.
3.掌握裂项相消法求数列前 n 项和的方
法.
1.an与Sn的关系
因为Sn=a1+a2+a3+…+an,当n≥2,且n∈N+时,Sn-1=a1+a2+…+an-1,所
一项或少数几项外,其余各项都能前后相抵消,进而可求出数列的
前n项和.
1
1
1
1
+
+
+…+
=
【做一做2】 1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)

答案:
3+1
.
名师点拨常用的裂项求和公式
1
+1
(1)若{an}是等差数列,则
=
1 1
1
+1
1
1 1
1
=
;
+2
2 +2
1
1 1 1
(2)
=
;
(+)
+
1
1
1
1
(3)
=2
- 2+1 ;
(2-1)(2+1)
2-1
1
1
(4)
= ( + − );
+ +
1
1
1
1
(5)
=
(+1)(+2)
2 (+1) (+1)(+2)
.
,
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
是其通项公式;
(3)由an=Sn-Sn-1求得的an,代入n=1时,若a1≠S1,则数列的通项公式
就用分段的形式来表示,即an= 1 ( = 1),
--1 ( ≥ 2).
2.裂项求和法
裂项法求和是数列求和的一种常用方法,它的基本思想是设法将数
列的每一项拆成两项(裂成两项),并使它们在相加时除了首尾各有
2
两式相减得,8an=2 − -1
+4an-4an-1,

2
1
1
1
∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 −
=,
2(-1) 2(-1)
1
又当 n=1 时,S1=a1= ,
2
1
( = 1),
2
∴an=
1
( ≥ 2).
2(-1)
探究一
探究二
探究二
探究三
探究四
思维辨析
利用 an 与 Sn 的关系求解数列问题
【例2】 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且8Sn=(an+2)2.
“×”.
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+2,则{an}的通项公式为
an=2n+1. (
)
(2)已知数列{an}的通项公式为an=18-3n,Sn是{an}的前n项和,Tn是
{|an|}的前n项和,则一定有Tn≠Sn. (
)

n
(3)数列-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,…,(-1) ·n,…的前n项和为 2 . (
(1)证明:∵-an=2SnSn-1,
∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).
1
1
又 Sn≠0(n=1,2,3,…),∴ − =2.

-1
1
1
又 = =2,
1
1
1
∴ 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列.

探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
1
1
(2)解:由(1)可知 =2+(n-1)·2=2n,∴Sn= .
(3)写出an的表达式.
2.在由Sn求an时,若忽视对n=1时情况的讨论,将可能导致错误.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),
1
2
且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1= .
(1)求证:
1

是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
为
.
答案:an=2n+1
名师点拨利用Sn求an的方法
已知数列{an}的前n项和求通项公式an,一般要使用公式an=Sn-Sn1(n≥2),但必须注意它成立的条件是n≥2,除此之外还要注意以下
几点:
(1)求a1时不能使用an=Sn-Sn-1,因为S0在数列前n项和中无意义,而
应该是a1=S1;
(2)由an=Sn-Sn-1求得的an,代入n=1时,若恰好a1=S1,则an=Sn-Sn-1就
而- ·
=- ,
3
3
3
2
1 -1
所以 an=- ·
(n∈N+).
3
3
−
1 -1
3
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟1.已知Sn求an时,应分为以下三步:
(1)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1求出an;
(2)当n=1时,由a1=S1求出a1,并判断a1的值是否适合(1)中求得的an;
)
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
探究一
探究四
思维辨析
利用 Sn 求 an
【例1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn=2n2-8n+10,求通项公式
an,并判断数列是否为等差数列;
1
-1,求其通项公式.
(2)已知数列{an}的前n项和公式 Sn=
3
分析:根据an与Sn的关系求an,要注意分类讨论.
以Sn=Sn-1+an,即an=Sn-Sn-1;而当n=1时,a1=S1,即S1为数列{an}的首项.
因此,如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式,那么这个数列是确定
1 ( = 1),
的,并且 an= - ( ≥ 2).
-1
【做一做1】已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则{an}的通项公式
∴数列{an}从第2项起构成等差数列,但{an}不是等差数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
=
1
3
-1 −
1
1 -1
=
−
3
3
2
1 -1
=- ·
,
3
3

1 -1
-1
3
=
当 n=1 时,a1=S1=
1
3
·
1 -1
3
1 1
2
-1=- ,
3
3
2
1 1-1 2
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
分析:(1)根据an=Sn-Sn-1消去Sn,得到an与an-1的关系后进行判断;(2)
由a1=S1代入求出a1的值,结合(1)求得通项公式.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
(1)证明:因为8Sn=(an+2)2,
所以当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2,