课件6：2.2.2 反证法

一个也没有
至多有
假设词
至少有两个
(不存在)
(n－1)个
至少有 (n＋1)个
即时训练 1.已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2. 证明：假设 p＋q>2，则 q>2－p， 从而 q3>8－12p＋6p2－p3，即 q3>2＋6(p－1)2－p3， 于是 p3＋q3>2＋6(p－1)2. 又∵(p－1)2≥0，∴p3＋q3>2. 此结论与已知 p3＋q3＝2 矛盾，因此 p＋q>2 不成立， 即 p＋q≤2.
跟踪训练
4.对于定义在实数集 R 上的函数 f(x)，如果存在实数 x0， 使 f(x0)＝x0，那么 x0 叫做函数 f(x)的一个好点．已知函数 f(x) ＝x2＋2ax＋1 不存在好点，那么 a 的取值范围是( )
A.－12，23 C.(－1,1)
B.－32，12 D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
命题方向2 用反证法证明唯一性命题 例 2 求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行． 证明：已知：点 P 在直线 a 外． 求证：过点 P 与直线 a 平行的直线有且只有一条． 证明：∵点 P 在直线 a 外，∴点 P 和直线 a 确定一个平面， 设该平面为 α，在平面 α 内，过点 P 作直线 b，使得 b∥a， 则过点 P 有一条直线与 a 平行．
即时训练 2.证明：不论 x、y 取任何非零实数，等式1x＋1y＝x＋1 y总不 成立．
证明：假设存在非零实数 x1、y1，使得等式1x＋1y＝x＋1 y 成立，则有 y1(x1＋y1)＋x1(x1＋y1)＝x1y1， ∴x12＋y12＋x1y1＝0，∴(x1＋y21)2＋34y21＝0， ∵x1，y1≠0，∴(x1＋y21)2＋34y21>0， 从而得出矛盾，故原命题成立．
由①－②，得 y1－y3＝y3－y1， ∴y1＝y3.从而有 y2＝y4，则 x1＝2yp21 ＝2yp32 ＝x3.
同理 x2＝x4.∵x1＝x3，x2＝x4，y1＝y3，y2＝y4，
∴A，C 点重合，B，D 点重合，
这与 A，B，C，D 为抛物线上任意四点矛盾， 故假设不成立． ∴四边形 ABCD 不可能是平行四边形．
知识链接 1.命题有几种形式？什么样的命题具有相同的真假性？ 2．你知道如何将“他俩说的都对”否定吗？ 【答案】1.命题有：原命题、否命题、逆命题、逆否命题 四种形式，一个命题和它的逆否命题具有相同的真假性． 2．他俩说的不都对.
教材预习 一、反证法 1．反证法的定义 一般地，由证明 p⇒q 转向证明¬q⇒r⇒…⇒t，t 与假设 矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法．
命题方向3 用反证法证明否定命题
例3 求证抛物线上任取四点所组成的四边 形不可能是平行四边形． 已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2 ＝2px(p>0)上的任意四点，其坐标分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA，求证：四边 形ABCD不可能是平行四边形．
∴f(x)＝x2＋2ax＋1 不存在好点时， a 的取值范围是 a∈－12，23. 【答案】 A
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在否定命题的结论时，当命题的结论的反面非常明 显并且只有一种情形时，比较容易作出否定，但命题 的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容 易作出否定．这时必须认真分析、仔细推敲，在提出 “假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否 恰是命题的结论．
(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从 命题的结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件) 及原命题的条件出发，引用一系列的论据进行正确推理， 推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
证明：由题意得，直线 AB 的斜率为 kAB＝yx22－ －yx11＝y12＋py2，同理 kBC＝y32＋py2，kCD＝y42＋py3， kDA＝y12＋py4. 假设四边形 ABCD 为平行四边形，则有 kAB＝kCD， kBC＝kDA.
即有yy23＋＋yy12＝＝yy31＋＋yy44
① ②，
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跟踪训练 1.若 a、b、c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3， c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0， 即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 因此 a，b，c 中至少有一个大于 0.
假设过点 P 还有一条直线 c 与 a 平行． ∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与 b、c 相交于点 P 矛盾， 故假设不成立． 方法总结 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命 题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只 有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结 论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性较简单明了．
方法总结 当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不 存在”等词语的命题时，此类问题的反面比较具体，适于 应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把 假设作为已知条件推导出矛盾．
跟踪训练
3. 给 定 实 数
a ， a≠0
且
a≠1 ， 设 函 数
y
＝
x－1 ax－1
x∈R且x≠a1，求证：经过这个函数图象上任意两点的 直线不平行于 x 轴．
命题方向4 反证法思想的应用 例 4 已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a －1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 至少有一个方程有实根， 求实数 a 的取值范围．
解：若方程没有一个有实根，则
16a2－4(3－4a)<0
①
(a－1)2－4a2<0 ②
4a2＋8a<0 ③
解之得－32<a<－1.
2．反证法的证题步骤
3．注意的问题 (1)反证法中的“反设”是应用反证法的第一步，
也是关键的一步．“反设”的结论将是下一步“归谬” 的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，将直接 影响下一步的证明．要做好“反设”必须正确分清题 设和结论；对结论实施正确的否定；对结论否定时， 找出其所有的分类情况．
命题方向1 用反证法证明存在性命题
例 1 证明：二次函数 y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx ＋a，y＝cx2＋2ax＋b(a，b，c≠0)(a，b，c 是互不相同 的实数)．它们的图象至少有一个与 x 轴有两个交点．
方法总结 (1)反证法是利用原命题的否命题不成立则 原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必 须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一 种可能，反证法都是不完全的． (2)对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不 可能”等字样时，常用反证法．
故三方程至少有一个方程有实根的 a 的取值范围是
aa≥－1或a≤－23
.
方法总结 本题用到了反证法，还用到了“判别式法”、 “补集法”(全集 R)，也可从正面直接求解，即分别求出 三个方程有实根(Δ≥0)时 a 的取值范围，再将三个范围并 起来，即求集合的并集，这两种解法，要求对不等式解 集的交、并、补集概念和运算理解透彻．
二、反证法的适用范围 反证法不是直接证明命题结论正确，而是利用“原命 题的否定不成立，则原命题一定成立”来进行证明 的．因而如果结论的反面比结论本身更具体、更明确、 更简单，则适宜用反证法．反证法证题主要有以下几 种类型：
1．唯一性命题的证明可考虑使用反证法． 2．当命题中涉及“至少”“至多”“无限”时，可考虑 使用反证法． 3．直接证明较繁琐或较困难时，可考虑使用反证法． 4．当问题的结论是以否定形式出现的否定性命题时，可 考虑使用反证法． 5．结论的反面为简单明确的命题，可考虑使用反证法．
证明：假设此函数图象上存在两点 M1，M2，使得直线 M1M2 平行于 x 轴． 设 M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，且 x1≠x2， 则由 kM1M2＝0 得xy22－－xy11＝axx22－－x112－ －axx1x11－－11
＝(ax2－a1－)(a1x1－1)＝0. 解得 a＝1，这与已知条件 a≠1 矛盾， 故假设不成立，原命题成立， 即经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于 x 轴.
2.2.2 反证法
情境导入 甲、乙、丙三人站成一列，
甲在前，丙在后，乙在中间．有 3 红 2 黑 5 顶帽子，现在随机 抽取 3 顶分别戴在甲、乙、丙 三人头上．只有站在后面的人才可以看见前面的人头上 帽子的颜色．
让这三人各自猜自己头上帽子的颜色，结果丙先说不知 道，然后乙也说不知道，最后甲猜出自己头上帽子的颜色 是红色的．你知道甲是怎么推理的吗？
3．常见的“原结论词”与“假设词”
对所有 x
原结论词 只有一个
对任意 x 不成立
成立
没有或至 存在某个
假设词
存在某个 x 成立
少有两个 x 不成立
原结论词 都是 一定是 p 或 q 假设词 不都是 一定不是 ¬p 且¬q
p且q ¬p 且¬q
原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个
跟踪训练 2.证明方程2x＝3有且只有一个实根． 证明：∵2x＝3，∴x＝log23， 这说明方程有一个根． 下面用反证法证明方程 2x＝3 的根是唯一的． 假设方程 2x＝3 有两个根 b1，b2(b1≠b2)． 则 2b1＝3,2b2＝3. 两式相除得：2b1－b2＝1.
如果 b1－b2>0，则 2b1－b2>1，这与 2b1－b2＝1 相矛盾． 如果 b1－b2<0，则 2b1－b2<1，这也与 2b1－b2＝1 相矛盾． 因此 b1－b2＝0，则 b1＝b2. 这就同 b1≠b2 相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故 2x＝3 有且只有一个实根.
【解析】 解法 1：由题意知 f(x)＝x，即 x2＋2ax＋1＝x， 即 x2＋(2a－1)x＋1＝0 无实数解， ∴Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a－3<0. ∴－21<a<32. 解法 2：若 f(x)＝x2＋2ax＋1 存在好点，则 Δ＝4a2－4a－ 3≥0⇒a≤－12或 a≥23.