2020届陕西省西安市高考数学二模试卷(理科)

2020年陕西省西安市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共12小题）．
1．已知R 是实数集，集合{}2A x z x =∈<，{}210B x x =-≥，则(
)R
A B ⋂=（ ）
A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．{}1
C ．{}1,0-
D ．1,2⎧⎫
-∞⎨⎬⎩
⎭
2．已知i 是虚数单位，复数31i
z i
+=+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．12i +
B ．12i -
C ．2i +
D ．2i -
3．已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()
a b b -⊥，则m =（ ） A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－2
4．6
2x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ）
A ．60
B ．－60
C ．－192
D ．192
5．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A ．96
B ．72
C ．48
D ．36
6．已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A ．2
2
a b <
B ．
2211
ab a b < C ．22
a b ab <
D ．
b a a b
< 7．如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形，则该几何体体积为（ ）
A ．620π+
B ．916π+
C ．918π+
D ．206π3
+
8．点P 是抛物线2
4y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线2x =-的距离和的最小值是（ ）
A
B
C 1
D 1
9．将函数()sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象向左平移a （0a >）
个单位得到函数()cos2g x x =的图象，则a 的最小值为（ ） A ．
3
π
B ．
512
π C ．
23
π D ．
12
π 10．已知曲线ln x
y ae x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．a e =，1b =-
B ．a e =，1b =
C ．1
a e -=，1
b =
D ．1
a e -=，1
b =-
11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x -是定义在R 上的奇函数，则()()20182020f f +的值为（ ） A ．－1
B ．1
C ．0
D ．无法计算
12．设2F 是双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的
右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ）
A ．7
±
B ．3
±
C ．2
±
D ．2
±
二、填空題
13．在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为______． 14．函数()
22log 23y x x =+-的单调增区间是______．
15．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC △的面积()22
14
S a c =
+，若
2sin sin B A C =，则角B 的值为______．
16．在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC △为正三角形，AD AB ==O 为三
棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______．
三、解答题（解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题
17．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点． （1）求证：//EF 平面11A DC ；
（2）若1AA =2AB =，求二面角
11E A D C --的正弦值．
18．某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人．
（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数；
（2）已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分．
19．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，22n n S a =-（N n *
∈）．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n n
n
b a =
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 20．已知函数()22ln f x x a x ax =--（R a ∈）． （1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（2）记()()g x f x ax =+，若()g x 在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，求a 的取值范围．
21．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F
，若椭圆经过点)
1P
-，且
12PF F △的面积为2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设斜率为1的直线l 与圆O ：2
2
x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值． （二）选考题
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系中，直线l
的参数方程为12
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为
极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >． （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ．设()0,1M -，且2
4PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值． [选修4-5：不等式选讲]
23．设函数()213f x x x =--+． （Ⅰ）解不等式()0f x >；
（Ⅱ）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【分析】集合A 为解简单绝对值不等式，集合B 为解简单一次不等式．
解：由题可知：{}1,0,1A =-，12B x x ⎧⎫=≥
⎨⎬⎩⎭
∴
R 12B x x ⎧
⎫
=<
⎨⎬⎩⎭
，即(){}R 1,0A B ⋂=-． 故选：C ．
2．【分析】将3z z i i +⋅=+化为31i
z i
+=
+，对其进行化简得到z ，利用共轭复数的性质得到 解：3z z i i +⋅=+可化为()()()()3133221112
i i i i
z i i i i +-+-=
===-++- ∴z 的共轭复数为2z i =+， 故选：C ．
3．【分析】可求出()3,2a b m -=+，根据()a b b -⊥即可得出()
0a b b -⋅=，进行数量积的坐标运算即可求出m ．
解：()3,2a b m -=+；
∵()
a b b -⊥； ∴()()6220a b b m -⋅=-+=；
解得1m =． 故选：B ．
4．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得常数项的值．
解：二项式6
2x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为：
()()6632
2
16
6
C 22C r r r r
r
r
r r T x
x x
---+=⋅⋅-⋅=-⋅，
令
6302
r
-=，求得2r =， 故常数项为：()2
2
62C 60-⋅=，
故选：A ．
5．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 解：设样本中A 型号车为x 辆，则B 型号为()8x +辆，
则
2
83
x x =+，解得16x =， 即A 型号车16辆， 则
216
234n
=++，
解得72n =． 故选：B ．
6．【分析】根据条件取1a =-，1b =即可排除错误选项． 解：根据a ，b 为非零实数且0a b <<， 取1a =-，1b =，则可排除A ，C ，D ． 故选：B ．
7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个半球和一个三棱锥体组成的组合体． 所以2211
π363318π9332
V =
⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+． 故选：C ．
8．【分析】过P 作PN ⊥准线于N ，连接PF 、AF ，由抛物线的定义可知，PN PF =，FA PA PF ≤+，所以当P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点A 的距离与点P 到直线1x =-的距离之和最小，此时与到直线x ＝﹣2的距离和也最小．
解：由题可知，焦点()1,0F ，准线为1x =-，过P 作PN ⊥准线于N ，连接PF 、AF ，
由抛物线的定义可知，PN PF =，FA PA PF ≤+，
所以当P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点A 的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为|
FA =
所以点P 到点A 的距离与P 到直线2x =-1． 故选：D ．
9．【分析】由题意利用诱导公式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得a 的最小值． 解：将函数()sin 23f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向左平移a （0a >）个单位， 得到函数()sin 22cos 23g x x a x π⎛⎫
=+-
= ⎪⎝
⎭
的图象， ∴当实数a 取得最小值时，23
2
a π
π
-
=
，
故实数a 取得最小值为512
π， 故选：B ．
10．【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得102ae ++=，可得a ，进而得到切点，代入切线方程可得b 的值．
解：ln x
y ae x x =+的导数为ln 1x
y ae x '=++，
由在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+， 可得102ae ++=，解得1
a e -=，
又切点为()1,1，可得12b =+，即1b =-， 故选：D ．
11．【分析】由已知结合奇函数与偶函数的性质可得()()110f x f x ++-=，然后代入可求． 解：因为()1f x -是定义在R 上的奇函数， 故()()11f x f x --=--，
因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=， 所以()()()111f x f x f x +=-+=--⎡⎤⎣⎦， 所以()()110f x f x +=-=，
令2019x =，可得()()201820200f f +=，
12．【分析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形，所以
12MF PF =，1//MF PN ，由双曲线的定义知，212MF MF a -=，于是23MF a =，1MF a =，因为
260MF N ∠=︒
，
所以
1260F MF ∠=︒
，在
12
MF F △中
，由余弦定理知
2
2
1212
1212
cos 2MF MF F F F MF MF MF +-∠=
⋅⋅，代入数据化简整理得2
2
47c a =，然后利用222
22b c a a a -=，求出
b a
的值即可得解．
解：设双曲线的左焦点为1F ，如图所示，
由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形， ∴12MF PF =，1//MF PN ， 而223MF PF =，∴213MF MF =，
由双曲线的定义可知，212MF MF a -=，∴23MF a =，1MF a =， ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒， 在12MF F △中，由余弦定理知，222
1212
1212
cos 2MF MF F F F MF MF MF +-∠=⋅⋅，即222
194223a a c a a
+-=⋅⋅，
化简，得2
2
47c a =，
∴222223
4
b c a a a -==，即2b a =，
∴双曲线C 的渐近线的斜率为± 故选：D ．
13．【分析】直接利用测度比为长度比求解． 解：要使此数大于2，只要在区间(]
2,5上取即可，
由几何概型概率可得此数大于2的概率为：
523
514
-=-． 故答案为：
34
． 14．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，再由内函数的增区间求得原函数的增区间． 解：由2
230x x +->，得
3x <-或1x >．
∵2
23t x x =+-在()1,+∞上为增函数，
∴()
22log 23y x x =+-的单调增区间为()1,+∞． 故答案为：()1,+∞．
15．【分析】直接利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
解：由于2
sin sin B A C =
，
利用正弦定理整理得2
b =，
由于ABC △的面积()22
14
S a c =
+， 所以
()2211
sin 24
ac B a c =+，且2222cos a c b ac B +=+， 故：()22112cos
24B b ac B =+，转换为22
211224B b B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
)sin cos 1B B -=， 即2sin 14B π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，故1sin 42
B π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭． 由于0B π<<， 所以34
4
4
B π
π
π
-
<<-
<
，
所以4
6
B π
π
-
=
，解得：512
B π=
． 故答案为：
512
π 16．【分析】作图，设O '为ABC △的中心，连结OM ，OO '，AO ，作平面ODA 交BC 于E ，根据条件可证得BF ⊥平面DAB ，作//OH BF ，得到OH 是DBF △的中位线．所以1
2
OH BF =，可得所求值． 解：设O '为ABC △的中心，M 为AD 中点，连结OM ，OO '，AO ，
则1AO '=，AM =
OA =ODA 交BC 于E ，交BC 于F ． 设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，
又∵DF ⊥平面ABC ，∴90DAF ∠=︒，
∴DF 是
O 的直径，DF =
因为PA AB ⊥，PA =AB =BD =
所以1BF =，AF 是
O 的直径，连结BF ．
∵BF DA ⊥，BF AB ⊥， ∴BF ⊥平面DAB ， ∴90DBF ∠=︒， 作//OH BF ， 又DO OF =，
∴OH 是DBF △的中位线．1
2
OH BF =
， 故12OH =
． 故答案为：
12
．
三、解答题（解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题
17．【分析】（1）证明四边形11ADC B 为平行四边形，可得11//AB DC ，进而得到1//EF DC ，由此得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面11A DC 及平面1EA D 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 解：（1）证明：连接1AB ，
∵E ，F 分别为AB ，1BB 的中点， ∴1//EF AB ，
∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱， ∴四边形11ADC B 为平行四边形， ∴11//AB DC ， ∴1//EF DC ，
∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ， ∴//EF 平面11A DC ；
（2）在正四棱柱中，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,1,0E
，(1A
，(10,2,C ，
∴()112,2,0AC =-
，
(1DA =
，(10,EA =-， 设平面11A DC 的法向量为(),,m x y z =
，则220
20
x y x -+=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
，可取(
)
3,1m =
-，
设平面1EA D 的法向量为(),,n a b
c =，则
{20
a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩
，可取()
3,2
n =-，
∴7cos ,m n m n m n
⋅=
=-
，
∴二面角11E A D C --的正弦值为
14
．
18．【分析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数．
（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分．
解：（1）∵“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人， ∴该考场有100.25040÷=（人），
∴该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数为：
()4010.3750.3750.1500.025400.0753⨯----=⨯=．
（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为：
10.3750.0250.2000.0750.100----=，
该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为：
()()()()()11400.2002400.1003400.3754400.2505400.075 2.940
⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦． 19．【分析】（1）先由题设条件12a ⇒=与12n n a a -=，从而说明数列{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，进而求得n a ；
（2）先由（1）求得n b ，然后利用错位相减法求得n T ，然后利用n T 单调性求得其取值范围． 解：（1）由题意知：当1n =时，1122S a =-，得12a =；
当2n ≥时，由112222n n n n S a S a --=-⇒=-，两式相减整理得：12n n a a -=，
∴数列{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，2n
n a =；
（2）由（1）知：2n n n n n b a ==，∵231111132222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，
∴2
3
1
1111122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
②，
由①﹣②可得：
()231
1111122111111111212222222212
n
n n n n n T n n n +++⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-⋅=
-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-，
∴222n n n T +=-
，显然有：2n T <．∵02n
n
n
b =>， ∴n T 单调递增，且111
2
T b ==
， ∴
1
22
n T ≤<． 20．【分析】（1）求导数的零点可得1x a =，22
a
x =-，再分0a =，0a >及0a <讨论函数的单调性，求得函数的最大值与a 取值范围即可；
（2）分离参数可得22
ln x a x
=，构造函数()2ln x h x x =，分析其单调性与值域，从而得到实数a 的取值范围．
解：（1）()()()2
22x a x a a f x x a x x -+'=--=
，令()0f x '=，解得1x a =，22
a x =-； 当0a =时，()20f x x =≥恒成立，满足题意；
当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增， 则()()min 2ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤； 当0a <时，()f x 在0,2a ⎛⎫-
⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 则()2
22min
ln 02422a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫
=-=+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得3
420e a -≤<；
综上，实数a 的取值范围为3
4
2,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
；
（2）显然1x =不是()g x 的零点，
由()0g x =得()2
2
ln x a h x x
==（*）
， 则()()
()
2
2ln 1ln x x h x x -'=
，令()0h x '=
，解得x =
易知，当1,1x e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
和(x ∈时，()h x
单调递减，当
e ⎤⎦时，()h x 单调递增，
又1,1x e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()0h x <，（*）不成立，
∴只需()2222a h e a h e e
⎧>=⎪⎨≤=⎪⎩，
∴实数a
的取值范围为
,e e ⎡⎤-⋃
⎣
⎦．
21．【分析】（1）根据三角形面积可2c =，将P 点代入椭圆得到
2
261
1a b
+=，联立即可求得a ，b ； （2）设直线l 的方程为y x m =+
，表示出AB =m 的
取值范围，结合条件表示出λ=
m 取值范围求得其范围寄了 解：（1）因为12PF F △的面积为2，即
1
2122
c ⨯⨯=，所以2c =，则224a b -=，① 又因为P 点在椭圆上，则
22
61
1a b +=，②
解①②得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为：22
184
x y +=；
（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点O 到直线l
的距离d =
，
由弦长公式可得AB ==，
将2y m =+代入椭圆C 中可得22
34280x mx m ++-=， 则()
221612280m m ∆=-->
，解得m -<<
由直线和圆相交的条件可得d r <
<，解得22m -<<，
综上可得m 的取值范围是()2,2-； 设()11,C x y ，()22,D x y ，
则1243
m x x +=-，21228
3m x x -=，
由弦长公式可得
CD =
==
由CD AB λ=
，得CD AB λ=== 因为22m -<<，所以2
044m <-≤， 则当0m =
时，λ取得最小值为3
，此时l 的方程为y x =． （二）选考题
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．
解：（1
）直线l
的参数方程为2
1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．转换为直角坐标方程为10x y --=．
根据222cos sin x y x y ρθ
ρθρ⎧=⎪
=⎨⎪+=⎩
转换为极坐标方程为：cos sin 1ρθρθ-=．
曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >．根据222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩
转换为直角坐标方程为22
2x y ax
+=（0a >）．
（2）显然点M 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到)2110t a t ++=，
所以)121t t a +=+，121t t =． 且2
4PQ MP MQ =⋅， 则212
124t t t t -=，解得1a =或3-
由于0a >，所以1a =． [选修4-5：不等式选讲]
23．【分析】（Ⅰ）解法一：利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式()0f x >的解集；
解法二：()0f x >等价于213x x ->+，利用两边平方法去掉绝对值，从而求得不等式的解集； （Ⅱ）利用绝对值不等式求出()33f x x ++的最小值，从而求得实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）解法一：当1
2
x ≥
时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >； 当132x -≤<
时，()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得233
x -≤<-； 当3x <-时，()()213320f x x x x =-+++=-->，解得3x <-； 综上知，原不等式的解集为2
43
x x x <->⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
或；
解法二：()0f x >等价于213x x ->+， 两边平方整理得，2
31080x x -->， 解得2
3
x <-
或4x >； 所以，原不等式的解集为243
x x x <->⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
或；
（Ⅱ）()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=， 当1
32
x -≤≤
时等号成立； 所以7a ≤；
所以实数a 的取值范围是(],7-∞．。