积分公式

2.基本积分公式表
(1)∫0d x=C
(2)=ln|x|+C
(3)(m≠-1，x>0)
(4)(a>0,a≠1)
(5)
(6)∫cos x d x=sin x+C
(7)∫sin x d x=-cos x+C
(8)∫sec2x d x=tan x+C
(9)∫csc2x d x=-cot x+C
(10)∫sec x tan x d x=sec x+C
(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C
(12)=arcsin x+C
(13)=arctan x+C
注．(1)不是在m=-1的特例．
(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．
事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则
(ln|x|)' =(ln(-x))' =.
(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．
下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．
3.不定积分的四则运算
根据微分运算公式
d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)
d(kf(x))=k d f(x)
我们得不定积分的线性运算公式
(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x
(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是非零常数.
现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．
例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x
解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x
=+7ln|x|－5cos x－4sin x+C .
注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成一个任意常数C，因此在最后写出C即可．
例2.5.5求∫(1+)3d x
解.原式=∫(1+3+3x+)d x
=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x
=x+3+C
=x+2x++C .
注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．
例2.5.6求
解.原式=
=
=－x+arctan x+C .
注.被积函数是分子次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出一个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分子次数低于分母的次数．
例2.5.7求.
解.原式=
=∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .
注.利用三角函数公式将被积函数化简成简单函数以便使用基本积分公式.
例2.5.8求.
解.原式=
=+C .
为了得到进一步的不定积分计算方法，我们先用微分的链锁法则导出不定积分的重要计算方法−−换元法.
思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出一个整式，再加上一个有理真分式，一般情形怎样实施这一步骤？
4.第一换元法（凑微分法）
我们先看一个例子：
例2.5.9求.
解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分子只差常数倍数2，如果将分子补成2x,即可将原式变形：
原式=(令u=1+x2)
=
(代回u=1+x2)
.
注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．一般地
在F'(u)=f(u),u=ϕ(x)可导,且ϕ' (x)连续的条件下,我们有
第一换元公式(凑微分)：
u=ϕ (x) 积分代回u=ϕ (x)
∫f[ϕ(x)]ϕ' (x)d x=∫f[ϕ(x)]dϕ(x)=∫f(u)d u=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C
其中函数ϕ(x)是可导的,且F(u)是f(u)的一个原函数．
从上述公式可看出凑微分法的步骤：
凑微分————→换元————→积分————→再换元
ϕ' (x)d x=dϕ(x) u=ϕ(x) 得F(u)+C得F[ϕ(x)]+C
注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在
F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:
[F[ϕ(x)]+C]' =F '[ϕ(x)]ϕ' (x)=f[ϕ(x)]ϕ' (x)
这就验证了公式的正确性．
例2.5.10求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)
解.原式=(凑微分d(ax+b))
=(换元u=ax+b)
=(积分)
=. (代回u=ax+b)
例2.5.11求.
解.原式=(凑微分d(-x3)=-3x2d x)
==
=
(换元u=-x3)
.
注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=ϕ(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到心中有数．
例2.5.12求∫tan x d x.
解.原式=
=-ln|cos x|+C .
同理可得
∫cot x d x=ln|sin x|+C .
例2.5.13求
(a>0)
.
解.原式=
=.
例2.5.14求(a>0).
解.原式=
=.
例2.5.15求
.
解.原式=
=
=
=
.例2.5.16∫sec x d x.
解.原式=(换元u=sin x)
=
=
=(代回u=sin x)
=
=
=ln|sec x+tan x|+C .
公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .
例.2.5.17求∫csc x d x .
解.原式=
=
=ln|csc x-cot x|+C .
公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .
凑微分法是不定积分换元法的第一种形式，其另一种形式是下面的第二换元法．
5.第二换元法
不定积分第一换元法的公式中核心部分是
∫f[ϕ(x)]ϕ'(x)d x=∫f(u)d u
我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=ϕ(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另一种形式，称为第二换元法．即若f(u),u=ϕ(x),ϕ'(x)均连续,u=ϕ(x)的反函数x=ϕ-1(u)存在且可导,F(x)是f[ϕ(x)]ϕ'(x)的一个原函数,则有∫f(u)d u=∫f[ϕ(x)]ϕ'(x)d x=F(x)+C=F[ϕ-1(u)]+C .
第二换元法常用于被积函数含有根式的情况．
例2.5.18求
解.令(此处ϕ(t)=t2)．于是
原式=
=
=(代回t= -1(x)=) 注.你能看到，换元=t的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式,然后积分．
第二换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．
例2.5.19求. (a>0)
解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是
原式==∫sec t d t
=ln|sec t+tan t|+C1 .
到此需将t代回原积分变量x，用到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下面介绍一种直观的便于实施的图解法：作直角三角形，其一锐角为t及三边a，x，
满足：
sec t=
由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1
=
=
.
注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．
(a>0)
例2.5.20求
.
解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是
原式==∫sec t d t
=ln|sec t+tan t|+C1 ．
图解换元得
原式=ln|sec t+tan t|+C1
=
.
公式:
.
例2.5.21求
(a>0)
.
解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是
原式=
=
=+C
.
图解换元得：
原式=+C
=+C .
除了换元法积分外，还有一个重要的积分公式，即分部积分公式．
思考题.在第二换元法公式中，请你注意加了一个条件“u=ϕ(x)的反函数x=ϕ1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？
6.分部积分公式
我们从微分公式
d(uv)=v d u+u d v
两边积分，即
∫d(uv)=∫v d u+∫u d v
由此导出不定积分的分部积分公式
∫u d v=uv -∫v d u
下面通过例子说明公式的用法．
例2.5.22求∫x2ln x d x
解.∫x2ln x d x
=(将微分dln x算出)
=
=.
例2.5.23求∫x2sin x d x.
解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)
=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (用分部积分公式)
=-x2cos x+∫2x cos x d x
=-x2cos x+2∫x dsin x(第二次凑微分)
=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第二次用分部积分公式)
=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .
例2.5.24求∫e x sin x d x.
解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)
=e x sin x-∫e x dsin x(用分部积分公式)
=e x sin x-∫e x cos x d x(算出微分)
=e x sin x-∫cos x d e x(第二次凑微分)
=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第二次用分部积分公式)
=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x(第二次算出微分)
由此得：
2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C
因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．
注.(1)此例中在第二次凑微分时，必须与第一次凑的微分形式相同．否则若将∫
e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产生恶性循环，你可试试．
(2)积分常数C可写在积分号∫一旦消失之后．
例2.5.25求∫arctan x d x
解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故
原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (用分部积分公式)
=x arctan x - d x(算出微分)
=x arctan x - (凑微分)
=x arctan x - ln(1+x2)+C .
小结.
(1)分部积分公式常用于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如
x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数
x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦
x2e x幂函数与指数函数
e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦
等等．
(2)在用分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，一般应选择容易凑的那个．例如
arctan x d，ln x d
222x
我们已学习了不定积分的几种常用方法，除了熟练运用这些方法外，在许多数学手册中往往列举了几百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之用，称为积分表．
思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使用的规律，特别是第一步凑微分时如何选择微分.
7.积分表的使用
除了基本积分公式之外，在许多数学手册中往往列举了几百个补充的积分公式，构成了积分表．
下面列出本节已得到的基本积分公式．
(1)∫0d x=C
(2)=ln|x|+C
(3)(m≠-1,x>0)
(4)(a>0,a≠1)
(5)
(6)∫cos x d x=sin x+C
(7)∫sin x d x=- cos x+C
(8)∫sec2x d x=tan x+C
(9)∫csc2x d x=- cot x+C
(10)∫sec x tan x d x=sec x+C
(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C
(12)=arcsin x+C
(13)=arctan x+C
(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C
(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C
(16)=(a>0)
(17)=(a>0)
(18)(a>0)
(19)=(a>0)
(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C
(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C
利用积分表中的公式，可使积分计算大大简化．积分表的使用方法比较简单，现举一例说明之．
例2.5.26求
解.从积分表中查得公式
则将a=3，b=－1，c=4代入上式并添上积分常数C即得解答：
=
.。