【成才之路】高中数学人教A版必修2练习：2.2.3直线与平面平行的性质(含答案解析)

第二章 2.2 2.2.3
一、选择题
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是导学号92180413 ()
A．AC∥截面BA1C1 B．AC与截面BA1C1相交
C．AC在截面BA1C1内D．以上答案都错误
[答案] A
[解析]∵AC∥A1C1，又∵AC⊄面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1.
2．如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，
则DE与AB的位置关系是导学号 92180414()
A．异面B．平行
C．相交D．以上均有可能
[答案] B
[解析]∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC．
又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.
又AB∥A1B1，∴DE∥AB．
3．下列命题正确的是导学号92180415()
A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线b
B．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交
C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α
D．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点
[答案] D
[解析]A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能
与平面α平行，所以不正确；C中，直线b也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D正确，故选D．
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC、AC于点E、F，则导学号92180416()
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
[答案] B
[解析]∵在▱AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB．又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC．又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B．
5．如右图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是导学号92180417()
A．平行B．相交
C．异面D．不确定
[答案] A
[解析]∵EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，
∴EH∥平面BCD．
∵EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴EH∥BD．
6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为导学号92180418() A．1B． 2
C ．
2
2
D ．
32
[答案] C
[解析] 由PQ ∥平面AA 1BB 知PQ ∥AB 1，又P 为AO 1的中点，∴PQ ＝12AB 1＝2
2.
二、填空题
7．如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 分别交平面α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.导学号 92180419
[答案]
20
9
[解析] ∵a ∥α，α∩平面ABD ＝EG ，∴a ∥EG ，即BD ∥EG ， ∴
EG BD ＝AF AF ＋FC ，则EG ＝AF·BD AF ＋FC ＝5×45＋4＝209
. 8．如图，ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是其四边上的点且共面，AC ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE
EB
＝________.导学号 92180420
[答案] m n
[解析]
AE EB ＝CF BF ＝FG
n －FG ＝m －EF EF
，而EF ＝FG . ∴EF ＝mn m ＋n ，∴AE EB ＝m －EF EF ＝m
n .
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，求证：AB ∥GH.导学号 92180421
[解析] ∵E 、F 分别是AA 1和BB 1的中点，∴EF ∥AB ． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH. 又AB ⊂平面ABCD ，
平面ABCD∩平面EFGH ＝GH ，∴AB ∥GH.
10．四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2
3CD ．试问在PC 上
能否找到一点E ，使得BE ∥平面PAD ？若能，请确定E 点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由.导学号 92180422
[解析] 在PC 上取点E ，使
CE PE ＝12
，
则BE ∥平面PAD ．
证明如下：延长DA 和CB 交于点F ，连接PF. 梯形ABCD 中，AB ∥CD ， AB ＝2
3CD ．
∴AB CD ＝BF FC ＝23， ∴BC BF ＝12. 又CE PE ＝12
， ∴△PFC 中，CE PE ＝BC
BF ，
∴BE ∥PF ，
而BE ⊄平面PAD ，PF ⊂平面PAD ． ∴BE ∥平面PAD ．
一、选择题
1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是导学号 92180423( )
A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行
B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 相交
C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行
D ．过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 [答案] D
[解析] A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与a 平行了． B 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能作一条直线与a ，b 相交． C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾． D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点作直线c ∥b ，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是唯一的．
2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a 、b 、c 、…，那么这些交线的位置关系为导学号 92180424( )
A ．都平行
B ．都相交且一定交于同一点
C ．都相交但不一定交于同一点
D ．都平行或交于同一点 [答案] D
[解析] 若l ∥平面α，则交线都平行； 若l∩平面α＝A ，则交线都交于同一点D ．
3．如图，在三棱锥S －ABC 中，E 、F 分别是SB 、SC 上的点，且EF ∥平面ABC ，则导学号 92180425( )
A ．EF 与BC 相交
B ．EF ∥B
C C ．EF 与BC 异面
D ．以上均有可能
[答案] B
[解析] ∵EF ⊂平面SBC ，EF ∥平面ABC ，平面SBC∩平面ABC ＝BC ，∴EF ∥BC ． 4．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题：导学号 92180426 ①
⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③
⎭
⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m 、n 异面．
其中假命题有( )
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[答案] C
[解析]∵α∥β，∴α与β没有公共点．
又∵m⊂α，∴m与β没有公共点，
∴m∥β，故①正确，②③错误．
二、填空题
5．已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是________四边形.导学号92180427
[答案]平行
6．长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E，F分别是侧棱AA1、CC1上的动点，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF ∥平面PBD，则CF＝________.导学号92180428
[答案] 2
[解析]连接AC交BD于O，连接PO.
因为EF ∥平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF∩平面PBD ＝PO ，所以EF ∥PO ，在PA 1上截取PQ ＝AP ＝2，连接QC ，则QC ∥PO ，所以EF ∥QC ，所以EFCQ 为平行四边形，则CF ＝EQ ，又因为AE ＋CF ＝8，AE ＋A 1E ＝8，所以A 1E ＝CF ＝EQ ＝1
2A 1Q ＝2，从而
CF ＝2.
三、解答题
7．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC 、BD 都平行，且交空间四边形边AB 、BC 、CD 、DA 分别于E 、F 、G 、H.导学号 92180429
(1)求证：EFGH 为平行四边形； (2)若AC ＝BD ，EFGH 能否为菱形？
(3)若AC ＝BD ＝a ，求证：平行四边形EFGH 周长为定值．
[解析] (1)∵AC ∥平面EFGH ，平面ACD∩平面EFGH ＝GH ，且AC ⊂面ACD ， ∴AC ∥GH ，同理可证，AC ∥EF ，BD ∥EH ，BD ∥FG . ∴EF ∥GH ，EH ∥FG .∴四边形EFGH 为平行四边形． (2)设AC ＝BD ＝a ，EH ＝x ，GH ＝y ，
AH HD ＝m n
. ∵GH ∥AC ，∴GH:AC ＝DH:DA ＝DH:(DH ＋HA)． 即：y:a ＝n:(m ＋n)，∴y ＝
n m ＋n
a. 同理可得：x ＝EH ＝m
m ＋n
a.
∴当AC ＝BD 时，若m ＝n 即AH ＝HD 时，则EH ＝GH ，四边形EFGH 为菱形． (3)设EH ＝x ，GH ＝y ， H 为AD 上一点且AH:HD ＝m:n. ∵EH ∥BD ，∴EH BD ＝AH
AD .
即x a ＝m m ＋n ，∴x ＝m m ＋n a. 同理：y ＝
n
m ＋n
a ， ∴周长＝2(x ＋y)＝2a(定值)．
8．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置.导学号 92180430
[解析] 若MB ∥平面AEF ，过F 、B 、M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接MN 、NF.因为BF ∥平面AA 1C 1C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN.
又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形，
所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1. 而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2， 所以MN ∥EC ，MN ＝1
2EC ＝1，
故MN 是△ACE 的中位线．
所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF.。