2018学年高中数学新课标人教A版必修5同步学案：2.1第2

第二 课时 数列的简单表示方法
一、课前准备
1.课时目标：搞清数列的表示方法，能根据数列的某些项写出数列通项公式，根据数列的递推数列求出数列的通项公式，根据图像特点可以写出数列的通项或某些项，搞清数列是特殊的函数.
2.基础预探：
1. 常用的数列简单表示方法有___、___、___、___.
2. 数列的前n 项和公式为n S ，再求n a 时，首先要对___进行讨论，求出1a ，再对___进行
时，1n n n a S S -=-，求出的1a 是否符合n a ，如果符合所求的通项为n a ，否则应写为
1(2)
(1)
n
n a n a a n ≥⎧=⎨=⎩. 3. 利用递推数列求数列的通项，可以先求出数列的___项，再根据数列的特点写出数列的通
项.
二、基础知识习题化
1. 已知数列的前n 项的和为223n S n n =++，那么数列的通项公式为n a 为多少？
2. 已知111,2n n a a a +==，写出前五项，猜想数列的通项公式n a .
3. 已知12a =，且12
n n n
a a n +=
+，则数列{}n a 的第2,3,4,5项分别为（） A. 2321,,,557 B. 3221,,,557 C. 2231,,,755 D. 2112,,,33515
4. 已知数列{}n a 中，已知123,2a a ==且12n n n a a a --=-，则1-是这个数列的第（） A.第3项 B.第9项 C.第36(1)k +-项 D. 第3项或第92项. 三、学法引领
（1） 数列是特殊的函数，数列的表示方法可以用数列的通项公式、也可以列表、也可以利
用图像表示数列，对于递推数列求数列的通项可以先求出数列的前三项，再根据前三项的特点，写出数列的通项公式，一般按归纳-----猜想------再证明的方法求数列的通项；
（2） 有数列的前n 项和n S 求数列的通项n a 一般是分两步求解，首先求当1n =时，求1a ，
再求当2n ≥时，1n n n a S S -=-再验证当1n =是否适合1n n n a S S -=-如果适合就是
n a ，否则1(2)
(1)
n
n a n a a n ≥⎧=⎨=⎩. （3） 遇到型如1()n n a a f n --=类型的数列求通项问题，一般是利用累加求和的方法求出数
列的通项n a ；遇到型如
1
()n
n a f n a -=的数列求通项的问题可以转化为12
12
1
(),(1),(2)n n n n a a
a f n f n f a a a ---==-=累乘求出数列的通项即 1
2
12
1
()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---=-.
（4） 有些数列是递推数列但是直接求数列的通项比较困难时，有可能是周期数列可以求出
数列的前几项便发现数列是周期数列，根据周期写出通项或求某些项.
四、典型例题
题型一 用递推数列写出数列的前n 项
例1 根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式. ①110,21n n a a a n +==+-； ②111,1
n
n n a a a a n +==+
+； ③12211,3,32n n n a a a a a ++===-.
思路导析：归纳猜想数列的通项公式时，其一要仔细寻找数列中各项间的规律，其二要分析数列各项在计算过程中式子结构的变化规律情况，从结构中寻找规律. 解：①12340,1,4,9a a a a ====，猜想()2
1n a n =-. ②1234345
1,,,222
a a a a ==
==，猜想12n n a +=.
③12342,3,5,9a a a a ====，猜想1
2
1n n a -=+.
规律总结：求通项公式时，常用观察分析法、特殊数列法，归纳递推数列，但归纳猜想只是一种思维的方法，结果的正确性，还需进一步的证明.
变式训练1 已知数列{}n a 中，111,1
n n n
a a a n +==+. （1）写出数列的前5项； （2）猜想数列的通项公式. 题型二 用累乘法球数列的通项公式
例2 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()(
)2
2
*
1110,n n n n n a a a a n N
+++-+⋅=∈，
求n
a =？
思路导析：对上式进行因式分解，找出1n a +与n a 的关系，再用累乘进行求解. 解：由()221110n n n n n a a a a +++-+⋅=，得()()1110n n n n n a a na na a ++++-+=， 由于10n n a a ++>，()110n n n a na +∴+-=，即
11
n n a n
a n +=
+， 32412311231
,,,,234n n a a a a n a a a a n
--====
L ， 将以上各式相乘得：
11
n a a n
=，又11a =，1n a n ∴=.
规律总结：由递推数列公式求通项公式，除用累加、乘积、迭代等方法外，还应注意变形，是否为特殊的数列进行求解.
变式训练2 已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+，写出该数列的前5项及它的一个通项公式.
题型三 由数列的前n 项和n S ，求数列的通项公式
例3 设数列{}n a 的前n 项和n S ()
2*
322,n n n N =-+∈，求{}n a 的通项公式.
思路导析：由n S 求n a ，一定要注意分情况：当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-. 解：当2n ≥时，()()2
2
1322311264n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦
.
当1n =时，114a S ==，与通项公式中的12a =矛盾，所以数列的通项公式为
()()4,164,2n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
.
变式训练 3 若数列{}n a 的前n 项和()2
101,2,3,n S n n n =-=L ，则此数列的通项公式为
_______.
题型四 周期数列问题
例4 在数列{}n a 中，已知(
)*
12211,5,n n n a a a a a n N
++===-∈，求2002
2002,a
S .
思路导析：此数列是以递推公式给出的，但所求的项数较大，若依次递推显然不科学，这就启发我们能从前面有限的若干项中发现规律，然后利用规律求解. 解：
12211,5,n n n a a a a a ++===-，
345674,451,145,5(1)4,1a a a a a ∴==-=-=--=-=---=-=， 891011125,4,1,5,4,
,a a a a a ===-=-=-即数列的前12项依次为1,5,4，1,5,4---，
1,5,4，1,5,4---，
,
仔细观察发现，该数列的项呈周期性出现，周期为6项. 而20022002200233364,1,9a S =⨯+∴=-=.
规律总结：当数列是以递推公式给出且所求项的项数比较大时，可先列出它前面的若干项，直至发现规律性，然后利用规律性解之，可化繁为简，化难为易. 变式训练
4.已知数列{}n a 中，)(,1
1
),0(11*+∈+-=>=N n a a b b a n n ，能使n a b =的n 可以等于（） A.14 B.15 C.16 D.17 五、随堂训练
1. 已知数列{}n a ，n n a a m =+ (0,)a n N <∈中有122,4a a ==则3a 的值为（） A. 2 B . 6 C .8 D .9
2. 在数列{}n a 中，1112,ln(1)n n a a a n
+==++，则n a （） A. 2ln n + B. 2(1)ln n n +- C 2ln n n + D.. 1ln n n ++
3.在数列{}n a 中，111
,(1)2(2)3
n n n a a a n -=
=-≥，则5()a = A. 163- B. 163
C. 83-
D. 83
4.已知数列{}n a 的前n 项的和为251n S n n =++，则这个数列的通项公式为（）
A. 24n a n =+
B. 23,n a n =+
C. 7(1)24(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩
D. 7(1)
23(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩
5.……的一个通项公式是______________
6.数列{}n a 满足()12lg 11n a a a n ++++=+，求n a .
六、课后作业
1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（）. A.15 B.16 C.49 D.64
2.根据下列图形及相应的点数，其通项公式为（）.
图
A. 2
2n n + B. 2n - C. 21n + D. 2n + .
3. 已知数列{}n a 满足()()112311,2312n n a a a a a n a n -==+++
+-≥，则{}n a 的通项
1,1,
___, 2.n n a n =⎧=⎨
≥⎩
4.已知数列{}n a 的通项1
122133n n n a --⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，则数列{}n a 中的项最大的项为第_____项，最小的项为第_____项.
5. 数列{}n a 的通项公式是(1)0.9n n a n =+⨯，问是否存在这样的正整数N ，使得对任意的正整数n ，都有n N a a ≤成立，证明你的结论.
6..在数列{}n a 中，已知()112
11
,221
n n a a a n +=-=-，写出数列的前四项，并归纳出通项公式. 参考答案 二、基础预探
1.【通项公式法、递推公式法、列表法、图像法.】
2. 1,2n n =≥
3.前几项 基础知识习题化 1. 解：
先求首项1a ，当1n =时，11236a =++=，当
22123(1)2(1)321n n n a S S n n n n n -=-=++-----=+，
所以6(1)21(2)
n n a n n =⎧=⎨
+≥⎩.
2. 解：123451,2,4,8,16a a a a a =====，所以数列的通项公式为12n n a -=
3. 解：把12a =代入可求得
23，再把223a =代入可求得31
3
a =，所以选D. 4. 解：123,2a a ==，3211a a a =-=-，432123a a a =-=--=-，
53(1)2a =---=-，62(3)1a =---=，73a =，所以该数列是周期数列周期是6所以
选C. 变式训练
1. 解：（1）12341111,,,234
a a a a ====； （2）1
n a n
=
. 2. 解：123451,3,7,15,31a a a a a =====，
∴该数列的前5项是1,3,7,5,31.
观察结构写出21n
n a =-.
3. 解：111109a S ==-=-，
当2n ≥时，()()2
2
1101101211n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-；
当1n =时，符合上式，即211n a n =- 4. 解：C 由题可知，12341111
,,,111111b a b a a a b b b b b b
+==-
=-=-=-=++-+-++，
所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，观察四个选项可知C 正确. 五、随堂练习
1. A 解： 22122,4201a a m a a m a a a =+==+=⇒--=⇒=-，
3(1)32n n a a =-+⇒=
所以选A. 2. 解：A 依题意得
121321123ln(
)ln ,ln ,,ln 121n n n n n n
a a a a a a a a n n +-+-=⇒-=-=-=-，叠加得 n a n n n
a a n n ln 2ln )1
342312ln(1+=⇒=-⋅⋅=-
3. 解：【A 】 212345124816,(1),,33333a a a a a ==-=-==-，
4. 解：选B 当11111517,224n n n n a S n a S S n -=⇒==++=≥⇒=-=+
5.
解：由数列的特点可知n a =6. 解：
()12lg 11n a a a n ++++=+，
112110n n a a a +∴+++
+=， ①
()111102n n a a n -∴++
+=≥， ②
由①-②，得()1
10109102n n n n a n +=-=⨯≥.
由
211lg(1)2,10199a a +=∴=-=.
()()991,
9102.
n n
n a n =⎧⎪∴=⎨⨯≥⎪⎩ 六、课后作业
1. 解析：A 221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，所以828115a =⨯-=
2. 解析：由图可知1233,8,15a a a ===，验证可知选A
3. 答案：
!2
n 解：3n ≥时，()()()12211112211n n n n n n a a a n a n a a n a na -----=++
+-+-=+-=，
3n ∴≥时，()()()()()
1232112123n n n n a na n n a n n n a n n n a ---==-=--=
=--.
又当2n =时，211,a a ==，
3n ∴≥时，()()1321
!132
2
n n n n a n n -⋅
⋅⨯⨯=-⋅
⋅=
=
. 又222!122
a ==
=， 2n ∴≥时，!
2
n n a =.
4.答案：最大的项为1a ，最小的项为3a .
解：1
1111222222211
1[][]3333324n n n n n n a -----⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，由图像可知最大项
为最大的项为1a ，最小项为3a
5. 解：由(1)0.9n n a n =+⨯，得()()()1
11999218101010n n
n n n n a a n n n +++⎛⎫
⎛⎫
-=+-+=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
.
∴当
8
n <时，
1n n a a +>，当
8
n >时
，
1n n a a +<，且
8912389
,a a a a a a a a a
=
∴<<<
<=>>>
∴存在正整数N=8或9，使n N a a ≤成立.
6. 解：由()112
11
,221
n n a a a n +=
-=-，得 ()
()()2132431
115151919113
,,,23661510103514
211
221231a a a a a a =+
=
+==+=+==+=+=⨯-⨯-⨯-，
归纳出通项公式为43
42
n n a n -=-.
【备用试题】
已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-.
（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 证明：数列{}n a 是单调递减数列. 解：（1）2(log )2n f a n =-
得，
2
12210n n n n n
a n a na a n a -
=-⇒+-=⇒=-±因为0n a >
，,*n a n n N ∴=∈
（2
）证明：
111n n n n a a a a ++==<⇒<
所以数列{}n a 是单调递数列.。