专题 数列通项公式的求法(解析版)
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当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， 符合上式，所以 ；
【变式1-1】4．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（文））已知数列 的前n项和 .(1)求数列 的通项公式；
【答案】 ；
【分析】利用 ，即可得 的通项公式；
【解析】因为 ，当 时， ，
当 时， ，
因为 也满足 ，综上， ；
【变式1-1】5.已知 为数列 的前 项和，且 ，则 ．
【答案】
【分析】由 先求得 ，再根据 求得 的表达式，验证首项，即可得答案.
【详解】 ,故当 时， ；
当变式1-1】3．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ．
求 的通项公式.
【答案】
【分析】根据 作差即可得解；
【解析】数列 的前 项和为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故答案为：
◆类型3分式型
【例题2-3】（2022·全国·高三专题练习）数列 中， ，则 __________.
【答案】 ##
【分析】结合累加法及裂项相消法可得 ，根据已知条件即可求出通项公式.
【详解】因为 ，所以 ，
则当 时， ，将 个式子相加可得
，因为 ，则 ，
当 时， 符合题意，所以 .
【答案】
【分析】用累加法即可求出 ．
【详解】 ， 当 时， ， ， ， 以上各式相加得：
而 也适合上式， ．故答案为： ．
【变式2-2】2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知数列 满足 ， ，则 ___________.
【答案】
【分析】利用累加法求解即可
【详解】因为 ，所以 ，
， ，……， ，
题型2累加法
【方法总结】累加法：若已知 且 的形式；
◆类型1等差型
【例题2-1】（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列 满足 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用累加法可求得 的值.
【详解】由题意可得 ，则
.故选：B.
【变式2-1】1.（2022·山东·邹城市兖矿第一中学高三阶段练习）在数列 中， ， ，则数列 ______．
【答案】 ；【解析】由 ，得 ，当 时， ；
当 时， ，所以数列 的通项公式为 ．
◆类型2等比型
【例题1-2】（2022·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知数列 的前 项和 满足： .求 的通项公式；
【答案】
【分析】利用退一相减法可知数列 为等比数列，进而可得数列 的通项公式；
【解析】由已知 ，
所以 故答案为： .
【变式2-3】1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式；
【答案】
【分析】由已知条件可得 ，再由递推及 可得 ，最后再检验即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
，… ，所以累加可得 ．
又 ，所以 ，所以 ．
经检验， ，也符合上式，所以 ．
◆类型2等比型
【例题2-2】（2021·江苏省灌南高级中学高二期中）数列 满足 ，则 _____．
【答案】
【分析】利用累加法，结合等比数列的前 项公式，即得.
【详解】因为 ，所以 ， ，…， ，
所以 ，所以 ，
当 时， ，也符合，故 .故答案为： .
【变式2-2】1.（2022·上海市大同中学高二阶段练习）若 ， ， ，则 _________．
【变式1-2】2.（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式是 ___________.
【答案】
【分析】根据 ，作差得到 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而求出数列的通项公式；
【详解】解：因为 ，
当 时， ，所以 ，当 时， ，
两式相减， 整理得 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 .故答案为：
当 时， ，解得 ，
当 时， ，则 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ；
【变式1-2】1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于()
A．－16B．16
C．31D．32
【解析】当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.
专题数列通项公式的求法
题型1 由 与 的关系求数列的通项公式
【方法总结】若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
◆类型1直接型
【例题1-1】已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．Sn＝2n2－3n；
【解析】a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
【变式1-2】3．（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知各项均不为零的数列 的前n项的和为 ，且满足 ， ．求数列 的通项公式；
【答案】 ；
【分析】（1）利用给定的递推公式，探求数列 相邻两项的关系，即可求解作答.
（1） ， ，当 时， ，两式相减得： ，由 得： ，即 ，满足上式，
因此 ， ，于是得数列 是首项为4，公比为4的等比数列， ，所以数列 的通项公式是 .
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
【变式1-1】1.（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）若 是数列 的前n项的和， ，则 __________；
【答案】33
【分析】根据 与 的关系即得．
【详解】因为 ，所以 ．故答案为：33．
【变式1-1】2.（2022·上海市大同中学高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式 _________.
【答案】
【分析】由题意，数列 中，可得 ，再利用等差数列的求和公式，即可求解．
【详解】由题意，数列 中，满足 ， ，则
，故答案为：
【变式2-1】2.根据条件，确定数列{an}的通项公式．a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋ )；
【解析】∵an＋1＝an＋ln(1＋ )，∴an－an－1＝ln(1＋ )＝ln (n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln 2＋2＝2＋ln( · ·…· ·2)＝2＋lnn(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋lnn(n∈N*)．
当 时， 符合上式，所以 ；
【变式1-1】4．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（文））已知数列 的前n项和 .(1)求数列 的通项公式；
【答案】 ；
【分析】利用 ，即可得 的通项公式；
【解析】因为 ，当 时， ，
当 时， ，
因为 也满足 ，综上， ；
【变式1-1】5.已知 为数列 的前 项和，且 ，则 ．
【答案】
【分析】由 先求得 ，再根据 求得 的表达式，验证首项，即可得答案.
【详解】 ,故当 时， ；
当变式1-1】3．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ．
求 的通项公式.
【答案】
【分析】根据 作差即可得解；
【解析】数列 的前 项和为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故答案为：
◆类型3分式型
【例题2-3】（2022·全国·高三专题练习）数列 中， ，则 __________.
【答案】 ##
【分析】结合累加法及裂项相消法可得 ，根据已知条件即可求出通项公式.
【详解】因为 ，所以 ，
则当 时， ，将 个式子相加可得
，因为 ，则 ，
当 时， 符合题意，所以 .
【答案】
【分析】用累加法即可求出 ．
【详解】 ， 当 时， ， ， ， 以上各式相加得：
而 也适合上式， ．故答案为： ．
【变式2-2】2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知数列 满足 ， ，则 ___________.
【答案】
【分析】利用累加法求解即可
【详解】因为 ，所以 ，
， ，……， ，
题型2累加法
【方法总结】累加法：若已知 且 的形式；
◆类型1等差型
【例题2-1】（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）已知数列 满足 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用累加法可求得 的值.
【详解】由题意可得 ，则
.故选：B.
【变式2-1】1.（2022·山东·邹城市兖矿第一中学高三阶段练习）在数列 中， ， ，则数列 ______．
【答案】 ；【解析】由 ，得 ，当 时， ；
当 时， ，所以数列 的通项公式为 ．
◆类型2等比型
【例题1-2】（2022·重庆市璧山来凤中学校高三阶段练习）已知数列 的前 项和 满足： .求 的通项公式；
【答案】
【分析】利用退一相减法可知数列 为等比数列，进而可得数列 的通项公式；
【解析】由已知 ，
所以 故答案为： .
【变式2-3】1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式；
【答案】
【分析】由已知条件可得 ，再由递推及 可得 ，最后再检验即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
，… ，所以累加可得 ．
又 ，所以 ，所以 ．
经检验， ，也符合上式，所以 ．
◆类型2等比型
【例题2-2】（2021·江苏省灌南高级中学高二期中）数列 满足 ，则 _____．
【答案】
【分析】利用累加法，结合等比数列的前 项公式，即得.
【详解】因为 ，所以 ， ，…， ，
所以 ，所以 ，
当 时， ，也符合，故 .故答案为： .
【变式2-2】1.（2022·上海市大同中学高二阶段练习）若 ， ， ，则 _________．
【变式1-2】2.（2022·上海市南洋模范中学高二开学考试）若数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式是 ___________.
【答案】
【分析】根据 ，作差得到 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而求出数列的通项公式；
【详解】解：因为 ，
当 时， ，所以 ，当 时， ，
两式相减， 整理得 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 .故答案为：
当 时， ，解得 ，
当 时， ，则 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ；
【变式1-2】1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于()
A．－16B．16
C．31D．32
【解析】当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.
专题数列通项公式的求法
题型1 由 与 的关系求数列的通项公式
【方法总结】若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
◆类型1直接型
【例题1-1】已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．Sn＝2n2－3n；
【解析】a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
【变式1-2】3．（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知各项均不为零的数列 的前n项的和为 ，且满足 ， ．求数列 的通项公式；
【答案】 ；
【分析】（1）利用给定的递推公式，探求数列 相邻两项的关系，即可求解作答.
（1） ， ，当 时， ，两式相减得： ，由 得： ，即 ，满足上式，
因此 ， ，于是得数列 是首项为4，公比为4的等比数列， ，所以数列 的通项公式是 .
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
【变式1-1】1.（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）若 是数列 的前n项的和， ，则 __________；
【答案】33
【分析】根据 与 的关系即得．
【详解】因为 ，所以 ．故答案为：33．
【变式1-1】2.（2022·上海市大同中学高二阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式 _________.
【答案】
【分析】由题意，数列 中，可得 ，再利用等差数列的求和公式，即可求解．
【详解】由题意，数列 中，满足 ， ，则
，故答案为：
【变式2-1】2.根据条件，确定数列{an}的通项公式．a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋ )；
【解析】∵an＋1＝an＋ln(1＋ )，∴an－an－1＝ln(1＋ )＝ln (n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln 2＋2＝2＋ln( · ·…· ·2)＝2＋lnn(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋lnn(n∈N*)．