2019届全国新高考原创仿真试卷(六)理科数学试题

2019届全国新高考原创仿真试卷（六）
理科数学
本试题卷共8页，23题（含选考题），分选择题和非选择题两部分。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的共轭复数为，满足，则复数（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求得，然后根据求得，进而可得．
【详解】根据题意可得，
所以，解得，
所以复数．
故选D．
【点睛】本题考查共轭复数的概念和复数模的运算，考查运算能力，属于基础题．
2.设集合，集合，则等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合A和集合B，由此能求出A∩B．
【详解】∵集合A={y|y=log2x，0＜x≤4}={y|y≤2}，
集合B={x|e x＞1}={x|x＞0}，
∴A∩B={x|0＜x≤2}=（0，2]．
故选：B．
【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
3.已知命题在中，若，则；命题，.则下列命题为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：命题在中，，根据正弦函数的性质可判断命题为真命题；时，结论不成立，故为假命题，逐一判断四个选项中的命题即可.
详解：命题在中，，
若，则，故为真命题；
命题，当时，不成立，
故为假命题，故选B.
点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的正弦函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题. 解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注
意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
4.已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
公差d≠0的等差数列{a n}满足a32=a1•a4，可得=a1（a1+3d），化为：a1=﹣4d．代入=，化简即可得出．
【详解】公差d≠0的等差数列{a n}满足a32=a1•a4，
∴=a1（a1+3d），化为：a1=﹣4d．
则====2．
故选：C．
【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
5.我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度超过的概率为（）A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态分布的定义，可以求出P（ξ＜80或ξ＞120）的概率，除以2得答案．
【详解】由题意可得，μ=100，且P（80＜ξ＜120）=0.7，
则P（ξ＜80或ξ＞120）=1﹣P（80＜ξ＜120）=1﹣0.7=0.3．
∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80或ξ＞120）=0.15．
则他速度超过120的概率为0.15．
故选：C．
【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
6.已知，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得sinθcosθ的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解的值．
【详解】由，
得，即，
∴sinθcosθ=，
∴==
=．
故选：C．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由题意结合流程图计算经过循环之后的结果得到关于x的方程，解方程即可求得最终结果.
详解：结合题意运行程序如图所示：首先初始化数据：输入的值，，
第一次循环：，，此时不满足；
第二次循环：，，此时不满足；
第三次循环：，，此时不满足；
第四次循环：，，此时满足，跳出循环；
由题意可得：，解方程可得输入值为：.
本题选择B选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
8.已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，当a≥0时显然满足题意，当a＜0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线BC的斜率的大小得到a的范围．
【详解】由不等式组作可行域如图，
联立，解得C（4，3）．
当a=0时，目标函数化为z=x，由图可知，
可行解（4，3）使z=x﹣ay取得最大值，符合题意；
当a＞0时，由z=x﹣ay，得y=x，此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，可行解（4，3）为使目标函数z=x﹣ay的最优解，
a＜1符合题意；
当a＜0时，由z=x﹣ay，得y=x，此直线斜率为负值，
要使可行解（4，3）为使目标函数z=x﹣ay取得最大值的唯一的最优解，则＜0，即a＜0．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
9.将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得g（x）=2sin（ωx+）﹣1，再由已知得函数g（x）的最小正周期为π，求得ω=2，结合g（x）＞﹣1对任意恒成立列关于的不等式组求解．
【详解】将函数y=2sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，
再将所得的图象向下平移一个单位长度，
得g（x）=2sinω（x+）﹣1=2sin（ωx+φ）﹣1，
又y=g（x）的图象与直线y=1相邻两个交点的距离为π，得T=π，即．
∴g（x）=2sin（2x+φ）﹣1，
当时，，
∵，
∴，解得．
∴φ的取值范围是．
故选：B．
【点睛】解决函数综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
10.将数字，，，，，书写在每一个骰子的六个表面上，做成枚一样的骰子，分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体，则柱体和的表面（不含地面）数字之和分别是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】A
【解析】
分析：根据骰子中与与与分别相对，找出图与图的表面数字，分别求出数字和即可. 详解：图中数字之和为，
图中数字之和为，
故选A.
点睛：本题主要考查棱柱的结构特征，意在考查空间想象能力，属于简单题..
11.已知O是坐标原点，双曲线与椭圆的一个交点为P，点
，则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由椭圆与双曲线的定义可得，=，由标准方程可得
=，结合余弦定理、勾股定理以及椭圆的对称性可得结果.
【详解】由题意知两曲线有相同的焦点，
设左右两个焦点分别为，，
根据双曲线的定义得到，
根据椭圆的定义得到，
联立两个式子得到，
=，
由椭圆与双曲线的标准方程方程=，
所以与重合，由余弦定理得到
，
故，
则的面积为，故答案为D.
【点睛】本题主要考查利用椭圆与双曲线的定义、简单性质求标准方程，属于中档题.求解与椭圆、双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
12.已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（）
A. 至少存在两个点使得
B. 对于任意点都有
C. 对于任意点都有
D. 存在点使得
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排除法，对给出的四个选项分别进行分析可得出正确的结论．
【详解】设点的坐标为，则．
对于D，当时，一方面，另一方面容易证成立，
所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以
恒成立，所以，因此D不成立．
对于B，当时，，所以，所以B不成立．
对于A，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解，
即至少存在两解，恒成立，
所以至多存在一解，所以A不成立．
综合以上分析可得选项C正确．
故选C．
【点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到的大小关系，进而得到的取值范围．同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是__________．【答案】15
【解析】
∵二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，，
则展开式中的通项公式为．
令，求得，故展开式中的常数项为，
故答案为15.
14.抛物线的准线被圆所截得的线段长为4，则P= _____
【答案】2
【解析】
【分析】
求得抛物线的准线方程，代入圆方程，解得y，可得弦长，由条件可得p的方程，解方程即可得到所求值．
【详解】抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，
代入圆x2+y2+2x﹣3=0可得
y2=3﹣+p，
解得y=±，
由条件可得2=4，
解得p=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和圆相交的弦长问题，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15.在中，边上的中垂线分别交边于点;若，则
______．
【答案】5
【解析】
【分析】
选取为基底，其他向量用基底表示再运算．
【详解】由题意
，
∴，∴．
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取为基底，用基底表示其他向量后再运算．其中用到结论：D是BC中点，因此有．
16.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），为面底的中心，与球相交于，则的长为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出球心到FE的距离，利用勾股定理求出EF．
【详解】设球心O到FE的距离为d，则在△OA1E中，A1E=，OE=．
由等面积可得，
∴d=，
∵球的半径为，
∴EF==63．
故答案为：．
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列满足，等差数列满足.
（1）记，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】(1)(2).
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式化简a n，可得a n=．求出数列{b n}的首项和公差，则通项公式可求，直接把{a n}、{b n}的通项公式代入求解；
（2）由（1）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式得答案．【详解】（1）由题意知
于是，
故数列的公差为3，故，
所以
（2）由（1）知，数列为等差数列.
.
【点睛】数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用方程思想处理通项公式问题，利用公式法、分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
18.在三棱锥中，，，．
（1）求证：；
（2）点为上一动点，设为直线与平面所形成的角，求的最大值．
【答案】(1)见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，，则得，同理，于是可得平面，所以．（2）由条件可证得两两垂直，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解可得所求的最大值．
【详解】（1）取中点，连接，，
∵，
又为中点，
∴，
同理可得，
又，
∴ 平面，
又平面，
∴ ．
（2）∵，，
∴ 为直角三角形，且，，
∴ ，
∴，即，
又，
所以平面．
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图直角坐标系．
则，，，，
设，，，，
∴ ，
∴，即，
∴ ，
，，，
设是平面的法向量，
由，
令，得，，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴ 的最大值为．
【点睛】（1）利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．
（2）求线面角时，可通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．
19.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50
户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布列和数学期望；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.
【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差. 【解析】
试题分析：（1）处于100以下“”图标共5个，由古典概型可求。

（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，，的可能值为0，1，2，3.
写出超几何分布列。

（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中。

试题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，
所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为
（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，
的可能值为0，1，2，3.从而
，，
，.
所以的分布列为：
故的数学期望.
（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.
【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.
20.线段为圆：的一条直径，其端点，在抛物线：
上，且，两点到抛物线焦点的距离之和为.
（1）求直径所在的直线方程；
（2）过点的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线相交于点，求面积的最小值.
【答案】（1）的直线方程为；（2）16.
【解析】
试题分析：
（1）设，，抛物线的焦点为，由题意可得=，∴，的方程为.利用点差法可得的直线方程为.
（2）不妨记，，，直线的方程为，联立直线方程与抛物
线方程，结合弦长公式可得，结合点到直线距离公式可得点到直
线的距离，则，则的
面积的最小值.
试题解析：
（1）设，，抛物线的焦点为，则，
又，故，∴，
于是的方程为.
，则，
∴的直线方程为.
（2）不妨记，，，直线的方程为，
联立得，
则，，
又因为，则，
同理可得：，
故，为一元二次方程的两根，
∴，
点到直线的距离，
，
∴时，的面积取得最小值.
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21.已知.
（1）当时，若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；
（2）当时，，若的最小值是，求的最小值.
【答案】（1）；（2）的最小值为.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，则有实数解，由此可得的范围；
（2）考虑到的表达式，题意说明在上恒成立，且“＝”可取，这样问题又可转化为即恒成立，且可取.，即的最小值是
0．，为求的零点，由得，再由导数求得的最小值是．由于题中要求的最小值，因此研究时的正负，从而得的最小值，
可证得此最小值，且为0时只有一解，这样得出结论．
【详解】（1）因为,因为函数存在与直线平行的切线，所以
在上有解,即在上有解，所以，得,
故所求实数的取值范围是.
（2）由题意得：对任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取.
令，即
，由得，令
.
当时，，
在上，；
在上，.所以.
令在上递减，所以，故方程
有唯一解即,
综上，当满足的最小值为，故的最小值为.
【点睛】本题考查用导数研究函数的几何意义，研究函数的单调性与最值，属于难题．解题过程中要注意问题的等价转化，方程有解转化为函数的最值，函数的最值变化后又转化为方程有解．
22.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．
（I）求点的直角坐标；
（II）设是圆上的任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）B(-1,),C；（2）[8,24].
【解析】
【分析】
（1）先求出曲线C1的直角坐标方程，由此能求出点B，C的直角坐标．
（2）由圆C2的参数方程结合两点间距离公式，利用三角函数性质能求出|PB2|+|PC|2的取值范围．
【详解】（1）由题意，得曲线的普通方程为，其参数方程为为参数，又因为点的坐标为，所以点的坐标为，即；
点的坐标为，即．
（2）由圆的参数方程，可设点，
于是
，∴的范围是
【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意公式参数方程和普通方程的互化和两点间距离公式、三角函数性质的合理运用．
23.已知函数
（1）若，求的取值范围；
（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) 的取值范围是;(2)的取值范围是.
【解析】
试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据二次函数性质得的最大值，再根据绝对值三角不等式得，最后解不等式可得的取值范围.
试题解析：(1)由得
或或
综上所述,
（2）当时,记
则
即，当，，
时的最大值为，故原问题
又
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
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