包头市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理

2017-2018学年度第一学期中Ⅰ考试
高二年级数学（理）试卷
一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分。

每题只有一个正确答案)
1．下列命题中正确的是（)
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x〈－1，则x2－2x－3〉0”的否定为:“若x≥－1，则x2－2x－3≤0"
D．已知命题p：∃x∈R,x2＋x－1〈0，则p⌝：∃x∈R，x2＋x－1≥0
2．设x,y∈R，则“x2＋y2≥4"是“x≥2且y≥2”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列命题中,真命题是（)
A．∀m∈R,函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）都是奇函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R）是奇函数
C．∀m∈R,函数f（x)＝x2＋mx（x∈R)都是偶函数
D．∃m∈R，使函数f(x）＝x2＋mx（x∈R）是偶函数
4．下列命题错误的是（)
A．命题“若m>0,则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0"
B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0"的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p,q均为假命题
D．对于命题:∃x∈R,使得x2＋x＋1<0，则⌝p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0
5．若直线l1:kx－y－3＝0和l2：x＋(2k＋3）y－2＝0互相垂直，则k等于（)
A．－3B．－2
C．－错误!或－1 D。

错误!或1
6．直线x－y＋5＝0与圆C:x2＋y2－2x－4y－4＝0相交所截得的弦长等于（）
A．1 B．2
C．3 D．4
7．若双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆（x－3)2＋y2＝r2（r>0）相切，则r＝（）
A。

3 B．2
C．3 D．6
8．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足（)
A．a2>b2B。

1
a〉错误!
C．0<a〈b D．0<b<a
9．椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为() A。

错误!B。

错误!
C.错误!D。

4
10．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是（）
A．(错误!,错误!) B．（1,1）
C．(错误!,错误!）D．(2，4）
11．若椭圆错误!＋错误!＝1（m>n〉0）和双曲线错误!－错误!＝1（a〉b〉0）有相同的左、右焦点F1，F2,P是两条曲线的一个交点,则｜PF1|·｜PF2｜的值是()
A．错误!－错误! B。

错误!（m－a)C．m2－a2D。

m－a
12．已知椭圆C:错误!＋错误!＝1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,若点P是椭圆C上的动点，则错误!·错误!的最大值为(）
A.错误!
B.错误!
C。

错误!D。

错误!
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1)2＋（y－a）2＝4相交于A,B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________。

14.已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆错误!＋错误!＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是___________
15．已知点F1、F2是椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的左、右焦点,在此椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝60°,且|PF1｜＝2｜PF2|,则此椭圆的离心率为_______________
16．过点（错误!,0）引直线l与曲线y＝错误!相交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
三、简答题(共70分)，写出必要的解题过程.
17. (本小题满分10分) 已知命题p:方程x2＋mx＋1＝0有实根，q：不等式x2－2x＋m>0的解集为R。

若命题“p∨q”是假命题，求实数m的取值范围．
18。

（本小题满分12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0)和B（3,4）,线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且｜CD｜＝4错误!。

（1)求直线CD的方程；（2)求圆P的方程．
19．（本小题满分12分）过点Q（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB,恰被Q所平分．
(1)求AB所在直线方程；
（2）求|AB|的长．
20.（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在
且过点P（4，－10)．（1）求双曲线的方程；
（2）若点M(3，m）在双曲线上，求证:错误!·错误!＝0；21．(本小题满分12分)已知椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0)过点(－错误!，1),长轴长为2错误!，过点C(－1，0)且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A,B。

（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是－错误!，求直线l的斜率．22．(本小题满分12分）已知椭圆C:错误!＋错误!＝1（a>b>0）的一个顶点A（2,0），离心率为错误!，直线y＝k（x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N。

（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为错误!时，求实数k的值．
高二年级数学(理）试卷答案
一、（每题5分,共60分）BADCA BACCB DB
二、（每题5分，共20分）13：4±错误!14：［1，5）∪(5，＋∞) 15：错误!16：－错误!
三、简答题（满分70分）
17：(满分10分) 若方程x2＋mx＋1＝0有实根，则m2－4≥0。

∴m≤－2或m≥2。

若不等式x2－2x＋m>0的解集为R，则4－4m<0。

∴m〉1。

又“p∨q"是假命题，∴p，q都是假命题．∴错误!∴－2〈m≤1。

所以实数m的取值范围为{m｜－2〈m≤1｝．
18：(满分12分）答案（1）x＋y－3＝0(2)（x＋3)2＋(y－6）2＝40或（x－5)2＋（y＋2）2＝40
18解析(1)直线AB的斜率k＝1,AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－（x－1),即x＋y－3＝0.
（2）设圆心P（a,b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0。

①
又直径｜CD｜＝4错误!，∴｜P A|＝2错误!。

∴(a＋1)2＋b2＝40。

由①②解得错误!或错误!∴圆心P(－3，6）或P(5,－2)．
∴圆P的方程为（x＋3）2＋(y－6)2＝40或（x－5）2＋(y＋2)2＝40。

19：(满分12分)
19.解（1）方法一：设以Q为中点的弦AB端点的坐标为A （x1，y1），B（x2,y2),则有
y21＝8x1，①y错误!＝8x2,②x1＋x2＝8,③y1＋y2＝2，④k＝错误!.⑤
将③，④代入①－②，得（y1＋y2）（y1－y2）＝8（x1－x2)．
∴y1－y2＝4（x1－x2），∴4＝y1－y2
x1－x2。

∴k＝4。

∴所求弦AB所在
直线方程为y－1＝4（x－4），
即4x－y－15＝0。

方法二：设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4）＋1.由错误!消去x,
得ky2－8y－32k＋8＝0.此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由韦达定理,得y1＋y2＝错误!。

又由错误!解得k＝4.∴所求弦AB所在直线方程为4x－y－15＝0.
(2）由错误!消去x,得y2－2y－30＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2）,则｜AB|＝错误!·|y1－y2｜＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!
20：（满分12分）解析（1)∵e＝错误!，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点P（4，－错误!），∴16－10＝λ，即λ＝6。

∴双曲线方程为x2－y2＝6。

(2）方法一:由（1）可知，在双曲线中，a＝b＝错误!，
∴c＝2错误!，∴F1（－2错误!，0），F2(2错误!，0）．∴kMF1＝错误!，kMF2＝错误!。

∴kMF1·kMF2＝错误!＝－错误!.∵点M(3,m）在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3。

故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2。

∴错误!·错误!＝0。

方法二：∵错误!＝（－3－2错误!，－m)，错误!＝（2错误!－3，－m),∴错误!·错误!＝(3＋2错误!）×（3－2错误!）＋m2＝－3＋m2。

∵M(3，m）在双曲线上,
∴9－m2＝6，即m2－3＝0.∴错误!·错误!＝0.
21．（本小题满分12分）解析（1)∵椭圆长轴长为2错误!,∴2a＝2错误!.∴a＝错误!.
又∵椭圆过点(－错误!，1），代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝1。

∴b2＝错误!.
∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1,即x2＋3y2＝5.
（2）∵直线l过点C（－1，0)且斜率为k,∴设直线方程为y＝k （x＋1)．
由错误!得（3k2＋1）x2＋6k2x＋3k2－5＝0。

∵直线与椭圆相交,
∴Δ＝36k4－4（3k2＋1）（3k2－5）〉0，即12k2＋5〉0。

设A
（x1，y1）,B（x2,y2），
∵线段AB中点的横坐标是－错误!，则x1＋x2＝2×（－错误!)＝－1.即x1＋x2＝错误!＝－1，解得k＝±错误!。

22．（本小题满分12分）解析（1）∵a＝2，e＝错误!＝错误!,∴c＝错误!，b＝错误!。

椭圆C：错误!＋错误!＝1。

（2）设M（x1，y1),N（x2,y2），则由错误!消y，得（1＋2k2)x2－4k2x ＋2k2－4＝0。

∵直线y＝k(x－1）恒过椭圆内一点（1,0），∴Δ〉0恒成立．
由题意得x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。

S△AMN＝错误!×1×｜y1－y2|＝错误!×｜kx1－kx2|＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!。

即7k4－2k2－5＝0，解得k ＝±1.。