2012海淀三模数学(文)试题(人大附中)

人大附中5月适应性考试数学试卷（文科）
第I 卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项． 一、若集合A ={}
33x x -<<，集合{}
0B x x =>，则()R A B I ð等于（ ）
A ．(]3,0-
B ．()0,3
C ．()3,0-
D ．[0,3) 二、命题“x ∀∈R ，2
10x +>”的否定是（ ）
Ａ.x ∃∈R ，2
1x +＜ 0 B ．x ∀∈R ，2
10x +<
C. x ∃∈R ，210x +≤ D ．x ∀∈R ，2
10x +≤
三、在等比数列{}n a 中，146a a ⋅=，235a a +=，则该等比数列的公比q =( )
A ．2
332或
B ．2332--
或 C ．5
15--或 D ．2131-或
四、下列命题正确的是（ ）
A. 2
2
,a b a b <<若则 B. 11
0,a b a b
<<<若 则
； C. 函数()4
23(0)f x x x x
=++
>的最小值为243+ D. 不等式2
(1)(2)0x x --≥的解集为{|2}x x ≥ 五、已知锐角△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若
32sin c a C = ，则角A 等于（ ）
Ａ．30o
B ．60o
或120o
C ．60o
D ．45o
六、右面的程序框图，如果输入三个实数,,a b c ，要求输出这
三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A ．c x >
B ．x c >
C ．c b >
D ．b c >
七、已知直线22y x =+经过双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的左焦点且与双曲线右支
交于点P ，过点P 向x 轴引垂线，垂足恰为其右焦点，则双曲线离心率的值为（ ）
A
2- B ．2 C
1 D
2
八、如图，三棱锥P ABC -的高8PO =，3AC BC ==，
30ACB ∠=︒，点,M N 分别在棱BC 和PO 上，且CM x =，2PN x =，则下面的四个图象中，大致描绘了三棱锥N AMC -的
体积V 与x ((0,3])x Î的变化关系的是（ ）
A B C D
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 九、在复平面内，复数12i
z i
+=
对应的点位于第 象限 十、如图为某几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图均为
等腰直角三角形，且其中每一条直角边的长均为1，则此几何体的体积是 ．
十一、已知点()P x y ，的坐标满足条件41x y y x x +⎧⎪
⎨⎪⎩
，
，，≤≥≥ 则y x 的取值范围是
十二、已知向量a =（2，1）， ⋅a b = 10，︱+a b ︱
= b =
十三、已知函数21(0)()2log (0)
x
x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪
=⎝⎭⎨⎪>⎩
，则函数()()1G x f x =-的零点的个数
为 ；使函数()f x 的图像位于直线1y =下方的x 的取值范围是 ．
十四、若对数列{}n a , 存在常数0T ≥, 使得对于任意*
n ∈N ，均有n a T ≤，则称{a n }为有
界数列.
（1）下列各条件下，数列{}n a 为有界数列的是________________;（写出满足条件的所有数列的序号）
① 2n a n =- ② 1
2
n a n =+ ③ 1+n n a a =2 , 11a =
（２）若数列{}n a 为有界数列，且满足2
12n n n a a a +=-+，()10a t t =>，则实数t 的
92
主视图 左视图
取值范围为___________________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 十五、（本小题满分13分）
已知函数2
()sin(2)2sin ()2
f x x x π
π=+++.
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.
十六、（本小题满分13分）
直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，BAD ADC ∠=∠90=o
,
222AB AD CD ===．P 为11A B 中点．
（Ⅰ）求证：//DP 与平面1ACB ； （Ⅱ）求证：平面1ACB ⊥平面11BB C C
1
十七、（本小题满分14分）
某校对高二600名学生进行了一次“交通安全”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．
（Ⅰ）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）试估计该年级成绩在[70,90)段的有多少人，并估算该年级的平均分．
（Ⅲ）若[50,60）和 [60，70）分数段内各有1和2名女生 ，现丛此两分数段内各选一人参加某项培训 ，求选出二人中至少一名女生的概率
十八、（本小题共13分）
已知函数3
2
() (0)f x ax bx cx a =++≠的定义域为R ，它的图像关于原点对称，且当
1x =-时，函数取极值1． （Ⅰ）求,,a b c 的值；
（Ⅱ）若12,[1,1]x x ∈-，求证：12|()()|2f x f x -≤； （Ⅲ）设()
()ln mf x g x x x
=-，（其中m 为常数），试求函数()g x 的单调区间．
分组 频数 频率 [50,60) 4 0.08 [60,70) 6 0.12 [70,80) 10 [80,90) [90,100] 14 0.28 合计
1.00
O
50 60 70 80 90
100 成绩（分）
频率 组距
十九、（本小题满分14分）
如图，已知动圆（圆心为E ）经过点()1,0A -，且与圆()2
2
:116C x y -+=（C 为圆
心）内切.
（Ⅰ）求动点E 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）设直线():0,0l y kx m k m =+≠>与点E 的轨迹交于P ，Q 两点，
（1）若4
3
k =
，且以QC 为直径的圆恰过点P ，求此时直线l 的方程； （2）若以PQ 为对角线的菱形的一顶点恰为10,4M ⎛⎫-
⎪⎝
⎭
，求斜率k 的取值范围．
二十、（本小题满分13分）
如图，下表数阵的每行、每列都是等差数列，,i j a 表示该数表中位于第i 行第j 列的数，
（Ⅰ）计算8,5a 的值； （Ⅱ）求,i j a 的计算公式；
（Ⅲ）设表中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b ，是否存在正整数k
和m (1k m <<)，使得1,,k m b b b 成等比数列？如果存在,求出,k m ；如果不存在，说明理由.。