计量经济学试卷及答案上海财大

计量经济学期末试题及答案
（2小时，闭卷，满分100分）
⒈（共30分，每小题5分）多元线性单方程计量经济学模型
i ki k i i i x x x y μββββ+++++=......22110 ),0(~2σμN i i=1,2,….n
⑴ 分别写出该问题的总体回归函数、总体回归模型、样本回归函数和样本回归模型； ⑵ 请分别写出随机误差项具有同方差且无序列相关、具有异方差但无序列相关、具有异方差且具有一阶序列相关时的方差—协方差矩阵；
⑶ 当模型满足基本假设时，写出普通最小二乘法参数估计量的矩阵表达式，并写出每个矩阵的具体内容；
⑷ 当30,4==n k 时用OLS 估计模型得到残差平方和为100，试计算最大对数似然函数值；（145.1ln ,693.02ln ==π）
⑸ 当模型具有异方差性时，写出加权最小二乘法参数估计量的矩阵表达式，并指出在实际估计时权矩阵是如何选择的；
⑹证明：如果2x 是随机变量且与μ相关，则采用OLS 估计得到的参数估计量是有偏的。

答：
⑴ 总体回归函数为ki k i i i x x x y E ββββ++++=......)(22110i X
总体回归模型为i ki k i i i x x x y μββββ+++++= (22110)
样本回归函数为ki
k i i i x x x y ββββˆ......ˆˆˆˆ22110++++= 样本回归模型为i ki
k i i i x x x y μββββˆˆ......ˆˆˆ22110+++++= ⑵ 随机误差项具有同方差且无序列相关时的方差—协方差矩阵为2111σ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 随机误差项具有异方差且无序列相关时的方差—协方差矩阵为221σ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡n w w w 随机误差项具有异方差且具有一阶序列相关时的方差—协方差矩阵为
21,,1221
121σ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡--n n n n n w w w w w w w ⑶ 矩阵表达式为Y X =+B N ，其中 Y =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⨯y y y n n 121 X =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤
⎦⎥⎥⎥⎥⨯+1111121112222121x x x x x x x x x k k n
n kn n k () B =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥+⨯ββββ01211
k k () N =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⨯μμμ121 n n ⑷ 因为41
4301002=--=σ，所以 86.601004
21)22(30)ˆ()ˆ(21
)2()( 2*=⨯⨯-⨯⨯-=B -B
---==πσσπμμLn nLn L Ln L X Y X Y ⑸ 加权最小二乘法参数估计量的矩阵表达式为：
Y W X X W X B
111)(ˆ---''= 如何得到权矩阵W ？仍然是对原模型)首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即
~~~W =⎡⎣
⎢⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥⎥e e e n 12222 ⑹ 在关于待估参数的正规方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∑=++++∑∑=++++∑∑=++++∑∑=++++∑ki
i ki ki k i i i i i ki k i i i i i i ki k i i i ki k i i X Y X X X X X Y X X X X X Y X X X X Y X X X )ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(221102222110112211022110ββββββββββββββββ
中，如果2x 是随机变量且与μ相关，那么第3个方程应该是
i i i i i ki k i i X Y X X X X X 22222110)......(∑=∑+++++∑μββββ
将该非齐次方程组假定为齐次方程组求解，得到的解肯定是有偏的。

⒉（16分，每小题4分）选择两要素一级CES 生产函数的近似形式建立中国电力行业的生产函数模型：
LnY LnA t m LnK m LnL m Ln K L =+++---+γδλρδδμ()()()11122
其中Y 为发电量，K 、L 分别为投入的资本与劳动数量，t 为时间变量。

⑴ 指出参数γ、ρ、m 的经济含义和数值范围；
⑵ 指出模型对要素替代弹性的假设，并指出它与C-D 生产函数、VES 生产函数在要素替代弹性假设上的区别；
⑶ 指出模型对技术进步的假设，并指出它与下列生产函数模型
LnY LnA t LnK LnL =++++γαβμ
在技术进步假设上的区别；
⑷ 如Y 、L 的样本数据采用实物量，问能否直接采用统计年鉴中的固定资产原值数据作为K 的样本数据？为什么？
答：
⑴ γ为技术进步速度，0>γ，但是接近0；ρ为替代参数，∞<<-ρ1；m 为规模报酬系数 在1左右。

⑵ 模型对要素替代弹性的假设为不随样本点而改变，但是对于不同的研究对象、不同的样本区间，它是变化的。

而C-D 生产函数要素替代弹性始终为1，对于不同的研究对象、不同的样本区间，它是不变的；VES 生产函数在要素替代弹性随样本点而改变。

⑶ 模型对技术进步的假设为Hicks 中性，而生产函数模型
LnY LnA t LnK LnL =++++γαβμ
关于技术进步假设是中性的。

⑷ 如Y 、L 的样本数据采用实物量，不能直接采用统计年鉴中的固定资产原值数据作为K 的样本数据，因为它们是用形成年价格计算的，不具备可比性。

⒊（15分，每小题5分）建立城镇居民食品类需求函数模型如下：
Ln V Ln Y Ln P Ln P ()..().().()=+-+135009230115035712
其中V 为人均购买食品支出额、Y 为人均收入、P 1为食品类价格、P 2为其它商品类价格。

⑴ 指出参数估计量的经济意义是否合理，为什么？
⑵ 为什么经常采用交叉估计方法估计需求函数模型？
⑶ 如果采用交叉估计方法重新估计该模型，写出其主要步骤。

答：
⑴ 不合理。

V 为人均购买食品支出额，为价值量，当价格提高时，虽然实物量下降，但价值量仍将上升，所以)(1P Ln 的参数应该为正。

⑵ 在需求函数模型中，解释变量一般为收入和价格，这两类变量对商品需求量的影响是不同的。

收入对商品需求量具有长期影响，价格对商品需求量只具有短期影响。

它们的参数分别属于长期弹性和短期弹性，具有不同的性质。

而一般说来，时间序列数据适合于短期弹性的估计，截面数据适合于长期弹性的估计。

所以用同一组样本数据同时估计需求函数模型的所有参数，在理论上是存在问题的。

于是就提出了合并时间序列数据和截面数据的估计方法，即交叉估计方法。

即用截面数据为样本估计模型中的一部分反映长期影响的参数，然后再用时间序列数据为样本估计模型中的另一部分反映短期影响的参数，分两阶段完成模型的估计。

⑶ 以对数线性需求函数为例，为了简化，假设解释变量中只包括收入和自价格。

采用交叉估计方法该模型的主要步骤为：
对数线性需求函数为ln ln ln q I p =+++αααμ012，现有第T 年的截面数据q I j m j j ,(,,,)=12 ，即将消费者按照收入分成m 组。

在这个截面上，认为价格是常数。

于是模型变为：
ln ln q a I j j j =++αμ1 j m =12,,,
采用单方程模型的估计方法估计得到 α
1。

当以时间序列数据为样本时，将模型写成：
ln ln ln q I p t t t t =+++αααμ012 t T =12,,,
此时认为 α
1已知，令y q p t t t =-ln ln α1，有 y p t t t =++ααμ02ln t T =12,,,
采用单方程模型的估计方法估计得到 , α
α02。

连同前面的 α1，模型的全部参数得到估计。

⒋ (20分，每小题5分) 下列宏观计量经济模型
M Y P Y M P t t t t t t t t
=+++=+++-αααμβββμ012101212 中，M 、Y 、P 分别为货币供给量、国内生产总值和价格总指数，M 、Y 为内生变量。

⑴ 判断模型的识别状态。

⑵ 写出用IV 法估计第一个方程参数时，得到的关于参数估计量的正规方程组（用非矩阵形式）,并写出参数估计量的矩阵表达式；
⑶ 用ILS 法估计第一个方程参数时，也可以看成是一种工具变量方法，指出工具变量是如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式；
⑷ 用2SLS 法估计第一个方程参数时，也可以看成是一种工具变量方法，指出工具变量是如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式；
答：
⑴ 由方程之间的关系判断，每个方程都具有确定的统计形式，所以它们都是可以识别的。

又由于模型中的两个方程都满足1-=-i i g k k ，所以它们都是恰好识别的。

于是模型是可
以识别的。

⑵ 用IV 法估计第一个方程参数时，得到的关于参数估计量的正规方程组为：
))ˆˆˆ(()())ˆˆˆ(()()ˆˆˆ(21012101210t t t t t t t t t t t t t P P Y P M P P Y P M P Y M ααα
ααα
ααα
++∑=∑++∑=∑++∑=∑-- 参数估计量的矩阵表达式为：
()t t t t t t t M P P P Y P P ),1,(),1,(),1,(ˆˆˆ111210''=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---αα
α ⑶ 用ILS 法估计第一个方程参数时，也可以看成是一种工具变量方法，选择),,1(1-t t P P 对应作为),1,(t t P Y 的工具变量。

参数估计量的矩阵表达式为：
()t t t t t t t M P P P Y P P ),,1(),1,(),,1(ˆˆˆ111210''=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---αα
α ⑷ 用2SLS 法估计第一个方程参数时，也可以看成是一种工具变量方法，选择t Y 的简化
式模型的估计量t Y ˆ作为t Y 的工具变量，即选择),1,ˆ(t
t P Y 对应作为),1,(t t P Y 的工具变量。

参数估计量的矩阵表达式为：
()
t t t t t t t M P Y P Y P Y ),1,ˆ(),1,(),,1,ˆ(ˆˆˆ1210''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααα ⒌（12分，每小题4分）考虑包含居民消费t C 、居民收入t Y 、居民储蓄余额t S 的经济系统，试图以年度数据为观测值建立居民消费模型。

经检验，)2(~),1(~),1(~I S I Y I C t t t ，)1,1(~,,CI S Y C t t t ∆，)1,1(~,CI Y C t t 。

⑴ 写出作为模型起点的ADL 模型的理论形式；
⑵ 写出长期均衡方程的理论形式；
⑶ 写出误差修正模型的理论形式。

答：
⑴ ADL 模型的理论形式：
t q
j j t j p i i t i m k k t k t S Y C C μγβαα++++=∑∑∑=-=-=-0010
⑵ 长期均衡方程的理论形式：
t t t t S Y C μααα+∆++=210
⑶ 写出误差修正模型的理论形式：
t t t t t ecm S Y C ελββ+-∆+∆=∆-1221
其中)ˆˆˆ(210t t t t S Y C ecm ∆++-=ααα
⒍（7分）回答：最小二乘估计（OLS ）、最大似然估计（ML ）的原理是什么？用于满足基本假设的多元线性模型估计是有什么异同？
答：
最小二乘估计（OLS ）的原理是：当随机抽取n 组样本后，如果样本回归函数被估计，它应该最好地拟合该n 组样本，也就是由样本回归函数计算的被解释变量的估计值与观测值之间差的平方和应该最小。

最大似然估计（ML ）的原理是：当随机抽取n 组样本后，如果样本回归函数被估计，那么从样本回归模型中随机抽取该n 组样本观测值的联合概率应该最大，即似然函数值应该最大。

二者用于满足基本假设的多元线性模型估计时，得到的模型结构参数估计结果相同，而分布参数（随机项的方差）估计结果不同。