第一章 1.1.3 第2课时 集合的全集、补集

第2课时 集合的全集、补集
学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn 图.3.会求补集，并能解决一些集合的综合运算问题.
知识点一 全 集
定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 记法：全集通常记作U .
思考1 为了研究集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,2,3}，C ＝{1,3,5}之间的关系，要从中选一个集合作为全集，这个集合应该是________. 答案 A
思考2 全集一定包含任何一个元素吗？若全集是数集，则一定是实数集R 吗？ 答案 不一定；不一定. 知识点二 补 集
1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.( √ )
2.存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( × )
3.设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
1x ≤1.( × ) 4.设全集U ＝{}(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，A ＝{}(x ，y )|x >0且y >0，则∁U A ＝{}(x ，y )|x ≤0且y ≤0.
( × )
题型一 补集的运算
例1 (1)已知全集U ＝{a ，b ，c }，集合A ＝{a }，则∁U A 等于( ) A.{a ，b } B.{a ，c } C.{b ，c } D.{a ，b ，c } 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 C
解析 ∁U A ＝{}x |x ∈U 且x ∉A ＝{}b ，c .
(2)若全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，则∁U A 等于( ) A.{x |0<x <2} B.{x |0≤x <2} C.{x |0<x ≤2}
D.{x |0≤x ≤2}
考点 补集的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C
解析 ∵U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}， A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}， ∴∁U A ＝{x |0<x ≤2}，故选C.
反思感悟 求集合的补集，需关注两处：一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn 图、数轴、坐标系来求解.
跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________. 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 {3,4,5}
(2)已知全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合A ＝{b ，c ，d }，B ＝{c ，e }，则(∁U A )∪B 等于( ) A.{b ，c ，e } B.{c ，d ，e } C.{a ，c ，e } D.{a ，c ，d ，e } 答案 C
解析 ∁U A ＝{a ，e }，(∁U A )∪B ＝{a ，c ，e }.
(3)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 等于( ) A.{x |x <1或x ≥3} B.{x |x ≤1或x >3} C.{x |x <1或x >3} D.{x |x ≤1或x ≥3} 答案 B
解析 U ＝R ，∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}. 题型二 补集的应用
例2 (1)设全集U ＝{1,3,5,7}，集合M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}，则a 的值为________.
答案 2或8
解析 由U ＝{1,3,5,7}，M ＝{1，|a －5|}，∁U M ＝{5,7}知M ＝{1,3}. ∴|a －5|＝3，∴a ＝8或2.
(2)已知A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}，∁U B ＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B . 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集
解 ∵A ＝{0,2,4,6}，∁U A ＝{－1，－3,1,3}， ∴U ＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}. 而∁U B ＝{－1,0,2}，
∴B ＝∁U (∁U B )＝{－3,1,3,4,6}.
反思感悟 从Venn 图的角度讲，A 与∁U A 就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A )∩A ＝∅，(∁U A )∪A ＝U ，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.
跟踪训练2 (1)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x >2a ＋1}，若A ∩(∁R B )＝∅，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________. 答案 {a |a <0}
解析 ∁R B ＝{x |x ≤2a ＋1}. 由A ∩(∁R B )＝∅， ∴2a ＋1<1，∴a <0.
(2)设全集U ＝{0,1,2,3}，集合A ＝{x |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 答案 －3
解析 ∵U ＝{0,1,2,3}，∁U A ＝{1,2}， ∴A ＝{0,3}.
∴0,3是x 2＋mx ＝0的两个根，∴m ＝－3. 题型三 集合的综合运算
例3 (1)已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，6，集合P ＝{}1，3，5，Q ＝{}1，2，4，则(∁
U P )∪Q
等于( )
A.{}1
B.{}3，5
C.{}1，2，4，6
D.{}1，2，3，4，5
考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 C
解析 ∵∁U P ＝{}2，4，6， ∴(∁U P )∪Q ＝{}1，2，4，6.
(2)已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________.
考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题 答案 {a |a ≥2}
解析 ∵∁R B ＝{x |x <1或x >2}且A ∪(∁R B )＝R ， ∴{x |1≤x ≤2}⊆A ，∴a ≥2.
反思感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集合混合运算可借助Venn 图，与不等式有关的可借助数轴.
跟踪训练3 (1)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ≠N ，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )
A.M
B.N
C.I
D.∅ 答案 A
解析 如图所示，因为N ∩(∁I M )＝∅，所以N ⊆M ，所以M ∪N ＝M .
(2)设集合A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}. ①求a 的值及A ，B ；
②设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；
③设全集U ＝A ∪B ，写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集.
解 ①因为A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，且2∈B ，代入可求得a ＝－5，所以A ＝{x |2x 2－5x ＋2
＝0}＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
12，2，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}.
②由①可知U ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5，12，2，所以∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
12，
所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫－5，12.
③由②可知(∁U A )∪(∁U B )的所有子集为∅，{－5}，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12，⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫－5，12.
根据补集的运算求参数
典例 (1)设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . 解 ∵∁U A ＝{5}， ∴5∈U 且5∉A ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－m －1＝5，|3－2m |≠5， 由m 2－m －1＝5，得m 2－m －6＝0，
∴m ＝－2或m ＝3.
①当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5， 此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}， 不符合要求，舍去； ②当m ＝3时，|3－2m |＝3，
此时，U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}满足∁U A ＝{5}. 综上所述m ＝3.
(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，且A ⊆(∁U B )，求实数a 的取值范围.
解 若B ＝∅，则a ＋1>2a －1，即a <2，此时∁U B ＝R ，所以A ⊆(∁U B ). 若B ≠∅，则a ＋1≤2a －1，即a ≥2，此时∁U B ＝{x |x <a ＋1或x >2a －1}， 又A ⊆(∁U B )，所以a ＋1>5或2a －1<－2，所以a >4或a <－1
2(舍去).
所以实数a 的取值范围为{a |a <2或a >4}. [素养评析] (1)由集合的补集求解参数的方法
①有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
②无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
(2)理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.
1.设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于( ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 考点 补集的概念及运算 题点 有限集合的补集 答案 C
2.已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 考点 交并补集的综合问题 题点 有限集合的交并补运算 答案 D
3.设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( )
A.{x|－2<x≤1}
B.{x|x≤－4}
C.{x|x≤1}
D.{x|x≥1}
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
答案 C
4.设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则(∁U M)∪N＝________.
答案{0,2,3}
5.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是________.
答案∁U A∁U B
解析∁U A＝{4,5,6，…}，∁U B＝{3,4,5,6，…}，
∴∁U A∁U B.
1.全集与补集的互相依存关系
(1)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.
(2)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.
2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A，求A.
一、选择题
1.已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()
A.{1,2,4}
B.{2,3,4}
C.{0,2,4}
D.{0,2,3,4}
考点交并补集的综合问题
题点有限集合的交并补运算
答案 C
解析∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.
2.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∪(∁U B)等于()
A.{2}
B.{1,3}
C.{3}
D.{1,3,4,5}
答案 D
3.已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁U A等于()
A.{x |－2<x <2}
B.{x |x <－2或x >2}
C.{x |－2≤x ≤2}
D.{x |x ≤－2或x ≥2}
考点 补集的的概念及运算 题点 无限集合的补集 答案 C
解析 ∁U A 为数轴上去掉集合A 的剩余部分.
4.设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,4}，B ＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{4}
B.{2,4}
C.{4,5}
D.{1,3,4}
答案 A
解析 (∁U B )∩A ＝{4,5}∩{2,4}＝{4}.
5.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |0<x ≤1} C.{x |x <0} D.{x |x >1}
答案 B
解析 ∵∁U B ＝{x |x ≤1}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |0<x ≤1}.
6.若全集U ＝{0,1,2,3,4,5}，且∁U A ＝{x ∈N *|1≤x ≤3}，则集合A 的真子集共有( ) A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 答案 C
解析 ∁U A ＝{x ∈N *|1≤x ≤3}＝{1,2,3}，
∴A ＝{0,4,5}，∴集合A 的真子集共有23－1＝7(个).
7.已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A.0或2 B.0 C.1或2 D.2 考点 补集的概念及运算 题点 由补集运算结果求参数的值 答案 D
解析 由题意，知⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.
8.已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{9}，则A 等于( ) A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 答案 D
解析画Venn图，由图可知A＝{3,9}.
二、填空题
9.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∩B)＝________.
答案{1,2,4,5}
10.已知全集U＝{x|－3≤x<2}，集合M＝{x|－1<x<1}，∁U N＝{x|0<x<2}，则M∪N＝________. 答案{x|－3≤x<1}
解析∵U＝{x|－3≤x<2}，∁U N＝{x|0<x<2}，
∴N＝∁U(∁U N)＝{x|－3≤x≤0}.
∴M∪N＝{x|－3≤x<1}.
11.若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________________.
考点Venn图表达的集合关系及运用
题点Venn图表达的集合关系
答案{x|x≤1或x>2}
解析如图，设U＝A∪B＝R，
A∩B＝{x|1<x≤2}，
∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}.
三、解答题
12.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.
考点交并补集的综合问题
题点无限集合的交并补运算
解∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴∁U A＝{x|x<1或x>2}.
又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，
可得A⊆B.
而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，
∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B . 借助于数轴
可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}. 13.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }. (1)当m ＝1时，求A ∪B ；
(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围. 考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}， A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}. (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x ＞3}. 当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 得m ≤－1
2，满足B ⊆∁R A ，
当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＜1＋3m ，m ＞3，
解得m ＞3. 综上可知，实数m 的取值范围是 ⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫m |m ＞3或m ≤－12.
14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.(∁I A ∩B )∩C
B.(∁I B ∪A )∩C
C.(A ∩B )∩(∁I C )
D.(A ∩∁I B )∩C
考点 Venn 图表达的集合关系及运用 题点 Venn 图表达的集合关系 答案 D
解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .
15.已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值.
解 由(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}， 知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .
将x ＝2和x ＝4分别代入集合B ，A 中的方程，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
22－2a ＋b ＝0， 42＋4a ＋12b ＝0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0， 解得a ＝87，b ＝－127
.
经检验，a ＝87，b ＝－12
7符合题意.。