2019年数学人教A必修二2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

α⊥ β α∩β＝l ⇒________ a⊥β a⊂α a⊥l
符号语言
图形语言 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线
作用
■名师点拨 对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面 垂直． (2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转 化为线线垂直．
(3)因为 AB⊥AD，而且四边形 ABED 为平行四边形， 所以 BE⊥CD，AD⊥CD． 由(1)知 PA⊥底面 ABCD， 所以 PA⊥CD． 又 PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面 PAD． 所以 CD⊥PD． 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF.
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．3.3 2．3.4
直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
考点 直线与平 面垂直的 性质 平面与平 面垂直的 性质
学习目标 理解直线和平面垂直的性质定理，并
核心素养
能用文字、 符号和图形语言描述定理， 直观想象、 能应用线面垂直的性质定理解决有关 的垂直问题 理解平面和平面垂直的性质定理，并 能用文字、 符号和图形语言描述定理， 直观想象、 能应用面面垂直的性质定理解决有关 的垂直问题 逻辑推理 逻辑推理
面面垂直的性质定理的应用 已知 P 是△ABC 所在平面外的一点， 且 PA⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 PBC，求 证：BC⊥AC．
【证明】
如图，在平面 PAC 内作 AD⊥PC 于点 D，
因为平面 PAC⊥平面 PBC，平面 PAC∩平面 PBC＝PC，AD ⊂平面 PAC，且 AD⊥PC， 所以 AD⊥平面 PBC，
所以 MN∥ ═BD， 所以 N 点在平面 BDM 内． 因为 EC⊥平面 ABC， 所以 EC⊥BN. 又 CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以 BN⊥平面 ECA． 因为 BN 在平面 MNBD 内， 所以平面 MNBD⊥平面 ECA， 即平面 BDM⊥平面 ECA．
(3)由(2)易知 DM∥BN，BN⊥平面 ECA， 所以 DM⊥平面 ECA． 又 DM⊂平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA．
)
解析：选 B．当 a⊥b 时，这样的平面存在，当 a 和 b 不垂直 时，这样的平面不存在．
若平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则( A．α∥γ C．α 与 γ 相交但不垂直 B．α⊥γ
)
D．以上都有可能
解析：选 D．由题意知，α 与 γ 可能平行，也可能相交．如 图，α 与 δ 平行，α 与 γ 相交．
又 BC⊂平面 PBC，所以 AD⊥BC． 因为 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 PA⊥BC， 因为 AD∩PA＝A， 所以 BC⊥平面 PAC， 又 AC⊂平面 PAC，所以 BC⊥AC．
利用面面垂直的性质定理应注意的问题 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性 质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性 质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线 必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
【证明】
(1)如图，取 EC 的中点 F，连接 DF.
因为 EC⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 EC⊥BC． 同理可得 BD⊥AB， 易知 DF∥BC，所以 DF⊥EC． 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中， 1 因为 EF＝ EC，EC＝2BD， 2
所以 EF＝BD． 又 FD＝BC＝AB， 所以 Rt△EFD≌Rt△DBA，故 DE＝DA． (2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN， 1 则 MN∥EC，且 MN＝ EC． 2 1 因为 EC∥BD，BD＝ EC， 2
解析：选 A．由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③ 正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过 这一点的所有直线都与该直线垂直．
2．下列命题正确的是( a∥b ⇒b⊥α； ① a⊥α a⊥α ⇒b∥α； ③ a⊥b A．①② C．②③④
) a⊥α ⇒a∥b； ② b⊥α a∥α ⇒b⊥α. ④ a⊥b B．①②③ D．①②④
作用
■名师点拨 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另 一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系， 提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言
一个平面内 垂直于______ 交线 的直 两个平面垂直，则____________ 垂直 线与另一个平面______
3．在下列关于直线 m，l 和平面 α，β 的说法中， 正确的是 ( )
A．若 l⊂β，且 α⊥β，则 l⊥α B．若 l⊥β，且 α∥β，则 l⊥α C．若 l⊥β，且 α⊥β，则 l∥α D．若 α∩β＝m，且 l∥m，则 l∥α
解析：选 B．A 项中 l 与 α 可以平行或斜交，A 项错． B 项中，l⊥β 且 α∥β，所以 l⊥α 正确． C 项中，l 可在 α 内，C 项错． D 项中，l 可在 α 内，D 项错．
证明：(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个 平面的交线 AD， 所以 PA⊥底面 ABCD． (2)因为 AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点， 所以 AB∥DE，且 AB＝DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形．所以 BE∥AD． 又因为 BE⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 BE∥平面 PAD．
已知平面 α⊥平面 β，直线 a∥α，以下三个结论：①a⊥β； ②a∥β；③a 与 β 相交． 其中可能正确的序号为______．
解析：因为 a∥α，平面 α⊥平面 β，所以直线 a 与 β 垂直、 相交、平行都有可能．
答案：①②③
线面垂直的性质定理的应用 如图，已知正方体 A1C． (1)求证：A1C⊥B1D1； (2)M，N 分别为 B1D1 与 C1D 上的点， 且 MN⊥B1D1，MN⊥C1D， 求证：MN∥A1C．
(2)如图，连接 ON，在△A1DC 中，A1O＝OD，A1N＝NC， 1 ∥ 所以 ON═ CD． 2 ∥AB， 因为 CD═ 所以 ON∥AM. 又因为 MN∥OA， 所以四边形 AMNO 为平行四边形．
所以 ON＝AM. 1 因为 ON＝ AB， 2 1 所以 AM＝ AB． 2 所以 M 是 AB 的中点．
垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面 垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转 向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
如图，在四棱锥 PABCD 中，AB∥CD，AB ⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD．
下列命题： ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两 条直线互相垂直． 其中正确的个数是( A．0 C．2
答案：D
) B．1 D．3
若两直线 a 与 b 异面，则过 a 且与 b 垂直的平面( A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．一定不存在
解析：选 A．对于命题①，a⊥α，则 a 垂直于平面 α 内的任 意两条相交直线，又因为 a∥b，所以 b 也垂直于平面 α 内的 任意两条相交直线，所以 b⊥α，①正确；由线面垂直的性质 定理可知 a∥b，所以②正确；因为 a⊥α，当 a⊥b 时，则 b 可能在平面 α 内， 也可能与平面 α 平行， 所以③错误； 当 a∥α， a⊥b 时， b 与平面 α 的三种位置都有可能出现， 所以④错误．
又 AE⊥平面 ABC， 所以 AE∥DM. 又因为 AE⊄平面 BCD，DM⊂平面 BCD， 所以 AE∥平面 BCD．
垂直关系的综合问题 如图，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA．
问题导学 预习教材 P70－P72 的内容，思考以下问题： 1．直线与平面垂直的性质定理是什么？ 2．平面与平面垂直的性质定理是什么？
Байду номын сангаас
1．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言
平行 垂直于同一个平面的两条直线______
a⊥α ⇒a ∥b ____ b⊥α
图形语言 ①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条 直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直 线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及 三角形中位线的有关性质．
(2)直线与平面垂直的其他性质 ①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内 任一条直线垂直； ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直 于这个平面； ③若 l⊥α 于 A，AP⊥l，则 AP⊂α； ④垂直于同一条直线的两个平面平行； ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直 于另一个平面．
(2)如图，连接 B1A，AD1. 因为 B1C1∥ ═AD， 所以四边形 ADC1B1 为平行四边形， 所以 C1D∥AB1， 因为 MN⊥C1D，所以 MN⊥AB1. 又因为 MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1， 所以 MN⊥平面 AB1D1.
由(1)知 A1C⊥B1D1. 同理可得 A1C⊥AB1. 又因为 AB1∩B1D1＝B1， 所以 A1C⊥平面 AB1D1. 所以 A1C∥MN.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线 a∥平面 α， 直线 b⊥平面 α， 则直线 b⊥直线 a.( √ ) (2)若直线 a⊥平面 α， 直线 a⊥直线 b， 则直线 b∥平面 α.( × ) (3)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另 一个平面．( × ) (4)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中 一个平面．( × )
如图， △ABC 是正三角形， 若 AE⊥平面 ABC， 平面 BCD⊥平面 ABC， BD＝CD，求证：AE∥平面 BCD．
证明：如图，取 BC 的中点 M， 连接 DM，AM， 因为 BD＝CD， 所以 DM⊥BC． 又因为平面 BCD⊥平面 ABC， DM⊂平面 BCD，两平面交线为 BC， 所以 DM⊥平面 ABC，
【证明】
(1)如图，连接 A1C1.
因为 CC1⊥平面 A1B1C1D1， B1D1⊂平面 A1B1C1D1， 所以 CC1⊥B1D1. 因为四边形 A1B1C1D1 是正方形， 所以 A1C1⊥B1D1. 又因为 CC1∩A1C1＝C1， 所以 B1D1⊥平面 A1C1C． 又因为 A1C⊂平面 A1C1C，所以 B1D1⊥A1C．
又因为 CD⊥BE，EF∩BE＝E， 所以 CD⊥平面 BEF. 因为 CD⊂平面 PCD， 所以平面 BEF⊥平面 PCD．
1．下列说法中正确的是(
)
①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直； ②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直； ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行； ④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直． A．①②③ C．②③ B．①②③④ D．②③④
如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC． 求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
证明：(1)因为四边形 ADD1A1 为正方形，所以 AD1⊥A1D． 又因为 CD⊥平面 ADD1A1， 所以 CD⊥AD1.因为 A1D∩CD＝D， 所以 AD1⊥平面 A1DC． 又因为 MN⊥平面 A1DC，所以 MN∥AD1.