2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷(文科)

2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．（3分）设集合2{|560}A x x x =-+…
，{|10}B x x =-„，则(A B =I ) A ．(-∞，1] B ．[2-，1] C ．[3-，1]- D ．[3，)+∞
3．（3分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的
学生人数是( )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
4．（3分）若0m n <<，则下列结论正确的是( ) A ．22m n > B ．0.50.5m n < C ．22log log m n >
D ．0.50.5log log m n >
5．（3分）关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是( )
A ．甲
B ．丙
C ．甲与丙
D ．甲与乙
6．（3分）已知向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+r r ，若()()m n m n +⊥-r r r r
，则(λ= ) A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
7．（3分）已知(0,)απ∈，2sin2cos21αα=-，则sin (α= ) A ．15
B 5
C ．5
D 25
8．（3分）定义函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x
f x x x x ⎧=⎨<⎩
…，
给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为[1-，1]； （2）当且仅当2()2
x k k Z π
π=+
∈时，该函数取得最大值；
（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当322()2
k x k k Z π
πππ+<<+∈时，()0f x <． 上述命题中正确的个数是( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．（3分）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两
点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( )
A B C D 10．（3分）已知偶函数()2f x π+，当(,)22x ππ
∈-时，13
()sin f x x x =+，设a f =（1），b f
=（2），c f =（3），则( ) A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
11．（3分）若0m >，0n >，且直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围是( )
A ．[2)+∞
B ．[2+，)+∞
C ．(0，2+
D ．(0，2+
12．（3分）已知函数()()y f x x R =∈满足(2)2()f x f x +=，且[1x ∈-，
1]时，()||1f x x =-+，则当[10x ∈-，10]时，()y f x =与4()log ||g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）曲线:C y xlnx =在点(,)M e e 处的切线方程为 ．
14．（3分）抛物线24y x =上一点到直线45y x =-的距离最短，则该点的坐标是 ． 15．（3分）已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1AB AC ==，12AA =，
120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 ．
16．（3分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．
三、解答题（共6小题，满分0分）
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，
1AB =，AM PD ⊥于点M ，连接BM ．
（1）求证：PD BM ⊥； （2）求三棱锥M ABC -的体积．
18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
．
（1）求a 及角A 的大小； （2）求||AD u u u r
的值．
19．在数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点(n P a ，1)n a +均在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：12b =，*1()n n n b a a n N +=-∈． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若2
1
log n n n
c b b =g ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 20．函数22()(2)()f x x ax lnx x ax a R =--+∈．
（1）当4a =时，求()f x 在x e =处的切线方程(e 为自然对数的底数）； （2）当6a <时，直线3y =是()f x 的一条切线，求a ．
21．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2
AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=u u u u r u u u u r
，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与
直线:330l x y --=相切．过定点(0,2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=u u u u r u u u u r
，求λ的取值范围．
22．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为23(12x t
t y t =-⎧⎨=-+⎩
为参数），曲线C 的
极坐标方程为2sin 4cos ρθθ= （Ⅰ） 求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ） 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB ． [不等式选讲]
23．已知函数13
()||||22
f x x x =++-．
（1）求不等式()3f x …的解集； （2）若关于x 的不等式1
()|1|2
f x a <-的解集是空集，求实数a 的取值范围．
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：32z i =-+Q ，
∴32z i =--，
∴在复平面内z 对应的点为(3,2)--，在第三象限．
故选：C ．
2．（3分）设集合2{|560}A x x x =-+…
，{|10}B x x =-„，则(A B =I ) A ．(-∞，1] B ．[2-，1] C ．[3-，1]- D ．[3，)+∞
【解答】解：集合2{|560}(A x x x =-+=-∞…
，2][3U ，)+∞，{|10}(B x x =-=-∞„，1]， 则(A B =-∞I ，1]， 故选：A ．
3．（3分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的
学生人数是( )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60
【解答】解：Q 成绩低于60分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01， 每组数据的组距为20
则成绩低于60分的频率(0.0050.010)200.3P =+⨯=， 又Q 低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是15
500.3
=． 故选：B ．
4．（3分）若0m n <<，则下列结论正确的是( ) A ．22m n > B ．0.50.5m n < C ．22log log m n >
D ．0.50.5log log m n >
【解答】解：0m n <<Q ，22m n ∴<，0.50.5m n >，22log log m n <，0.52log log m n >． 故选：D ．
5．（3分）关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是( ) A ．甲
B ．丙
C ．甲与丙
D ．甲与乙
【解答】解：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；其逆否命题为：若乙、丙不都被录取，则甲被录取．
由②乙与丙中必有一个未被录取．③或者甲未被录取，或者乙被录取． 假设丙被录取，①③不正确，不符合题意． 假设乙被录取，则①③都正确，因此甲乙都被录取． 则三人中被录取的是甲乙． 故选：D ．
6．（3分）已知向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+r r ，若()()m n m n +⊥-r r r r ，则(λ= )
A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
【解答】解：(23,3),(1,1)m n m n λ+=+-=--r r r r
， (23)(1)30λ∴+⨯--=，3λ∴=-．
故选：B ．
7．（3分）已知(0,)απ∈，2sin2cos21αα=-，则sin (α= )
A ．15
B C ．D 【解答】解：(0,)απ∈Q ，
sin 0α∴>，
2sin2cos21αα=-Q ，
24sin cos 2sin ααα∴=-，可得2cos sin αα=-，
又22sin cos 1αα+=Q ， 221
sin (sin )12
αα∴+-=，
sin α∴ 故选：D ．
8．（3分）定义函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x
f x x x x ⎧=⎨<⎩
…，
给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为[1-，1]； （2）当且仅当2()2
x k k Z π
π=+
∈时，该函数取得最大值；
（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当322()2
k x k k Z π
πππ+<<+∈时，()0f x <． 上述命题中正确的个数是( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解答】解：由题意可得：函数
()sinx sinx cosx f x cosx sinx cosx ⎧=⎨<⎩
当时当时…
，即
5sin ,[2,2]44
()3cos ,[2,2]
44
x k k f x x k k ππππππππ⎧
++⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，作出其图象如图，从图象上可以看出：
（1
）该函数的值域为[，1]；故（1）错； （2）当且仅当2()2
x k k Z π
π=+
∈或2()x k k Z π=∈时，该函数取得最大值；帮（2）错；
（3）该函数是以2π为最小正周期的周期函数；（3）错； （4）当且仅当322()2
k x k k Z π
πππ+<<+∈时，()0f x <，
（4）正确． 故选：A ．
9．（3分）过双曲线
22
221(0,0)x y
a b a b
-=>>的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( ) A 51+B 10 C 171
+D ．
224
【解答】解：不妨设0(,)A c y ，代入双曲线22221x y a b -=，可得2
0b y a =±．
Q 线段AB 的长度恰等于焦距，
∴2
22b c a
=，
22c a ac ∴-=， 210e e ∴--=，
1e >Q ，
51
e +∴=
． 故选：A ．
10．（3分）已知偶函数()2f x π+，当(,)22x ππ
∈-时，13
()sin f x x x =+，设a f =（1），b f
=（2），c f =（3），则( ) A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
【解答】解：Q 当(,)22
x ππ
∈-时，sin y x =单调递增，1
3
y x =也为增函数，
∴函数13
()sin f x x x =+，也为增函数．
Q 函数()2
f x π
+为偶函数，
∴()()22
f x f x π
π-+
=+，即函数的对称轴为2x π
=，即()()f x f x π=-
f ∴（2）(2)f π=-，f （3）(3)f π=-，
03122
π
ππ<-<<-<
Q ，
(3)f f π∴-<（1）(2)f π<-，
即c a b <<， 故选：D ．
11．（3分）若0m >，0n >，且直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围是( )
A ．[2)+∞
B ．[2+，)+∞
C ．(0，2+
D ．(0，2+
【解答】解：由圆222210x y x y +--+=，得22(1)(1)1x y -+-=，得到圆心坐标为(1,1)，半径1r =，
Q 直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆相切，
∴圆心到直线的距离
1d =
=，
整理得：2
1(
)2
m n m n mn +++=„， 设(0)m n x x +=>，则有2
14x x +„，即2440x x --…，
解得：2x +…
则m n +的取值范围为[2+，)+∞． 故选：B ．
12．（3分）已知函数()()y f x x R =∈满足(2)2()f x f x +=，且[1x ∈-，
1]时，()||1f x x =-+，则当[10x ∈-，10]时，()y f x =与4()log ||g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
【解答】解：由题意，函数()f x 满足：
定义域为R ，且(2)2()f x f x +=，当[1x ∈-，1]时，()||1f x x =-+； 在同一坐标系中画出满足条件的函数()f x 与函数4log ||y x =的图象，如图： 由图象知，两个函数的图象在区间[10-，10]内共有11个交点； 故选：C ．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．（3分）曲线:C y xlnx =在点(,)M e e 处的切线方程为 2y x e =- ． 【解答】解：求导函数，1y lnx '=+
∴当x e =时，2y '=
∴曲线y xlnx =在点(,)e e 处的切线方程为2()y e x e -=-
即2y x e =-
故答案为：2y x e =-．
14．（3分）抛物线24y x =上一点到直线45y x =-的距离最短，则该点的坐标是 1(2
，1) ．
【解答】解法一：设与45y x =-平行的直线4y x b =+与24y x =相切，则4y x b =+代入24y x =，得2440x x b --=．①
△16160b =+=时1b =-，代入①得12
x =
， ∴所求点为1(2
，1)．
解法二：设该点坐标为0(A x ，0)y ，那么有2
004y x =．设点A 到直线45y x =-的距离为d ，
则 2
2
2000000021
|445|445|4()1|217
17
17
41
d x x x x x =
=-+-=
-+=
-++．
当且仅当01
2
x =
时，d 有最小值，
将01
2
x =
代入24y x =解得01y =． 故A 点坐标为1
(2，1)．
故答案为：1
(2
，1)．
15．（3分）已知直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1AB AC ==，12AA =，
120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 8π ．
【解答】解：设直三棱柱111ABC A B C -的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P ，M ， 设ABC ∆的外接圆半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，如图所示：，
∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 为线段PM 的中点，
在ABC ∆中，1AB AC ==，120BAC ∠=︒，
∴由余弦定理得：2220
1cos12022
AB AC BC AB AC +-==-g ，∴3BC =，
∴由正弦定理得：0
22sin120BC
r ==，1r ∴=，
∴在Rt OMC ∆中，OC R =，11
12
OM AA =
=，1MC r ==， 222112R ∴=+=，
∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为：248R ππ=，
故答案为：8π．
16．（3分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 9 ．
【解答】解：由题意得111
sin120sin 60sin 60222
ac a c ︒=︒+︒，
即ac a c =+， 得
11
1a c
+=， 得11444(4)()525459c a c a
a c a c a c a c a c
+=++=+++=+=g …，
当且仅当
4c a
a c
=，即2c a =时，取等号， 故答案为：9．
三、解答题（共6小题，满分0分）
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，
1AB =，AM PD ⊥于点M ，连接BM ．
（1）求证：PD BM ⊥； （2）求三棱锥M ABC -的体积．
【解答】（1）证明：PA ⊥Q 平面ABCD ，PA AB ∴⊥． 又BA AD ⊥Q ，AD PA A =I ，
AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥． AM PD ⊥Q ，AB AM A =I ， PD ∴⊥平面ABM ． PD BM ∴⊥．
（2）解：由（1）可知：AM PD ⊥．
Q 在PAD ∆中，2AP AD ==，M ∴是PD 的中点． 过点M 作MH AD ⊥，则MH ⊥底面ABCD ，且1
12
MH PA ==． 111
211332
ABC M ABC V S MH -∴=⋅==⨯⨯⨯⨯三棱锥．
18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
．
（1）求a 及角A 的大小； （2）求||AD u u u r
的值．
【解答】解：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得
2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+，
即2sin cos sin()sin B A A C B -=+=， 在ABC ∆中，sin 0B >，所以1cos 2
A =-．
又(0,)A π∈，所以23
A π=
． 在ABC ∆中，22c b ==，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=， 所以7a =．
（2）由1233
AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，
得221244414()21()3399929AD AB AC =+=++⨯⨯⨯-=u u u r u u u r u u u r ，
所以2||3
AD =u u u r ．
19．在数列{}n a 中，任意相邻两项为坐标的点(n P a ，1)n a +均在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：12b =，*1()n n n b a a n N +=-∈．
（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若2
1
log n n n
c b b =g ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【解答】解：（1）依题意：12n n a a k +=+ 12n n n n n n b a a a k a a k +∴=-=+-=+，(*) 1122()2n n n n n b a k a k k a k b ++∴=+=++=+=，
12b =Q ，∴
1
2n n
b b +=．∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列． 1222n n n b -∴==g ，即为数列n b 的通项公式．
（2）2
211log 222
n n n n n n c b log n b ===-g g g 231222322n n S n ∴-=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①，
23412122232(1)22n n n S n n +∴-=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯②，
①-②得11124822222n n n n n S n n +++=+++⋯+-=--g g ， 数列{}n c 的前n 项和11222n n n S n ++=--g ． 20．函数22()(2)()f x x ax lnx x ax a R =--+∈．
（1）当4a =时，求()f x 在x e =处的切线方程(e 为自然对数的底数）； （2）当6a <时，直线3y =是()f x 的一条切线，求a ．
【解答】解：()(4)(2)2(4)f x x a lnx x a x a x a lnx '=-+--+=-，(0)x >． （1）4a =时，22()(24)4f x x x lnx x x =--+．()4(1)f x x lnx '=-．
f ∴（e ）2e =，f '（e ）44e =-．
()f x ∴在x e =处的切线方程为：2(44)()y e e x e -=--；
（2）当6a <时，直线3y =是()f x 的一条切线， 令(4)0x a lnx -=，(0)x >．22(2)3x ax lnx x ax --+=， 解得1x =，或4
a x =
， 1x =时，13a -+=，解得2a =-，舍去．
4a x =
时，设3042
a t <=<． 化为：2222(24)43t t lnt t t --+=． 即：222330t lnt t -+=．
令22()233g t t lnt t =-+．g （1）0=．
()4264(1)g t tlnt t t t lnt '=+-=-，
令()0g t '=，解得t e =， 可得函数在3
(0,)2
上单调递增．
1t ∴=，即4a =．
21．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2
AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=u u u u r u u u u r
，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切．过定点(0,2)M 的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG MH λ=u u u u r u u u u r
，求λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为12220F F F Q +=u u u u r u u u u r
， 所以1F 为2F Q 中点． 设Q 的坐标为(3,0)c -，
因为2AQ AF ⊥，所以2233b c c c =⨯=，2244a c c c =⨯=，
且过A ，Q ，2F 三点的圆的圆心为1(,0)F c -，半径为2c ．（2分） 因为该圆与直线l 相切，所以
|3|
22
c c --=． 解得1c =，所以2a =
，b =
故所求椭圆方程为22
143x y +=．
（4分） （Ⅱ）设1l 的方程为2(0)y kx k =+>， 由222
14
3y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得22(34)1640k x kx +++=．
设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，则122
1634k
x x k
+=-
+．（5分） 所以112212(,)(,)(2PG PH x m y x m y x x m +=-+-=+-u u u r u u u r
，12)y y +． 12(2x x m =+-，1221212121()4)(,)(,())k x x GH x x y y x x k x x ++=--=--u u u u r
． 由于菱形对角线互相垂直，则()0PG PH GH +=u u u r u u u r u u u u r
g ．（6分）
所以21122112()[()2]()[()4]0x x x x m k x x k x x -+-+-++=． 故2211212()[()2()4]0x x x x m k x x k -+-+++=． 因为0k >，所以210x x -≠． 所以21212()2()40x x m k x x k +-+++= 即212(1)()420k x x k m +++-=． 所以22
16(1)()42034k
k k m k +-+-=+ 解得2
234k
m k =-
+．即234m k k
=-+．
因为0k >
，所以0m <． 故存在满足题意的点P 且m
的取值范围是[．（8分） （Ⅲ）①当直线1l 斜率存在时，
设直线1l 方程为2y kx =+，代入椭圆方程22
143x y +=
得22(34)1640k x kx +++=． 由△0>，得21
4
k >
．（9分） 设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，
则122
1634k
x x k +=-
+，12
2434x x k =+． 又MG MH λ=u u u u r u u u u r
，所以1(x ，122)(y x λ-=，22)y -．所以12x x λ=．（10分）
所以122(1)x x x λ+=+，2122x x x λ=．
所以22
12122(
)1x x x x x λλ
+==+．将上式代入整理得： 22
64(1)34k λλ+=+．（11分） 因为2
1
4k >，所以26441634k
<<+．即2(1)416λλ+<<． 所以1
4216λλ
<+
+<．
解得77λ-<+．
又01λ<<
，所以71λ-<．（13分）
②又当直线1l 斜率不存在时，直线1l 的方程为0x =，
此时G
，(0,H
，2)MG =-u u u u r
，(0,2)MH =u u u u r
，MG =
u u u u r u u u r
，所以7λ=-
71λ-<，即所求λ
的取值范围是[7-．
（14分） 22．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为23(12x t
t y t =-⎧⎨=-+⎩
为参数），曲线C 的
极坐标方程为2sin 4cos ρθθ= （Ⅰ） 求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ） 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB ．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=， 转化为：2(sin )4cos ρθρθ=， 进一步转化为直角坐标方程为：24y x =
（Ⅱ）把直线l 的参数方程为23(12x t
t y t =-⎧⎨
=-+⎩
为参数）化为：231x y +=， 代入24y x =得2620y y +-=； 设A 、B 的纵坐标分别为1y 、2y ； 则122y y =-，126y y +-；
则12||y y -=；
12||||AB y y =-
所以||AB = [不等式选讲]
23．已知函数13
()||||22
f x x x =++-．
（1）求不等式()3f x „的解集； （2）若关于x 的不等式1
()|1|2
f x a <
-的解集是空集，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）不等式()3f x „，即13
||||322
x x ++-„．
不等式的几何意义，是数轴是的点x ，到12-与3
2
的距离之和不大于3，
12x ∴-剟，
不等式的解集为{|12}x x -剟
； （Ⅱ）函数13
()||||22
f x x x =++-．
由绝对值的几何意义可知：()2min f x …， 关于x 的不等式1
()|1|2
f x a <-的解集非空， 只须：1
2|1|2
a <
-，解得3a <-或5a >．
关于x的不等式
1
()|1|
2
f x a
<-的解集是空集，可得35
a
-剟．。