离散数学集合论部分常考××题

离散数学常考题型梳理第2章关系与函数一、题型分析本章主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系三个重要关系、函数以及函数相关知识等内容。

常涉及到的题型主要包括：2-1关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算2-2关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定；自反、对称和传递闭包运算。

2-3等价关系2-4偏序关系和哈斯图2-5 函数的概念和性质因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：1．有序对和笛卡尔积（1）有序对：所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如< x , y >，x , y的位置是确定的，且< a , b >< b , a >。

（2）笛卡尔积：把集合A，B合成集合A×B，规定：{,|}⨯=<>∈∈且A B x y x A y B由于有序对< x , y >中x，y 的位置是确定的，因此A×B 的记法也是确定的，不能写成B×A 。

笛卡儿积的运算一般不满足交换律。

2．二元关系的概念和表示、几种特殊的关系和关系的运算（1）二元关系的概念：二元关系是一个有序对集合，设集合A，B ，从集合A 到B的二元关系R∈x∈<y=且>},x{B|yA记作xRy。

二元关系的定义域：ARam⊆R)(。

)RDom⊆(；二元关系的值域：B 二元关系R 是一个有序对组成的集合．因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示；反过来说，一个集合未必是一个二元关系，仅当集合是由有序对元素组成的，才能当做二元关系。

常用关系的表示法包括了集合表示法、列举法、描述法、关系矩阵法和关系图法。

关系矩阵和关系图是有限集合上的二元关系的表示方法。

（2）特殊的关系：空关系、全关系和恒等关系 空关系（记作）：是任何关系的子集全关系（记作E A ）：A A A b a b a E A ⨯≡∈><=},|,{恒等全系（记作I A ）：}|,{A a a a I A ∈><=（3）关系的集合运算、复合运算和逆运算：关系的集合运算与普通集合运算基本相同，主要为并运算、交运算、补运算、差运算和对称差运算。

关系复合运算，描述为1212{,|,,}R R R a c b a b R b c R =∙=<><>∈<>∈存在使且复合关系满足结合律：)()(T S R T S R ∙∙=∙∙关系的逆运算，描述为},|,{1R x y y x R >∈<><=-逆关系满足：111)(---∙=∙R S S R二元关系 R 的逆关系可以用关系矩阵和关系图表示．并且逆关系的关系矩阵就是关系R 的关系矩阵的转置，而逆关系的关系图就是把关系 R 的关系图中的有向弧的方向改变。

3．关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性（1）自反性：对任意R x x A x >∈<∈∀,，有，则关系R 是自反的。

自反关系的矩阵R M 主对角线元素全为1；自反关系图的每个结点都有自回路。

（2）反自反性：对R x x A x >∉<∈∀.，有，则关系R 是反自反的。

反自反关系矩阵R M 主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路。

（3）对称性：对R x y R y x >∈<>∈<∀,,，有，则关系R 是对称的。

对称关系的矩阵R M 是对称矩阵，即ji ij r r =；关系图中有向弧成对出现，方向相反．（4）反对称性：对,,x y R y x R ∀<>∈<>∈，若，必有x y =，则关系R 是反对称的；或者R x y R y x >∉<>∈<∀,,，必有，则关系R 是反对称的．反对称关系的矩阵R M 不出现对称元素，关系图中任意两个顶点之间或者没有有向弧，或者仅有一条有向弧．（5）传递性：对,,,a b R b c R a c R ∀<>∈∃<>∈<>∈，若，使得，则关系R 是传递的．在传递关系的关系图中，若有从a 到b 的弧，且有从b 到c 的弧，则必有从a 到c 的弧。

4．关系的自反闭包、传递闭包和对称闭包求解方法 （1）求解关系的自反闭包集合法：把所有的A a ∈构成的有序对< a , a > 添加到A 上的关系R 中，就能够获得R 的自反闭包r (R )。

即：A I R R r ⋃=)(，其中，I A 是A 上的恒等关系。

矩阵法：若R 的关系矩阵M R ，通过公式E M M R r +=，就能够求出R 的自反闭包r (R ) 的关系矩阵M r ，其中E 是单位矩阵。

图像法：在R 的关系图上没有自回路的结点处都添上自回路，就得到了R 的自反闭包r (R ) 的关系图。

（2）求解关系的对称闭包集合法：若R 上的任意关系a , b ，若R a b >∉<,，则把b , a 添加到关系R 中，就能够获得R 的对称闭包s (R )。

即：1)(-⋃=R R R s 。

矩阵法：若R 的关系矩阵为M R ，利用公式T R R s M M M +=，就能够得出R 的对称闭包s (R )的关系矩阵M s ，其中R T RM M 是的转置矩阵. 图像法：把R 的关系图图上所有单向弧都画为双向弧，就能得到R 的对称闭包s (R )的关系图．（3）求解关系的传递闭包集合法：先求出R 2，…，R n ，再求它们的并n R R R R ⋃⋃⋃⋃...21，就能够获得R 的传递闭包t (R )。

即：231()ni t R R R R ==⋃⋃⋃⋅⋅⋅。

矩阵法：若已知R 的关系矩阵M R ，通过公式n R R R t M M M M +++=...2，便能求出R 的传递闭包t (R )的关系矩阵M t 。

图像法：若已知R 的关系图，从关系图的每个结点a i （i =1，2，…，n ）出发，找出所有2步，3步，…，n 步长的路径，设路径的终点为k j j j a a a ,...,,21，从a I 依次用有向弧连接到k j j j a a a ,...,,21，当检查完所有结点后，就画出了R 的传递闭包t (R )的关系图。

5.等价关系等价关系概念：设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称的和传递的，则称R 是A 上的等价关系。

设R 是一个等价关系，若<a , b >∈R ，则称a 等价于b ，记作a ~b 。

6.偏序关系和哈斯图（1）偏序关系设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、反对称的和传递的，则称R 是A 上的偏序关系或者简称序关系。

偏序关系记作≤。

<a , b >∈≤，则称a 小于等于b ，记作a ≤ b 。

（2）哈斯图作图规则：i ．去掉每个结点的自回路，用空心点表示集合的元素；ii ．对于集合任意元素a 和b ，若a ≤b ，则将a 画在b 的下方；iii ．对于集合任意元素a 和b ，若a <b ，且不存在c 使a <c <b ，则在a 和b 之间划一条弧。

（3）最小元、极小元、最大元和极大元，上界和下界一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，只能惟一；且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可在子集之外确定，最小上界是所有上界中最小者，最小上界再小也不会小于子集中的任一元素；可以与某一元素相等，最大下界也是同样。

7．函数的概念与性质（1）函数的概念设 f 是集合 A 到 B 的二元关系，若任意 a ∈A ，存在 b ∈B ，且< a , b >∈ f ，Dom ( f ) = A ，则 f 是一个函数（映射）．函数是一种特殊的关系。

注意：集合 A ×B 的任何子集都是关系，但不一定是函数。

函数要求对于定义域 A 中每一个元素 a ，B 中有且仅有一个元素与 a 对应，而一般的关系没有这个限制。

（2）单射、满射和双射的判断单射：若)()(2121a f a f a a ≠⇒≠；满射：f (A) = B ，即对任意 y ∈B ，存在 x ∈A ，使得 y = f (x ) ；双射：单射且满射。

（3）函数的复合若C B g B A f →→:,:，则C A g f →∙:，即))(())((x f g x f g =∙。

复合成立的条件是：二、常考知识点分析常考知识点1：关系的概念与性质（历年考核次数：4次，本课程共考过6次；重要程度：★★★★）（2010年1月试卷第7题）如果R 是非空集合A 上的等价关系，a ∈A ，b ∈A ，则可推知R 中至少包含 等元素[解题过程]：由等价关系的概念，知道R 具备了自反性、对称性和传递性。

根据已知A 上的元素a 和b ，根据自反的概念，知道R 中必须包含<a, a>和<b, b>，由对称和传递概念，得知{<a, a>，<b, b>}也具备对称性和传递性，因此对应A 上的关系R 至少应该包含元素<a, a>，<a, b>正确答案：<a, a>，<b, b>易错点：同学们对本题目中要求的最小等价关系没有理解清楚，容易将答案写为{<a, a>，<a, b>，<b, a>，<b, b>}，仔细观察可以看出，该关系去掉<a, b>和<b, a>之后，仍然为等价关系。

提示：先加入自反关系，然后再根据等价关系加入必要的对称和传递所需的元素。

（2009年7月试卷第2题）集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R ={<x ，y >|x +y =10且x , y ∈A }，则R 的性质为（ ）．A ．自反的B ．对称的C ．传递且对称的D ．反自反且传递的[解题过程]：首先，可以写出关系R 的有限集合表示，即 {<2,8>,<8,2>,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6,4>,<5,5>}容易看出，<1,1>∉ R ，因此R 不是自反的。

<5,5>∈R 因此，R 不是反自反的。

又因为<2,8>∈R ，且<8,2>∈R ，而<2,2>∉ R ，因此，R 不具备传递性。

因此，答案选择B 。

易错点：同学们对关系的自反性、对称性、传递性和反自反性没有理解清楚，往往是能够写出R 的有限集合表示却不能用相关概念进行判别。