高考数学一轮复习： 单元评估检测6 第6章 不等式、推理与证明 理 北师大版

单元评估检测(六) 第6章 不等式、推理与证明
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.1
ab ≥12 B ．1a ＋1b
≤1
C.ab ≥2 D ．
1a 2＋b 2≤1
8
[答案] D
2．若集合A ＝{x |x 2
－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
12
＜2x
＜8
，则A ∩B ＝( ) A ．(－1,3) B ．(－1,5) C ．(2,5) D ．(2,3)
[答案] D
3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b
＝1，x 2＋y 2
＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )
A ．ab ＞xy
B ．ab ≥xy
C ．ab ＜xy
D ．ab ≤xy [答案] B
4．不等式ax 2
＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )
【导学号：79140422】
A ．10
B ．－10
C ．14
D ．－14 [答案] D
5．(2018·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ≥2|x |－1，
y ≤x ＋1
所表示的平面区域的面积
为( )
A ．2 2
B ．83 C.22
3 D ．2
[答案] B
6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )
A ．{x |x ＞a }
B ．⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1a C ．⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ＞a 或x ＜1a D ．⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＞1
a
或x ＜a [答案] C
7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝
nb －ma
n －m
.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，
m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝( )
A ．(n －m )(nd －mc )
B ．(nd －mc )n －m
C.n －m d n c m
D ．
n －m
d n ·c m
[答案] C
8．已知函数f (x )＝16x 2
－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )
A.
114 B ．54 C ．1 D ．1
4
[答案] C
9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，x －y ≥0，
2x －y －2≥0，
则ω＝
y －1
x ＋1
的取值范围是( ) A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，13
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13
C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，1 [答案] D
10．当x ＞0时，x 2
＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( )
A ．x ＞0
B ．x 2
≥0 C ．(x －1)2
≥0 D ．(x ＋1)2
≥0
[答案] C
11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1
x －y
的最小值为( )
【导学号：79140423】
A ．1
B ．2
C ．6＋4 2
D ．8＋4 2
[答案] C
12．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2
]＝2，…，[t n
]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[答案] B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，
a ＋b
2
四个数中最大的一个是________．
[答案] a
14．已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．
[答案] 4
15．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． [答案] 30 1
2
(n ＋1)(n －2)
16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1
b ＋1
的最小值为________． [答案] 4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2
－n .
(1)证明{a n }是等差数列； (2)若b n ＝
1
a n a n ＋1，数列{
b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜1
4
. [证明] (1)因为S n ＝2n 2
－n . 所以a 1＝S 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2
－n －2(n －1)2
＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立，所以a n ＝4n －3.
a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数．
所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝
1
(4n －3)(4n ＋1)
＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －3－14n ＋1
所以T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1
＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14
.
18．(本小题满分12分)如图6­1，在四棱锥P ­ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．
图6­1
求证：(1)直线EF ∥平面PBC ； (2)平面DEF ⊥平面PAB . [解] 略
19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2
＋ax ＋b .
(1)求f (1)＋f (3)－2f (2)；
(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2
.
【导学号：79140424】
[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.
(2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12
＜
f (3)＜1
2
.
所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1， 所以－2＜f (1)＋f (3)－2f (2)＜2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， 所以假设错误，即所证结论成立．
20．(本小题满分12分)已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，
x －1≥0，
z ＝2x ＋y .设z 的最大
值、最小值分别为M ，m .
(1)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1
b
＝m ，试求12a ＋36b ＋5的最小值；
(2)若m ≤a ＋b ≤M ，试求a 2
＋b 2
的最小值． [解] (1)21＋8 3 (2)9
2
21．(本小题满分12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月
生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．
(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数解析式；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润； (3)若x ∈[10，c ](10＜c ≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？
[解] (1)由题意，设y ＝a (x －15)2
＋17.5(a ＞0)，
把x ＝10，y ＝20代入，得25a ＝20－17.5，a ＝110，所以y ＝110(x －15)2
＋17.5
＝110x 2
－3x ＋40，x ∈[10,25]． (2)设月利润为g (x )，则
g (x )＝1.6x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫110
x 2－3x ＋40
＝－110(x 2
－46x ＋400)
＝－110
(x －23)2
＋12.9，
因为x ∈[10,25]，所以当x ＝23时，g (x )max ＝12.9. 即当月产量为23吨时，可获最大利润． (3)每吨平均成本为
y x ＝110x ＋40
x
－3≥24－3＝1. 当且仅当x 10＝40
x
，即x ＝20时“＝”成立．
因为x ∈[10，c ]，10＜c ≤25，
所以①当20≤c ≤25时，x ＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元．
②当10＜c ＜20时，y x ＝110x ＋40
x
－3在[10，c ]上单调递减，
所以当x ＝c 时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x
min ＝c
10＋40
c
－3. 故当20≤c ≤25时，月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低为1万元；
当10＜c ＜20时，月产量为c 吨时，每吨平均成本最低，最低为⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 10＋40c －3万元． 22．(本小题满分12分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，
a n ＋1，
b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)．
(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：
1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜5
12
. 【导学号：79140425】
[解] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2
n ＋1＝b n b n ＋1，
由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25，猜测a n ＝n (n ＋1)(n ∈N ＋)，
b n ＝(n ＋1)2(n ∈N ＋)．
用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2
，
那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2
－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1
b k
＝
(k ＋1)2(k ＋2)2
(k ＋1)
2
＝(k ＋2)2
， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．
由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2
对一切正整数都成立． (2)①当n ＝1时，
1a 1＋b 1＝16＜5
12
. ②当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝n (n ＋1)＋(n ＋1)2
＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n . 所以1a n ＋b n ＜1
2n (n ＋1)
， 故
1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1
a n ＋
b n
＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
2×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)
＝16＋1212－13＋13－14＋…＋1n －1
n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 由①②可知原不等式成立．。