【全国市级联考】江西省南昌市2017届高三上学期摸底调研考试理数(解析版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，3{|log (2)1}B x x =-≤，则()R A C B =（ ）
A ．{|2}x x <
B ．{|12}x x x <-≥或
C ．{|2}x x ≥
D ．{|12}x x x ≤->或
【答案】B
【解析】
试题分析：{|(1)(2)0}[2,)(,1]A x x x =+-≥=+∞-∞-，3{|log (2)1}[1,2)B x x =-≤=-，所以(,1)[2,)R C B =-∞-+∞，()R A C B ={|12}x x x <-≥或，选B.
考点：集合运算
【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2.已知复数2i z i
-=（其中i 是虚数单位），那么z 的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+
【答案】A
考点：复数概念
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数
相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi
3.4(12)x -展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A ．6
B ．-6
C ．24
D ．-24
【答案】A
【解析】
试题分析：第3项的二项式系数为2
46C =,选A.
考点：二项式系数
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
4.执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】
考点：循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
5.一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：cm ）分布茎叶图如图，测得平均身高为177cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D
考点：茎叶图
6.命题“0x ∀>，
01x x >-”的否定是（ ） A ．0,
01x x x ∃<≤- B ．0,01x x ∃>≤≤ C ．0,01x x x ∀>≤- D ．0,01x x ∀<≤≤ 【答案】B
【解析】
试题分析：命题“0x ∀>，
01x x >-”的否定是“0x ∃>，011x x x ≤=-或”即：0,01x x ∃>≤≤，选B.
考点：命题否定
【方法点睛】1.命题的否定与否命题区别
“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.
2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”. 7.7sin sin sin sin 412412
π
πππ+=（ ）
A ．0
B ．
12 C D ．1 【答案】C
【解析】
试题分析：7sin sin sin sin sin cos cos sin sin()sin 4124124124124123π
ππππππππππ+=+=+==，选C. 考点：两角和正弦公式
8.若定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且函数(4)y f x =+为偶函数，则（ ）
A ．(2)(3)f f >
B ．(2)(5)f f >
C ．(3)(5)f f >
D ．(3)(6)f f >
【答案】D
【解析】
试题分析：因为函数(4)y f x =+为偶函数，所以函数()f x 关于4x =对称，即
(2)(6),(3)(5),(5)(6),f f f f f f ==>，所以(3)(6)f f >.选D.
考点：函数性质
9.已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为8π，则h =（ ）
A ．1
B
C
D ．2
【答案】D
【解析】
考点：三视图
【名师点睛】
1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
10.若圆22
((1)3x y -+-=与双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线相切，则此双曲线的离心
率为（ ）
A
B
C ．2 D
【答案】
A
考点：直线与圆相切，双曲线离心率
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
11.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017101a a -<-，给出下列结论：（1）01q <<；（2）2016201810a a ->；（3）2016T 是数列{}n T 中的最大项；（4）使1n T >成立的最大自然数等于4031，其中正确的结论为（ ）
A ．（2）（3）
B ．（1）（3）
C ．（1）（4）
D ．（2）（4）
【答案】B
【解析】 试题分析：由20162017101
a a -<-，11a >得2016201711,01a a q ><<<，，前2016项都大于1，而从第2017项起都小于1，因此2016T 是数列{}n T 中的最大项；所以（1）（3）正确，选B.
考点：等比数列公比
【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
12.如图，在四面体ABCD 中，已知AB AC ⊥，BD AC ⊥，那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）
A ．直线A
B 上 B ．直线B
C 上 C ．直线AC 上
D ．ABC ∆内部
【答案】A
【解析】
考点：面面垂直判定与性质定理
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-，若ka b +与3a b -垂直，则实数k = .
【答案】19
【解析】
试题分析：1a b ⋅=，所以由()(3)0ka b a b +⋅-=得5313130,19.k k k -⨯+-==
考点：向量数量积
【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
14.已知数列{}n a 的通项为(1)(43)n n a n =--，则数列{}n a 的前50项和50T = .
【答案】100
【解析】
试题分析：11(1)
4n n n a a +++=-⋅，所以50254100T =⨯=
考点：分组求和
15.已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，且2z x y =-的最大值是最小值的-2倍，则a 的值是 . 【答案】12
【解析】
考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
16.直线l 经过点(1,1)P 且与曲线3:C y x =相切，若直线l 不经过第四象限，则直线l 的方程是 .
【答案】3410x y -+=
【解析】
试题分析：设切点为3(m,m )M ，则32113(1)12
m m m m m -=-⇒==-或，对应直线l 的方程分别为320x y --=，3410x y -+=，又直线l 不经过第四象限，所以直线l 的方程是3410x y -+= 考点：导数几何意义
【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆
cos sin C AB A ∙=∙.
（1）求角C 的大小；
（2
）若AB =，且ABC ∆
，求AC BC +的值.
【答案】（1）3C π=
（2）4
【解析】
试题解析：（I cos sin cos sin sin C AB A A C C A ⋅=⋅⇒=
tan 3C C π⇒=⇒=
………………………………6分
（II ）1sin 32ABC S AC BC C AC BC AC BC ∆=⇒⋅⋅=⋅=⇒⋅= 222222cos 7AB AC BC AC BC C AC BC AC BC =+-⋅⇒=+-⋅
2227()3AC BC AC BC AC BC AC BC =+-⋅=+-⋅4AC BC ⇒+=.………12分
考点：正余弦定理
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
18.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC AA ===，AC BC ⊥，点M 在线段AB 上.
（1）若M 是AB 中点，证明：1//AC 平面1B CM ；
（2）当BM =11C A 与平面1B MC 所成角的正弦值
【答案】（1）详见解析（2【解析】
试题解析：（Ⅰ）证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，连结ME ．
因为 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，M 是AB 中点，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，
ME 为△ABC 1的中位线，所以 ME// AC 1．…………………………4分 因为 ME ⊂平面B 1CM ， AC 1⊄平面B 1CM ，所以 AC 1∥平面B 1C …………6分[,
（II ）
1,AC BC CC ABC ⊥⊥平面,故如图建立空间直角坐标系
1(033),(300),(030),(000)B A B C ，，，，，，，，,BA =1
3
BM BA = 1(1,1,0),(0,3,0)(1,1,0)(1,2,0)3BM BA CM CB BM ==-=+=+-=………8分
考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角
【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
19.（本小题满分12分）
某校高一年级学生身体素质体能测试的成绩（百分制）分布在[40,100]内，同时为了了解学生爱好数学的情况，从中随机抽取了n 名学生，这n 名学生体能测试成绩的频率分布直方图如图所示，各分数段的“爱好数学”的人数情况如表所示.
（1）求,n p 的值；
（2）用分层抽样的方法，从体能成绩在[70,90)的“爱好数学”学生中随机抽取6人参加某项活动，现从6人中随机选取2人担任领队，记体能成绩在[80,90)内领队人数为X 人，求X 的分布列及数学期望.
【答案】（1）1000n =0.65p =，（2）2()3E X =
【解析】
（Ⅱ）由题知60a =，故抽取的6人中体能成绩在[70,80)岁的4人，体能成绩在[80,90)岁的2人，则X 的可能取值为0,1,2，
24266(0)15C P X C ===,1142268(1)15C C P X C ===,1142268(1)15
C C P X C ===………9分 分布列为：
6081212()153
E X ⨯+⨯+⨯== ………………………………12分 考点：频率分布直方图，概率分布与数学期望
【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的
随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
20.（本小题满分12分） 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过圆22
:2E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，l 与椭圆C 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由. 【答案】（1）22
163
x y +=（2）坐标原点 【解析】
试题解析：（I ）因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b c =
2132S a ==,a b ∴==C 的方程为22
163
x y +=， ……………4分 （Ⅱ）圆E 的方程为222x y +=,设O 为坐标原点
当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 方程为x =
，
则A B -， 所以2AOB π
∠= ……………6分
所以AB 为直径的圆过坐标原点
考点：直线与椭圆位置关系
【方法点睛】定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x ax =+的函数图象在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴.
（1）求函数()f x 的极值；
（2）若直线y kx b =+与函数()f x 的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <，求证：
2121
11x x k x x --<<. 【答案】（1）()=(1)1f x f =-极大值 ,没有极小值（2）详见解析
【解析】
（II ）依题意得2121212121
ln ln y y x x x x k x x x x ---+==--， 证212111x x k x x --<<，即证212211
ln ln 11x x x x x x -<<- 因210x x ->，即证21221211
ln x x x x x x x x --<< 令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t
-<<-（1t >） ……………………… 8分 令1()ln 1h t t t =+
-（1t >）则22111'()t h t t t t -=-=0> ∴()h t 在(1,) 上单调递增，
∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t
>-
（1t >）① 同理可证：ln 1t t <-② 综①②得11ln 1t t t -<<-（1t >），…………………11分 所以2121
11x x k x x --<<……………………… 12分
考点：导数几何意义，利用导数求函数极值，利用导数证明不等式
【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，BE 平分ABC ∠，交AC 于点E ，过点E 作ED BE ⊥交AB 于点D .
（1）求证：2
AE AD AB =∙；
（2）已知AD =2AE =，求EC 的长.
【答案】（1）详见解析（2）1EC =
【解析】
又因为BE 平分ABC ∠，所以DBE CBE ∠=∠，
所以AED DBE ∠=∠
又因为A A ∠=∠,所以AED D ∽ABE D ,所以
AE AD AB AE
= 故：2AE AD AB =⋅ ………………5分
考点：三角形相似，切割线定理
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆224x y +=每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
12
倍，得到曲线C . （1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求：过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】（1）2x cost y sint =⎧⎨
=⎩
(t 为参数)．（2）342cos sin ρθθ=- 【解析】
考点：椭圆参数方程，极坐标与之间坐标互化
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数3()|21|||2f x x x =--+
. （1）解不等式()0f x <；
（2）若0x R ∃∈，使得20()35f x m m +<，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）1562x -
<<（2）123m -<< 【解析】
试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式等价转化为三个不等式组，最后求并集得原不等式解（2）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题，即2min ()53f x m m <-，根据绝对值定义，将函数转化为分段函数，求各段最小值的最小值即可得：当12x =时,函数1()22
f =-小，最后解不等式2532m m ->-
考点：绝对值定义
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
：。