辽宁师大附中高三数学上学期10月模块考试试题 文(含解析)

辽宁师大附中2015届高三上学期10月模块考试数学（文）试题（解
析版）
【试卷综析】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。

整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一
个符合题目要求的选项. 【题文】1、已知集合B A x x
x B x x x A 则},02
|{},034|{2
≤-=>+-=等于（ ） A ．}21|{<<x x B ．}321|{><<x x x 或
C ．}10|{<≤x x
D ．}310|{><≤x x x 或
【知识点】交集及其运算.A1
【答案解析】C 解析：由题意解出A ，B ，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【思路点拨】∵集合A={x|x 2
﹣4x+3＞0}，∴A={x|x＞3或x ＜1}， ∵B={x|
≤0}，∴B={x|0≤x＜2}，∴A∩B={x|0≤x＜1}，故选C ．
【题文】2、已知数列}{n a 为等差数列，且π41371=++a a a ，则)t a n (122a a +的值为
（ ）
A 、、、-
【知识点】等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数．C2 C5 D2 【答案解析】B 解析：∵π41371=++a a a ，则a 7=43
π，
∴tan（a 2+a 12）=tan2a 7=tan
83
π
= B. 【思路点拨】因为π41371=++a a a ，则a 7=43π，所以tan （a 2+a 12）=tan2a 7=tan 83
π
，由
诱导公式计算可得答案．
【题文】3、已知b a
,是两个非零向量，给定命题b a b a p =⋅:，命题R t q ∈∃:，使得
b t a
=，则p 是q 的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的几何表示．A2 F2
【答案解析】C 解析：（1）若命题p 成立，∵，是两个非零向量，|•|=||||，即|||||•cos＜，＞|=||||，∴cos＜，＞=±1，＜，＞=00
或＜，＞=1800
∴
，共线，即；∃t ∈R ，使得=t ，∴由命题p 成立能推出命题q 成立．
（2）若命题p 成立，即∃t ∈R ，使得=t ，则，两个非零向量共线，∴＜，＞=00
或＜，＞=1800
，∴cos＜，＞=±1，即|||||•cos＜，＞|=||||， ∴|•|=||||，∴由命题q 成立能推出命题p 成立．∴p 是q 的充要条件．故选C ． 【思路点拨】利用两个向量的数量积公式，由命题p 成立能推出命题q 成立，由命题q 成立能推出命题p 成立，p 是q 的充要条件． 【题文】4、函数)4
2sin(2)(π
-=x x f 的一个单调减区间是（ ）
A 、 ]8
9,85[
π
π
B 、 ]8
3,8[π
π-
C 、 ]87,83[
ππ D 、 ]8
5,8[ππ 【知识点】复合三角函数的单调性．C3 【答案解析】C 解析：由2k π+≤2x﹣
≤2k π+
（k ∈Z ）得：k π+≤x≤k π+
，
∴函数)4
2sin(2)(π
-
=x x f 的单调递减区间为[k π+
，k π+
]．
当k=0时，函数)4
2sin(2)(π
-
=x x f 的一个单调递减区间是]8
7,83[
π
π．故选C ． 【思路点拨】由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间，继而可得答案． 【题文】5、设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若
63S S =3 ，则 6
9S
S =（ ） A 、 2 B 、
73 C 、 8
3
D 、3 【知识点】等比数列的前n 项和.D3
【答案解析】B 解析：设公比为q ，则
6
3
S S ===1+q 3
=3，
所以q 3
=2，所以
6
9
S S ===．故选B ．
【思路点拨】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得q 3
，然后再次利用等比数列前n
项和公式则求得答案．
【题文】6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A 、3
B 、4
C 、5
D 、2
【知识点】等差数列的通项公式．D2 【答案解析】A 解析：根据题意得：1152015
52530
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得：3d =，故选A ．
【思路点拨】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的第二、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．
【题文】7、已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于（ ） A 、4- B 、4 C 、0 D 、9 【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．F3
【答案解析】D 解析：由向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，∴a b -=（1﹣x ，4）， 又()a a b ⊥-，∴1×（1﹣x ）+2×4=0，解得x=9．故选D ．
【思路点拨】由给出的向量的坐标求出a b -的坐标，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求解x 的值．
【题文】8、已知01a <<
，log log a
a x =1
log 52
a y =
，log log a a z =则（ ） A ．x y z >> B ．z y x >> C ．y x z >> D ．z x y >>
【知识点】对数值大小的比较。

B7 【答案解析】C
解析：log log a
a x ==log a
，1
log 52
a y ==log a
，
log log a a z =a
，∵0＜a ＜1，又
＜
＜
，
∴log a
＞log a
＞log a
，即y ＞x ＞z ．故选 C ．
【思路点拨】先化简x 、y 、z 然后利用对数函数的单调性，比较大小即可.
【题文】9、在ABC △中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c 。

若
A A
B
C 2sin )sin(sin =-+，则ABC △的形状为（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰或直角三角形 【知识点】两角和与差的正弦函数．C5
【答案解析】D 解析：∵A A B C 2sin )sin(sin =-+，
∴sin（A+B ）+sin （B ﹣A ）=sin2A ，∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A ， ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcos A ，∴2cosA（sinA ﹣sinB ）=0，∴cosA=0，或sinA=sinB ， ∴A=
，或a=b ，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形故选：D ．
【思路点拨】由已知条件结合三角函数公式化简可得2cosA （sinA ﹣sinB ）=0，分别可得A=，
或a=b ，可得结论．
【题文】10、函数π
πln cos 2
2y x x ⎛⎫=-
<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）
【知识点】函数的图象与图象变化．B8 【答案解析】A 解析：∵cos（﹣x ）=cosx ，∴
是偶函数，
可排除B 、D ，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C ，故选A ． 【思路点拨】利用函数π
πln cos 2
2y x x ⎛⎫=-
<< ⎪⎝⎭的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有
界性可排除一些个选项．从而得以解决． 【题文】11、已知316sin =⎪⎭⎫
⎝⎛-απ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ232cos 的值是（ ） A 、9
7-
B 、31-
C 、31
D 、97
【知识点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．C2 C7 【答案解析】A 解析：⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ232cos =﹣cos （﹣2α）=﹣cos[2（）]
=﹣[1﹣2si
]=﹣（1﹣）=﹣，故选A.
【思路点拨】利用诱导公式和二倍角公式化简⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ232cos 为sin 的表达式，
然后代入sin
的值，求解即可．
y
x
2-
2
x
A ．
B ．
C ．
D ．
【题文】12、已知实数33,,,,x x y d c b a -=且曲线成等比数列的极大值点坐标为（b,c ）则
ad 等于（ ）
A ．2
B ．1
C ．—1
D ．—2
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质．B12 D3
【答案解析】A 解析：∵y′=3﹣3x 2
=0，则x=±1，
∴y′＜0，可得x ＜﹣1或x ＞1，y′＞0，可得﹣1＜x ＜1， ∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增， ∴x=1是极大值点，此时极大值为3﹣1=2． ∴b=1，c=2
又∵实数a ，b ，c ，d 成等比数列，
由等比数列的性质可得：ad=bc=2．故选A.
【思路点拨】先求导数，得到极大值点，从而求得b ，c ，再利用等比数列的性质求解. 第Ⅱ卷（ 共60分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将正确答案填在相应位置上。

【题文】13、数列{}n a 中，23,111+==+n n a a a ，则通项公式为n a =_____________. 【知识点】数列递推式．D1 【答案解析】13
21
-⋅-n 解析：设a n+1+k=3（a n +k ），得a n+1=3a n +2k ，与a n+1=3a n +2比较得k=1，
∴原递推式可变为a n+1+1=3（a n +1），∴
，
∴{a n +1}是一个以a 1+1=2为首项，以3为公比的等比数列， ∴1231n n a +=⨯-，1231n n a -∴=⨯-
【思路点拨】由题意132n n a a +=+知a n+1+1=3（a n +1），所以 {a n +1}是一个以a 1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，由此可知1231n n a -=⨯-。

【题文】14、已知
,5cos 3sin cos sin 2-=-+θ
θθ
θ则θθ2sin 42cos 3+=__________________
【知识点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．C2 C6 【答案解析】
57 解析：已知：
,5cos 3sin cos sin 2-=-+θ
θθ
θ利用商数关系解得：tan θ=2 进一步求出：
=
=﹣
=
=，所以：3cos2θ+4sin2θ=
【思路点拨】首先利用商数关系求出tan θ的值，进一步利用万能公式求的结果．
【题文】15、若方程0si n c o s 2
=+-a x x 在2
0π
≤
<x 内有解，则a 的取值范围是
_____________
【知识点】同角三角函数间的基本关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系.C2 B9 【答案解析】(]1,1- 解析：方程0sin cos 2
=+-a x x 即 sin 2
x+sinx ﹣a ﹣1=0．
由于2
0π
≤
<x ，∴0＜sinx≤1．故方程t 2
+t ﹣a ﹣1=0 在（0，1]上有解．
又方程t 2
+t ﹣a ﹣1=0 对应的二次函数f （t ）=t 2
+t ﹣a ﹣1 的对称轴为t=12
-
， 故有()()()010
00f f f ⋅≤⎧⎪⎨
≠⎪⎩
，解得﹣1＜a≤1．故答案为：(]1,1-．
【思路点拨】由题意可得方程t 2
+t ﹣a ﹣1=0 在（0，1]上有解，函数f （t ）=t 2
+t ﹣a ﹣1 的对称轴为t=12-
，故有()()()010
00
f f f ⋅≤⎧⎪⎨≠⎪⎩，解此不等式组求得a 的取值范围． 【题文】16、已知函数)4
2sin()(π
-
=x x f ，在下列四个命题中：①)(x f 的最小正周期是π4；
②)(x f 的图象可由x x g 2si n )(=的图象向右平移
4
π
个单位得到；③若21x x ≠，且1)()(21-==x f x f ，则)0(21≠∈=-k Z k k x x 且π；④直线8
π
-=x 是函数)(x f 图象的一
条对称轴，其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）． 【知识点】命题的真假判断与应用．A2
【答案解析】③④ 解析：由题意，①T =π，∴①不正确； ②f（x ）的图象可由x x g 2sin )(=的图象向右平移
8
π
个单位长度得到，∴②不正确； ③若x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2）=﹣1，则函数最低点间的距离为周期的整数倍，∴③正确； ④8
π
-
=x 时，()8
f π
-
=sin （﹣）=﹣1，∴直线8
π
-
=x 是函数f （x ）图象的一条对称轴，
正确．
故答案为：③④．
【思路点拨】利用函数)4
2sin()(π
-
=x x f ，结合正弦函数的性质，即可判断.
三、解答题：（本大题共4小题，共44分.）
【题文】17、（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，向量
)12
cos 2,2(cos ),3,sin 2(2-=-=B
B n B m ，且n m //
（1）求锐角B 的大小；
（2）已知2=b ，求ABC ∆的面积的最大值。

【知识点】二倍角的余弦；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数．C5 C6 F2
【答案解析】（1）3
B π
=
；（2）max S =
解析：（1）由n m
//得B B
B 2cos 3)12
cos
2(sin 22
-=- 整理得32tan -=B B 为锐角
3
π
=
∴B ………………5’
（2）由余弦定理B ac c a b cos 22
2
2
-+=得4=ac c a -+2
2
4≤∴ac
3max =∴S ………………10’
【思路点拨】（1）由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出tan2B 的值，由B 为锐角，得到2B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）由cosB 的值及b 的值，利用余弦定理列出关于a 与c 的关系式，利用基本不等式求出ac 的最大值，再由sinB 及ac 的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 面积的最大值．
【题文】18、（本题满分10分）已知向量(sin(),2),(1,cos())a x b x ωϕωϕ=+=+（ω＞0，0
＜ϕ＜
4
π
）。

函数()()()f x a b a b =+⋅-，()y f x =的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点7
(1,)2
M 。

（1）求()f x 的表达式；
（2）求)2014
()2()1()0(f f f f ++++ 的值。

【知识点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．C7 F3 【答案解析】（1）()cos(22)3f x x ωϕ=-++；（2）2
1
6045 解析：（1）()()()f x a b a b =+⋅-
=22b a -
22sin ()41cos ()x x ωϕωϕ=++--+
cos(22)3x ωϕ=-++
由题意知：周期2222T πω=
=⨯，∴4πω=。

又图象过点M ，∴73cos(12)22πϕ=-⨯+即1
sin 22
ϕ=，
∵0＜ϕ＜
4π，∴26πϕ=，12
π
ϕ=，
∴()3cos(
)26
f x x π
π
=-+。

………………5’ （2）()y f x =的周期4T =，
∵11
(0)(1)(2)(3)(3(3)(3(3)1222
f f f f +++=++++-= 原式=2
1
6045。

………………10’ 【思路点拨】（1）根据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式，由周期公式和题意求出ω的值，再把点7
(1,)2
M 代入化简后，结合φ的范围求出φ；（2）根据函数的周期为4，求出一个周期内的函数值的和，再根据周期性求出式子的值．
【题文】19、 （本题满分12分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且514,a =720a =。

(1)求数列{}n b 的通项公式；
(2)若(1,2,3),n n n n c a b n T =⋅=…为数列{}n c 的前n 项和，求证：72
n T <。

【知识点】等差数列与等比数列的综合．D5 【答案解析】（1）123
n n b =⋅
；（2）见解析 解析：（1）由11111222,1,22,,3
n n b S n b S S b b =-==-==
令则又所以 21221112
22(),9
222,2()213n n n n n n n n n b b b b n b S b b S S b b b ---=-+=≥=--=--=-=则当时，由可得即
{}1211
2333
n n n b b b ==⋅所以是以为首项，为公比的等比数列，于是……4’
（2）数列{}n a 为等差数列，公差751
()3,312n d a a a n =-==-可得
从而1
2(31)3
n n n n c a b n =⋅=-⋅
232312311111
2[258(31)],
3333
11111
2[ 25(34)(31)]333332111112[3333(31)]3333333
n n n n n n n n T n T n n d T n ++∴=⋅+⋅+⋅++-⋅=⋅+⋅++-⋅+-⋅∴=⋅+⋅+⋅++⋅---⋅………
从而13312727--⋅-=
n n n n
T 2
7
<∴n T ………………12’
【思路点拨】（1）由题设条件知112()2n n n n n b b S S b ---=--=-，即11
3
n n b b -=由此可求出数列{b n }的通项公式．（2）数列{a n }为等差数列，751
()3,312
n d a a a n =
-==-可得．从而12(31)3n n n n c a b n =⋅=-⋅，由此能证明数列{}n c 的前n 项和7
2
n T <．
【题文】20、（本题满分12分）已知函数f (x )=ln x －a
x
.
(1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性； (2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为
3
2
，求a 的值. 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12 【答案解析】（1）单调递增函数；（2
）a ＝解析：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝1x ＋2a x ＝2
x a
x +. ∵a >0，∴
()0
f x '>，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数. ………………3’
(2)由(1)可知：f ′(x )＝
2
x a
x +， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝
32，∴a ＝－3
2
(舍去). ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e )＝1－
a e ＝3
2
，∴a ＝－2e (舍去).
③若－e <a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a .
当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1,－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ,e )上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝
3
2
⇒a
综上可知：a ＝………………12’
【思路点拨】（1）确定函数的定义域，根据()0f x '>，可得f （x ）在定义域上的单调性； （2）求导函数，分类讨论，确定函数f （x ）在[1，e]上的单调性，利用f （x ）在[1，e]上
3
2，即可求a的值．
的最小值为。