数学培优竞赛新方法-第4讲 一元二次方程的应用

第4讲一元二次方程的应用
知识纵横
方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。

许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。

一元二次方程的应用有以下几个方面：
(1)求代数式的值；
(2)列二次方程解应用题；
(3)解相关几何问题。

例题求解
【例1】在平面直角坐标系中有点)2,2(-A 、)2,3(B ，C 是坐标轴上一点。

若ABC ∆是直角三角形，则满足条件的点C 的坐标是_________。

【例2】已知实数x 、y 满足32
4
24=-x x ，324=+y y ，则y x 444
+的值为（）。

A．7B．213
1+C．213
7+D．5
【例3】在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围城（如图所示）。

若花园的BC 边长为x（m），花园的面积为y（m 2）．
（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m 2
吗？若能，求出此时x 的值，若不能，说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
【例4】已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s，点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度2m/s，连接PQ。

若运动时间为t（s）（2<t<2)，解答下列问题：
（1）当t 为何值时，PQ∥BC？
（2）（2）设△AQP 的面积为y（cm 2
），求y 与t 之间的函数关系式；（3）（3）如图②，连接PC，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C 为菱形，求此时AQP ∆的面积.
【例5】如图，在平面直角坐标系中，直线
1+=x y 与34
3+-=x y 交于点A，分别交x 轴于点B 和点C，点D 是直线AC 上的一个动点。

（1）求点A、B、C 的坐标；
（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标。

分析对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分情况讨论状况。

例4图
巧定价格
【例6】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间。

据预测，当每年的年租金定为10万元时，当全部租出。

每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间。

该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。

（1）当每间商铺的年租金定位13万元，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定位多少万元时，该公司的年收益（收益+租金-各种费用）为275万元？
学力训练
基础夯实
1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，那么两次降价的百分率为_________。

2.庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有_______支队参加比赛。

3.假如一人患红眼病，经过两轮传染共有144人患了红眼病，按这样的传播速度，若有两人患了红眼病，经过第一轮传染后患红眼病的人数共有______人。

4．已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE 为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为_________．
（
(第4题）
5.图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n×n的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n的值为（）
A.7
B.8
C.9
D.10
6.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
7.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．
（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239万元？
第7题
8.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．
第8题
能力拓展
9.过点P（-1,3）作直线，使它与两坐标轴围城的三角形面积为5，这样的直线可以作_____条。

10.参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。

若这次会议握手的总数是159次，那么参加会议的成员有______人，其中，第二次握手共有_____次。

11.如图，直线b x y +-=33与y 轴交于点A，与双曲线x k y =在第一象限内交于点B、C 两点，且4=∙AC AB ，则k =________.12.如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数x y 2=
)0(>x 的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数x y 2=(x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为_______。

13.一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，b a 的值等于（）
A.231+
B.251+
C.232+
D.2
5
2+第11题
第12题
14.如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）。

A.25
37+
C.25
1+ D.) ⎝⎛+2
2115.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向终点B 运动；点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD、DA 向终点A 运动（P、Q 两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）．设P、Q 同时出发并运动了t 秒．
（1）当PQ 将梯形ABCD 分成两个直角梯形时，求t 的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半？若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由．
16.某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．
第15题
17.如图,已知直线)1()1(<+-=k k x k y (k<1)与双曲线y=6/x 在第一象限和第三象限分别交于点A（11,y x ）和点B（22,y x ），分别由A、B 向x 轴引垂线，垂足为M、N，当四边形AMBN 的面积取得最小值时，求k 的值。

18.如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm，BD⊥AC 于点D，且BD=8cm．点M 从点A 出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2cm/秒；同时直线PQ 由点B 出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/秒，，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ 交AB 于点P、交BC 于点Q、交BD 于点F．连接PM，设运动时间为t 秒（0＜t＜5）．
（1）当t 为何值时，PM∥BC？
（2）（2）设四边形PQCM 的面积为ycm 2
，求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使ABC PQCM
S S ∆=16
9四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使四边形PQCM 成为等腰梯形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．
第17题
第18题
19.求所有满足下列条件的四位数abcd，abcd=()2cd
ab+，其中，数码c可以为0。