江西省新余市第四中学、宜春中学2017届高三下学期开学联考数学(理)试题含答案

2017届宜春中学新余四中高三开学联考理科数学试卷
一。

选择题(60分)
1．设集合()22
{,|1}416
x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是：（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
2．已知复数
313i
z i +=
-,z 是z 的共轭复数,则z z •=（ )
A. 14 B 。

1
2 C.1 D.2
3. 下列结论正确的．．．
是（ )
A ．命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的否命题是“如果2p q +>，则22
2p q +≠”；
B ．命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题
2
:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为假； C ．“若22
,am bm <则a b <"的逆命题为真命题；
D 。

若31()2n
x x
-
的展开式中第四项为常数项，则n =5
4. 已知
{}
2,0,1,3a ∈-，
{}
1,2b ∈,则曲线
22
1ax by +=为椭圆的概率是（ ） A.37 B.47 C.12 D 。

3
8
5。

定义22⨯矩阵121423
34=a a a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎦⎣，若
cos sin 3
()cos(2)cos sin 2x x f x x x x π⎡⎤-⎢
⎥=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，则()f x A 。

图象关于
(),0π中心对称 B. 图象关于直线
2x π
=
对称
C.在区间[,0]
6
π
-
上单调递增 D 。

周期为π的奇函数
6。

如图所示的流程图，若输出的结果是9，则判断 框中的横线上可以填入的最大整数为（ ）
A ．17
B ．16
C ．15
D ．14 7。

如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的 表面积为( ）
第6题图
A ．14π
B ．3π
C ． 4π
D ．43π
8.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A ．150
B ．180
C ． 200
D ．280
9。

已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且
()()x
f x a
g x =(0a >,且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列()
{}()f n g n 的前n 项和大于62,则n 的最小值为（ )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为优函数，① 对任意[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥;② 当
12120,0,1
x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是优函数的是( ）
A ．2()f x x =
B ． ()21x f x =-
C ．2
()ln(1)f x x =+ D ．2()1f x x =+ 11. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与函数(0)y x x =≥的图象交于点P ，若函数y x =P 处的切线
过双曲线左焦点(1,0)F -,则双曲线的离心率是（ ）
A ．51+
B ．53
+ C 31
+ D ．
32
12. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=02401
)(,23)(22
3x x x x x
x x g x x x f ，则方程[]0)(=-a x f g 的根的个数不可能为（ ）
A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
二、填空题（20分)
13．已知数列{}n a 的前n 项和为2
n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为 。

14. 设函数
ln ,0
()21,0x x f x x x >⎧=⎨
--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则
22
22z x y x y =+++在D 上的最小值为 。

15．
已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42
=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅MB MA ，则=m _______.
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意N n +∈，1
(1)32
n
n n n S a n =-+
+-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立,则实数t 的取值范围是 ．
三、解答题（70分)
17．(12分)已知ABC ∆中，c b a ,,为角,,A B C 所对的边,且(3)cos b b c A -CA CB =⋅. （Ⅰ）求A cos 的值；
（Ⅱ）若ABC ∆的面积为22,并且边AB 上的中线CM 的长为217
，求,b c 的长.
18．(12分）时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来,某小车租车点的收费标准是，不超过2天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足1天的部分按1天计算)．有甲乙两人相互
独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2天还车的概率分别为11,32；2天以上且不超过3天还车的概率分别11
,
23；两人租车时间都不会超过4天．
（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()
E ξ．
19．(12分)如图(1），在等腰梯形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==
，AB =， 现将梯形沿
,CB DA 折起，使EF ∥AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图(2）示，已知,M N 分别为,AF BD
的中点．
（Ⅰ)求证：//MN 平面BCF ；
（Ⅱ)若直线DE 与平面ABFE 所成角的正切值为22
，则求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.
20．（12分)已知椭圆()
22
22:10x y E a b a b +=>>，直线212x y +=经过E 的右顶点和上顶点。

（1）求椭圆E 的方程；
（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点
()
2,0G 作斜率不为0的
直线交椭圆E 于,M N 两点。

设直线FM 和FN 的斜率为12
,k k .
①求证： 12
k k +为定值;②求FMN ∆的面积S 的最大值.
21．(12分）已知函数22()e
n nx
x x a f x --=,其中,,N R n a *
∈∈e 是自然对数的底数. （1）求函数12()()()g x f x f x =-的零点；
（2)若对任意,N n *
∈()n f x 均有两个极值点，一个在区间(1,4)内，
另一个在区间[]1,4外，求a 的取值范围；
第19题图（1）
A
B
E
F
D
C
第19题图（2）
请考生在第（22)、（23)二题中任选一题做答．注意:只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(10分）在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=ϕϕ
sin cos 1y x （ϕ为参数),以O 为极点,x 轴非负半轴为极
轴建立极坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
(2)直线l 的极坐标方程是3
3)3
sin(2=+
π
θρ，射线OM ：3
π
θ=
与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，
求线段PQ 的长.
23．（10分）已知函数()1f x x =-。

(1)解不等式()(4)8f x f x ++≥；
（2)若
1
a <，1
b <,且0a ≠，求证:()b f ab a f a ⎛⎫>
⎪⎝⎭。

数学（理科)答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C
D
D
C
B
C
A
B
D
A
D
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
13. 23π 14. 6
5-
15．
16。

311,44-⎛⎫
⎪⎝⎭
17．解:（Ⅰ)由题意得: (3)cos cos b b c A ab C -=．．．．．．．．．．．．2分
由正弦定理得：sin (3sin sin )cos sin sin cos B B C A A B C -=
sin 0,3sin cos sin cos sin cos sin B B A A C C A B ≠∴=+=．
．．．．．．4分 1
cos 3
A ∴=．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）由题意得：1
sin 2
ABC S bc A ∆=
=:6bc =．
．．．．．．．．．．．8分 由余弦定理得：22
17144cos 322
c b A c b +-
==⋅, 即:22425b c +=．．．．．．．．．10分 联立上述两式，解得：2,3b c ==或3
,4
2b c ==。

．．．．．．．．．．．．12分
18．【答案】（1）7
18；（2)分布列见解析，()750
E ξ=．
【解析】（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，
当乙租车2天内时,则甲租车3或4天，其概率为
1
111
1233P ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭; 当乙租车3天时，则甲租车4天，其概率为21111133218
P ⎛⎫=
⨯--= ⎪⎝⎭； 则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为12
117
31818P P P =+=+=．．．．．．．．．．．．5分
(2）设甲，乙两个所付的费用之和为,ξξ可为600,700，800，900，1000,．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
()()()()111111113
600,7003263322361111111111
80011123323232361111115
9001122333236
P P P P ξξξξ==⨯===⨯+⨯=
⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯--+⨯--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⨯--+⨯--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()11111
100011233236P ξ⎛⎫⎛⎫==--⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分
故ξ的分布列为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故ξ的期望为()1131151
6007008009001000750636363636
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=．
．．．．12 19. （Ⅰ)证明:连AC ，∵四边形ABCD 是矩形,N 为BD 中点，
∴N 为AC 中点.
在ACF ∆中，M 为AF 中点,故//MN CF 。

∵CF ⊂平面BCF
，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF . ．．．．．．
．．．．
．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB
AE A =
∴AD ⊥平面ABFE ,DE ∴在面ABFE 上的射影是AE 。

DEA ∴∠就是DE 与平面ABFE 所成的角.
故在Rt DAE ∆中
tan 2
DA DA DEA AE
∠=
==
AD DE ∴==.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
设P EF ∈且AP EF ⊥,分别以,,AB AP AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0),(A D E F
(0,0,2),(2,2,0),(2,2,2),(22,0,0)
AD AE DE DC ==-=--= 设
(,,),(,,)m x y z n r s t ==分别是平面ADE 与平面CDFE 的法向量
令00
,00m AD n DC m AE n DE ⎧⎧==⎪⎪⎨
⎨==⎪⎪⎩
⎩，
即0
,00⎧==⎪⎨
=+-=⎪⎪⎩
⎩
取(1,1,0),(0,1,1)m n ==
则
1
cos ,2
m n m n m n
<>=
=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴平面ADE 与平面CDFE 所成锐二面角的大小为π
3.．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.答案：2212
x y +=;（
2)①见解析;②4．
【解析】(1） 在方程12x y +=中，令0x
=，则1y =，所以上顶点的坐标为()0,1
，所以1b =；令0y =，
则x =
)
，所以a =
所以，椭圆E 的方程为2
212
x y +=.．．．．．．．．．．4分 (2） ①设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠.代入椭圆方程得()
2222128820k x k x k +-+-=。

设
()()
1122,,,M x y N x y ，则
2212121212
2212882
,,121211
y y k k x x x x k k k k x x -+==+=+++--()()()()2
2121222
12122
28222221220828111112121k k x k x x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+-+=+=-=-=⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦-+⎢⎥++⎣
⎦, 所以
120
k k +=为定值．。

．．．．．．．．．．8分
②因为MN 直线过点()2,0G ，设直线MN 的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=代入椭圆方程得
()2
2
22128820k x
k x k +-+-=.由判别式()()()2
2228421820k k k ∆=--+->解得21
2
k <
. 点
()
1,0F 到直线
MN
的距离为
h
,则
(
)
2
2
1212
2111422
1
k h S MN h k x x x x k =
=
=
=++-+()
(
)222222
882421
121k k
k k k k -=-+++
12
==
令212t k =+,
则S ==所以216
k =时,S 的最大值为4.。

．．．．．．．．．．12
分
21。

【解析】：（1）222122222(2)(e 1)
()()()e e e x x x x
x x a x x a x x a g x f x f x -------=-=-=，
44a ∆=+..．．．．．．．．．．2分
① 当1a <-时，0,∆<函数()g x 有1个零点：10.x = 。

.．．．．．．．．．．3分 ② 当1a =-时，0,∆=函数()g x 有2个零点：120, 1.x x == .。

．．．．．．．．．．4
分 ③ 当0a
=时,0,∆>函数()g x 有两个零点：120, 2.x x == 。

.．．．．．．．．．．5分 ④ 当1,0a a >-≠时，0,∆>函数()g x 有三个零点：
1230,11x x x === 。

．．．．．．．．．．6分 （2）22
2(22)e (2)e 2(1)2
().e e
nx nx n nx nx
x n x x a nx n x a n f x -----+++⋅-'== 设2
()2(1)2n g x nx n x a n =-+++⋅-，()n g x 的图像是开口向下的抛物线。

由题意对任意,N n *
∈()0n g x =有两个不等实数根12,x x ， 且()[]121,4,1,4.x x ∈∉
则对任意,N n *
∈(1)(4)0n n g g <,即6(1)(8)0n a n a n
⎡⎤⋅+⋅⋅--<⎢⎥⎣⎦
, 。

.．．．．．．．．．．9分
又任意,N n *
∈68n -
关于n 递增,6
81n
->-， 故min 61(8),186 2.a a n
-<<--<<-=
所以a 的取值范围是()1,2.- .。

．．．．．．．．．．12分 22.【答案】（1)θρcos 2=；（2）2||=PQ 。

【解析】（1）圆C 的普通方程为1)1(2
2
=+-y x ，又θρcos =x ，θρsin =y ， ∴圆C 的极坐标方程为θρcos 2=. .。

．．．．．．．．．．4分
(2）设),(11θρP ,则由⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθ
ρ解得⎪⎩
⎪
⎨⎧==3111πθρ。

设),(22θρQ ,则由⎪⎩
⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin π
θθθρ解得⎪⎩⎪
⎨⎧==3322πθρ。

∴2||=PQ . .。

．．．．．．．．．．10分 23.【答案】（1)
{}|53x x x ≤-≥或；
（2）证明见解析.
【解析】(1）
22,3,()(4)134,31,
22, 1.x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪
++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
当3x <-时,则228x --≥，解得5x ≤-; 当31x -≤≤时，则()8f x ≥不成立； 当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥。

所以原不等式的解集为
{}|53x x x ≤-≥或. .。

．．．．．．．．．．5分
（2）
()b f ab a f a ⎛⎫
> ⎪
⎝⎭即1ab a b ->-。

因为1a <,
1
b <,
所以()()()()2
2
2222221212110
ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->，
所以
1ab a b
->-.故所证不等式成立。

..．．．．．．．．．．10分
．。