东南大学附属中学 选修一第二单元《直线和圆的方程》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．圆心在曲线()3
0y x x
=>上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）
A ．((2
2
9x y +=
B ．()()2
2
2
16315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭
C ．()()2
2
218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭
D ．()2
2
3292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭ 2．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若点()1,1P --为圆2260x y x ++=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）
A ．230x y +-=
B ．210x y --=
C ．230x y +-=
D ．210x y -+=
4．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（ ） A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0
C ．2x －y ＋1＝0
D ．2x ＋y ＋1＝0
6．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l
的条数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
7．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C
D ．8．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02
c
x y -+=上， 则m c += . A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知函数22()()4)()f x x a a a R =-+-∈，若关于x 的不等式()2f x ≤有解，则实数a 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．
D
10．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原
点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(2,)+∞
C ．[2,22)
D ．[2,22)
11．已知点(1,1)A - 和圆221014700C x y x y +--+=: ，一束光线从点A 出发，经过x 轴反射到圆C 的最短路程是（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．曲线21
4y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k
的取值范围是（ ）
A ．50,
12⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．13,
34⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．5,12⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D ．
53
,124
二、填空题
13．直线:20l mx y m --+=与圆22:6O x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则
AOB 面积的最大值为__________.
14．如果圆22()()1(0)x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为________．
15．如图，已知圆22:16,,O x y A B +=是圆O 上两个动点，点(2,0)P ，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是___________．
16．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________. 17．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+，曲线2C 的方程为
22(1)4x y ++=，若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．
18．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点()00,P x y 在直线
2y x =上，且PA PB =，则0x 的取值范围为______．
19．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为
M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______.
20．若直线y x b =+与曲线24y x =
-b 的范围______________.
三、解答题
21．已知||1t ≤，直线1:10l tx y -+=和直线2:10l x ty ++=相交于点P ，1l 和y 轴交于点A ，2l 和x 轴交于点B ．
（1）判断1l 与2l 的位置关系，并用t 表示点P 的坐标； （2）求||OP 的长度的取值范围，并指出取最值时点P 的位置．
22．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆
M 的两条切线，切点分别为,A B .
（1）若1t =，求两条切线所在的直线方程；
（2）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标.
23．已知圆C ：22870x y y +-+=，直线l ：()20x my m m R +-=∈. （1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判定直线与圆的位置关系；
（2）若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且42AB =时，求直线l 的方程.
24．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；
（2）求AC 边上的高所在直线方程． 25．根据所给条件求直线的方程：
（1）直线过点()3,4-，且在两坐标轴上的截距之和为12；
（2）直线m ：3260x y --=关于直线l ：2310x y -+=的对称直线m '的方程． 26．过圆外一点(0,3)P 作圆()2
224x y -+=的两条切线分别与圆交于,A B 两点 （1）求切线,PA PB 的方程； （2）求直线AB 的方程.
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
设圆心为(),a b，利用圆心到直线的距离求出半径，利用基本不等式可求出最小半径，即可求出该圆.
【详解】
设圆心为(),a b，半径为r，
则满足条件的圆面积最小时即r最小时，
3433
55
a b
r
+++
==≥，
∵圆心(),a b在()
3
y x
x
=>上，
∴3
b
a
=，即3
ab=，
∴
min
3
r==，
当且仅当34
a b
=，即2
a=，
3
2
b=时取等号，
∴此时圆的方程为()2
23
29
2
x y
⎛⎫
-+-=
⎪
⎝⎭
.
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与圆的相切问题，解题的关键是利用基本不等式求出半径的最小值.
2．A
解析：A
【分析】
因为直线(21)10
mx m y
+-+=和直线390
x my
++=垂直，所以0
m=或1
m=-，再根据充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线(21)10
mx m y
+-+=和直线390
x my
++=垂直，
所以2
3(21)0,220,0
m m m m m m
⨯+-⨯=∴+=∴=或1
m=-.
当1
m=-时，直线(21)10
mx m y
+-+=和直线390
x my
++=垂直；
当直线(21)10
mx m y
+-+=和直线390
x my
++=垂直时，1
m=-不一定成立.
所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】
方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.
3．D
解析：D 【分析】
连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直，由圆的标准方程求出圆心A 的坐标，再由弦中点P 的坐标，求出直线AP 的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为1-，求出弦所在直线的斜率，再由弦中点P 的坐标及求出的斜率，写出弦所在直线的方程即可． 【详解】
解：由题意，知圆的标准方程为()2
239x y ++=，圆心为()30A -,
. 因为点()1,1P --为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥. 又AP 的斜率101
132
k --=
=--+，所以直线MN 的斜率为2， 所以弦MN 所在直线的方程为()121y x +=+，
即210x y -+=. 故选：D 【点睛】
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，解题的关键是连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直．
4．B
解析：B 【分析】
根据题意得要使四边形PACB 面积的最小值，只需PC 取最小即可，再根据几何关系求解即可. 【详解】
解：根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可.
由于()2
214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r
，
由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，
所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==
此时切线长1PA PB ==
=，
此时四边形PACB 面积为122S =⨯=. 即四边形PACB 面积的最小值为2. 故选：B. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解题的关键是将问题转化为求PC 取最小值，再结合点到线的距离即可解答.
5．D
解析：D 【分析】
根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】
由于,PA PB 是圆()()2
2
:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，
所以2||||2||PACB PAC S S PA AC PA ∆==⋅=== 当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小， 此时PC :1
1(x 1)2
y -=
-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨
++=⎩得1,
,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩
PC 的中点为1
(0,),||2
PC ==
以PC 为直径的圆的方程为2215(),24
x y +-=即22
10x y y +--=，
两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=
故选：D.
6．B
解析：B 【分析】
以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆
P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.
【详解】
||5PQ ==，
以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，
因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线， 所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】
关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.
7．C
解析：C 【分析】
求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】
圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，
所以d =
= ，
圆22
(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=
故选C ． 【点睛】
圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.
8．C
解析：C 【分析】
由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02
c
x y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】
由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线02c x y -+=上
代入得：
12022
m c
+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.
9．A
解析：A 【分析】
令y =
22
2(0)x y y +=≥，将问题转化为圆222x y +=与圆
22()(4)2x a y a -+--=有交点，利用圆心距与半径的关系可得解.
【详解】 令22y x =
-，则22
2(0)x y y +=≥，
所以()2f x ≤有解化为22
()(4)2x a y a -+--≤有解，
则问题转化为半圆22
2(0)x y y +=≥与圆22
()(4)2x a y a -+--=有交点，
因为圆22
()(4)2x a y a -+--=的圆心在直线4y x =+上，如图：
22(4)22a a ++≤
，即2440a a ++≤，即2
(2)0a +≤，解得
2a =-. 故选：A
【点睛】 关键点点睛：令22y x =
-，将问题转化为半圆22
2(0)x y y +=≥与圆
22()(4)2x a y a -+--=有交点是解题关键.
10．C
解析：C 【分析】
设AB 的中点为C ，由||
||OA OB AB +，可得||
||OC AC ，则
222||||2()2
4AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范
围． 【详解】
设AB 的中点为C ， 因为||||OA OB AB +，
所以||||OC AC ，
因为||2
OC =
，
所以22
2||||2(
2
4AC OC =≤+，
所以2a -或2a ，
22
<，所以2222a -<<
因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，， 故选：C ． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．C
解析：C 【分析】
先将圆221014700C x y x y +--+=:化为标准方程,求出圆心和半径,再找出圆心O 关于
x 轴对称的点'O ,最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'5,7O -的
距离再减去半径的距离. 【详解】
解:由题可知，圆22
1014700C x y x y +--+=:,
整理得()()2
2
2572C x y -+-=:,圆心()5,7O ,半径2r
最短距离即(1,1)A -和圆C 的圆心()5,7O 关于x 轴对称的点()'
5,7O -的距离再减去半径的距离，
所以21028d ==-=.
故选:C 【点睛】
本题主要考查圆的方程和直线与圆的位置关系,考查两点间的距离公式,属于简单题.
12．D
解析：D 【分析】 易知曲线21
4y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24
y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线21
4y x 变形为2
22
1
41
41y x x y y 表示以()0,1 为圆心，
以2为半径的半圆，
直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，
在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：
当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
2
3221k
k -=+，解得5
12k =，即5
12
AC k ，又413
224
AB k ， 由图知：当曲线21
4y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：
AC
AB k k
k ，即
53124
k <≤. 故选：D 【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
二、填空题
13．3【分析】设出圆心到直线的距离为利用几何法求出表示出面积再利用二次函数的性质即可求出【详解】可得直线的定点在圆内则设圆心到直线的距离为则当即即时取得最大值为3故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查圆
解析：3 【分析】
设出圆心O 到直线的距离为d ，利用几何法求出AB ，表示出面积，再利用二次函数的性质即可求出. 【详解】
可得直线:20l mx y m --+=的定点()1,2在圆内，则m R ∈
设圆心O 到直线的距离为d
，则d =
AB =，
∴
12
AOB
S
AB d d =⨯⨯=== 当2
3d
=，即
()2
2
231
m m -=
+，即22
m -±=
时，AOB
S 取得最大值为3.
故答案为：3. 【点睛】
关键点睛：本题考查圆内三角形面积的最值问题，解题的关键是利用几何法求出AB ，表示出三角形面积，利用二次函数性质求解.
14．【分析】求出到原点的距离为3的点的轨迹方程为则等价于则圆与圆有交点利用圆心距与半径关系即可求出【详解】根据题意到原点的距离为3的点的轨迹方程为若圆上总存在点到原点的距离为3
则圆与圆有交点两圆的圆心距
解析：
【分析】
求出到原点的距离为3的点的轨迹方程为2
2
9x y +=，则等价于则圆
22()()1(0)x a y a a -+-=>与圆229x y +=有交点，利用圆心距与半径关系即可求出.
【详解】
根据题意，到原点的距离为3的点的轨迹方程为2
2
9x y +=， 若圆2
2
()()1(0)x a y a a -+-=>上总存在点到原点的距离为3， 则圆2
2
()()1(0)x a y a a -+-=>与圆2
2
9x y +=有交点，
=，
3131
∴-≤≤+
a
≤
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是将题目等价于圆2
2
()()1(0)x a y a a -+-=>与圆
229x y +=有交点，利用圆心距与半径关系求解.
15．【分析】设点连接交于可写出的坐标再在直角中利用勾股定理列方程可得xy 的关系式即顶点的轨迹方程【详解】设点如图连接交于由矩形可知为的中点连接在直角中则即整理得所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键 解析：2228x y +=
【分析】
设点(,)C x y ，连接,AB PC 交于M ，可写出M 的坐标，再在直角OMB △中，
OM MB ⊥，利用勾股定理列方程可得x, y 的关系式，即顶点C 的轨迹方程. 【详解】
设点(,)C x y ，如图连接,AB PC 交于M ，
由矩形PACB 可知M 为PC 的中点，2,22x y M +⎛⎫
⎪⎝
⎭，PM MB = 连接,OB OM ，在直角OMB △中，OM MB ⊥，则22222OB OM BM OM MP =+=+
即222
2
221622222x y x y +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，整理得2228x y +=，
所以顶点C 的轨迹方程是2
2
28x y += 故答案为：2
2
28x y +=
【点睛】
关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)C x y ，然后再利用图像的几何关系找到x, y 的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
16．或【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论可求得结果【详解】当直线在在两坐标轴上截距相等且为0时直线的方程为；当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时设直线的方程为又直线过点则解得所以直线的方程为；所以
解析：1
2
y x =-或1y x =--. 【分析】
按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果. 【详解】
当直线l 在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l 的方程为12y x =-； 当直线l 在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l 的方程为1x y
a a
+=，
又直线l 过点(2,1)A -，则
21
1a a
-+=，解得1a =-，所以直线l 的方程为1y x =--； 所以直线l 的方程为1
2
y x =-
或1y x =--.
故答案为：1
2
y x =-或1y x =--. 【点睛】
易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式
1x y
a b
+=，只适用于不过原点或不垂直于x 轴、y 轴的直线，表示与x 轴、y 轴相交，且x 轴截距为a ，y 轴截距为b 的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.
17．【分析】利用是过点B(02)且关于y 轴对称的两条射线将C1与C2有且仅有三个公共点等价转化为l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点验证即可
解析：4
3
-
【分析】
利用1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线,将C 1与C 2有且仅有三个公共点等价转化为l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点，验证，即可得出答案. 【详解】
易知2C 是圆心为A (-1,0),半径为2的圆.
由题设知,1C 是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，记y 轴右边的射线为l 1,y 轴左边的射线为l 2，由于B 在圆C 2的外面,故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点,或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点. 当l 1与C 2只有一个公共点时,A 到l 1所在直线的距离为2,
2=,
故4
3
k =-或k =0.经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点； 当4
3
k =-
时，l 1与C 2只有一个公共点,l 2与C 2有两个公共点 当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2
2=,
故k =0或43k =,经检验，当k =0时，l 1与C 2没有公共点，当4
3
k =时，l 2与C 2没有公共点. 故答案为：43
- 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
18．（﹣10）∪（02）【分析】由题意可得CP 垂直平分AB 且y0＝2x0由•a ＝﹣1解得x0把直线y ＝ax+3代入圆x2+y2+2x ﹣8＝0化为关于x 的一元二次方程
由△＞0求得a 的范围从而可得x0的取值
解析：（﹣1，0）∪（0，2） 【分析】
由题意可得CP 垂直平分AB ，且 y 0＝2x 0．由
00201x x -+•a ＝﹣1，解得x 01
21
a -=+，把直线y ＝ax +3代入圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0化为关于x 的一元二次方程，由△＞0，求得a 的范围，从而可得x 0的取值范围． 【详解】
解：圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0 即 （x +1）2+y 2＝9，表示以C （﹣1，0）为圆心，半径等于3的圆．
∵|PA |＝|PB |，∴CP 垂直平分AB ， ∵P （x 0，y 0）在直线y ＝2x 上，∴y 0＝2x 0．
又CP 的斜率等于00201x x -+，∴00201x x -+•a ＝﹣1，解得x 0121
a -=+．
把直线y ＝ax +3代入圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0可得，（a 2+1）x 2+（6a +2）x +1＝0． 由△＝（6a +2）2﹣4（a 2+1）＞0，求得 a ＞0，或a 3
4
-＜． ∴﹣1121a -+＜
＜0，或 01
21
a -+＜＜2． 故x 0的取值范围为 （﹣1，0）∪（0，2）， 故答案为：（﹣1，0）∪（0，2）． 【点睛】
本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．
19．【分析】化已知直线为即有且解方程可得定点可得在以为直径的圆上运动求得圆心和半径由圆的性质可得最值【详解】解：由直线化为令解得所以直线过定点因为为垂足所以为直角三角形斜边为所以在以为直径的圆上运动由点
解析：13⎡⎣
【分析】
化已知直线为()()2430--+--=m x y x y ，即有240x y --=且30x y --=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 【详解】
解：由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为
()()2430--+--=m x y x y ，
令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得1
2x y =⎧⎨=-⎩
，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以
PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()
5,0P -
可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为
=
=r
则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为
13=
=CN ，
所以MN 的取值范围是13⎡+⎣.
故答案为：13⎡-⎣.
【点睛】
本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
20．或【分析】由曲线变形为画出的图象当直线经过时直线与曲线有两个公共点求出此时的以及直线过时的值再求出当直线与曲线相切时的的值数形结合即可得b 的范围【详解】由曲线变形为画出的图象①当直线经过时直线与曲线
解析：22b -≤<或b = 【分析】
由曲线y =
()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()22
04y x y +=≥的
图 象，当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，求出此时的b ，以及直线y x b =+过(2,0)C 时b 的值，再求出当直线与曲线相切时的b 的值，数形结合即可得b 的范围. 【详解】
由曲线y =
()22
04y x y +=≥，
画出 y x b =+，()22
04y x y +=≥的图象，
①当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，此时2b =， 当直线y x b =+过(2,0)C 时02b =+，得2b =-， 所以若直线与曲线有1个公共点，则22b -≤<. ②当直线与曲线相切时，联立
22
4
y x b
x y =+⎧⎨+=⎩ ，化为222240x bx b ++-=， 令2
2
48(4)0b b ∆=--=，
解得：b =，或b =-（舍去），
综上所述b 的范围: 22b -≤<或b =.
故答案为：22b -≤<或b =.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆相交相切问题、采用数形结合思想，属于中档题.
三、解答题
21．（1）垂直，2
211,11t t P t t ---+⎛⎫
⎪++⎝⎭
；（2）2]，最小时(1,0)P -或(0,1)P ，最大时(1,1)P -．
【分析】
（1）可得0t =时，显然12l l ⊥，0t ≠时，由121k k =-可得12l l ⊥；联立直线方程可求得P 的坐标； （2）可得2
2
2
1
O t P =+，由||1t ≤即可求得取值范围. 【详解】
（1）当0t =时，1:1l y =，2:1l x =-，显然12l l ⊥， 当0t ≠时，121,k t k t
==-，则121k k =-，则12l l ⊥， 综上，12l l ⊥， 联立直线方程1010
tx y x ty -+=⎧⎨
++=⎩，解得2211
,11t t x y t t ---+==++， 2211,11t t P t t ---+⎛⎫
∴ ⎪++⎝⎭
；
（2）由（1）知22
222
2
112111
t t t O t t P ---+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=， 1t ≤，201t ∴≤≤，则2112t ≤+≤，则22
121
t ≤
≤+， 即[]2
1,2OP ∈，则2OP ⎡∈⎣，
当21t =时，即1t =±时，OP 取得最小值为1，此时(1,0)P -或(0,1)P ， 当20t =时，即0t =时，OP 2，此时(1,1)P -.
【点睛】
关键点睛：本题考查直线位置关系的判断以及取值范围的求解，解题的关键是联立直线方程求出点P 坐标，将||OP 化成关于t 的式子2
22
1
O t P =
+即可求解. 22．(1) 切线方程为1y =和3410x y +-=;(2) 直线AB 的方程为350x ty --=，恒过定点
5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【分析】
(1) 设切线方程为()1y t k x -=+，由相切可得圆心到切线的距离等于半径，结合1t =即可求出切线的斜率，从而可求出切线方程.
(2)求出以P 为圆心，PA 为半径的圆方程，与圆M 方程联立即可求出直线AB 的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】
解：(1)由题意知，切线的斜率一定存在，设切线方程为()1y t k x -=+， 即y kx k t =++，则圆心()2,0
到直线的距离1d =
=
=，
整理得228610k kt t ++-=.当1t =时，222861860k kt t k k ++-=+=，解得0k =或
34
-， 则切线方程为1y =和3410x y +-=. (2)由题意知，()()2
2221209PM
t t =--+-=+，所以222
28PA PM MA t =-=+，
即以P 为圆心，PA 为半径的圆方程为()()2
2
218x y t t ++-=+，与圆M 方程联立得，
()()22
2
22
18(2)1x y t t x y ⎧++-=+⎪⎨-+=⎪⎩
，两式相减整理得350x ty --=，当0y =时，53x =， 所以直线AB 的方程为350x ty --=，恒过定点5
,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】 方法点睛:
直线和圆相切问题的处理方法一般有两种:一是联立直线方程和圆的方程，通过0∆=解决问题；二是结合几何意义，即圆心到直线的距离等于半径求解.
23．（1）直线与圆相交；（2
）30x +-=
或30x +=. 【分析】
（1）将圆C 的方程化为标准形式，得出圆C 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可判定直线与圆的位置关系；
（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离
公式可求得实数m 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】
解：（1）由题设知圆C ：()2
249x y +-=.所以圆C 的圆心坐标为()0,4，半径为3.
又l ：()20x m y +-=恒过()0,2M ，()2
202449+-=<
所以点M 在圆C 内，故直线必定与圆相交. （2）圆心C 到直线l
的距离记为d =
3r =
，
2
AB
= 又2
22
2AB d r ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭
，代入解得：m = 所以直线l
的方程为：30x -=
或30x +=. 【点睛】
关键点睛：利用圆心C 到直线l 的距离，在利用公式2
22
2AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，求出m ，最后求
出直线l 的方程，属于中档题
24．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=． 【分析】
（1）联立直线方程可解得结果；
（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】 （1）联立6590250x y x y --=⎧⎨
--=⎩，解得4
3
x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；
（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则000
06590
15502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩
，解得(1,3)B --， 又23145
AC k -=
=--，所以AC 边上的高所在直线的斜率1
2k =，
所以AC 边上的高所在直线方程为1
3(1)2
y x +=+，即250x y --=. 【点睛】
关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标. 25．（1）4160x y -+=或390x y +-=；（2）9461020x y -+=
【分析】
（1）设出截距式方程，由条件列出式子即可求出；
（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，求出()2,0M 关于直线l 的对称点M '，求出m 与l 的交点，即可求出直线方程. 【详解】
（1）由已知得直线不过原点，设直线方程为
1x y
a b
+=， 则可得34
1
12
a b
a b -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得416a b =-⎧⎨=⎩或93a b =⎧⎨=⎩， 则直线方程为
1416
x y
+=-或193x y +=，
整理可得4160x y -+=或390x y +-=；
（2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，
则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上，
设(),M a b '，则2
023*******
23a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩
，解得630,1313M '⎛⎫
⎪⎝⎭， 设直线m 与l 的交点为N ，则联立方程3260
2310
x y x y --=⎧⎨-+=⎩可解得()4,3N ，
则m '的方程为34
306341313
y x --=--，即9461020x y -+=. 【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：（1）点(),A a b 关于直线0Ax By C ++=的对称点
(),A m n '，则有1022n b A m a B a m b n A B C ⎧-⎛⎫
⨯-=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩
；（2）直线关于直线的对称可转化为点关
于直线的对称问题来解决.
26．（1）0x =，512360x y +-=；（2）230x y -=.
【分析】
（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求解，利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程；（2）首先求以PC 为直径的圆，然后两圆相减即是直线AB 所在直线方程. 【详解】
（1）当过点()0,3P ，斜率不存在时，直线0x =与圆相切，满足条件， 当斜率存在时，设切线方程3y kx =+，即30kx y -+=， 圆心()2,0到直线30kx y -+=
的距离2d ==，解得：512
k =-
， 切线方程：5
312
y x =-
+，即512360x y +-=， 所以切线,PA PB 的方程分别为0x =，512360x y +-=；
（2）设圆()2
224x y -+=的圆心()2,0C ，
CP 的中点 31,2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
PC =
=,半径2
r =
, 以CP 为直径的圆是()2
2
313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭，直线AB 为两圆公共弦所在直线， 两圆方程相减即是直线AB 的方程，
所以()()222
224
313124x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛
⎫-+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎩
，相减后得230x y -=. 所以直线AB 的方程是230x y -=.
【点睛】
易错点睛：涉及直线与圆相切，和直线与圆相交问题求直线方程时，容易忽略斜率不存在情况的讨论，造成丢解情况，需注意这个问题.。