高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理成长学案新人教A版选修4-1
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二 圆内接四边形的性质与判定定理
主动成长
夯基达标
1.已知四边形ABCD 是圆内接四边形,下列结论中正确的有( )
①如果∠A =∠C ,则∠A =90°②如果∠A =∠B ,则四边形ABCD 是等腰梯形 ③∠A 的外角与∠C 的外角互补④∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是1∶2∶3∶4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路解析:由“圆内接四边形的对角互补”可知:①相等且互补的两角必为直角;②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A =∠B =∠C =∠D 的特例);③互补两内角的外角也互补;④两组对角之和的份额相等(这里1+3≠2+4).因此得出①③正确,②④错误. 答案:B
2.圆内接平行四边形一定是( )
A.正方形
B.菱形
C.等腰梯形
D.矩形
思路解析:由于圆内接四边形对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形. 答案:D
3.如图2-2-6所示,AB 、CD 都是圆的弦,且AB ∥CD ,F 为圆上一点,延长FD 、AB 交于点E .求证:AE ·AC =AF ·DE .
图2-2-6
思路分析:连结BD ,则BD =AC ,即证AE ·BD =AF ·DE .
证明:连结BD ,∵AB ∥CD , ∴BD =AC .
∵A 、B 、D 、F 四点共圆, ∴∠EBD =∠F .
∵∠E 为△EBD 和△EFA 的公共角, ∴△EBD ∽△EFA .
∴
AE DE =AF BD
. ∴AE DE =AF
AC ,即AE ·AC =AF ·DE . 4.如图2-2-7所示,在△ABC 中,AB =AC ,延长CA 到P ,再延长AB 到Q ,使得AP =BQ . 求证:△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆.
图2-2-7
思路分析:要证O 、A 、P 、Q 四点共圆,只需证∠CPO =∠AQO 即可.为此,只要证△CPO ≌△AQO 即可.
证明:连结OA 、OC 、OP 、OQ.
在△OCP 和△OAQ 中,OC =OA , 由已知CA =AB ,AP =BQ, ∴CP =AQ .
又O 是△ABC 的外心, ∴∠OCP =∠OAC .
由于等腰三角形的外心在顶角平分线上, ∴∠OAC =∠OAQ ,从而∠OCP =∠OAQ . ∴△OCP ≌△OAQ . ∴∠CPO =∠AQO .
∴O 、A 、P 、Q 四点共圆.
5.如图2-2-8,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,D 是AC 中点,DE 平分∠ADB ,交AB 于E ,过A 、D 、E 的圆交BD 于N.求证:BN =2AE .
图2-2-8
思路分析:要证BN =2AE ,由已知有AB =AC =2AD ,所以只需证AE BN =2 AD
AB
.而又因为AE =NE ,所以只需证
NE BN =AD
AB
,这可由△BNE ∽△BAD 证得. 证明:连结EN ,∵四边形AEND 是圆内接四边形,
∴∠BNE =∠A .
又∵∠ABD =∠EBN,∴△BNE ∽△BAD .
∴
EN BN =AD
AB
. ∵AB =AC ,AC =2AD ,∴AB =2AD . ∴BN =2EN .
又∵∠ADE =∠NDE ,∴AE =EN , ∴AE =EN ,∴BN =2AE .
6.如图2-2-9,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,边AB 与DC 的延长线交于点E ,边AD 与BC 的延长线相交于点F ,EG 与FG 分别是∠AEC 和∠AFC 的角平分线.求证:EG ⊥FG.
图2-2-9
思路分析:注意到EG 平分∠AED,因此,要证GF ⊥GE ,只要构造等腰三角形,便可利用三线合一的性质来证.
证明:延长FG 交AB 于M,
∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠NCF =∠A.
∵∠MNE =∠NFC +∠NCF , ∴∠MNE =∠NFC +∠A . 又FG 平分∠AFB , ∴∠AFM =∠NFC . ∴∠MNE =∠A +∠AFM. 又∠NME =∠A +∠AFM ,
∴∠MNE =∠NME ,即EM =EN . 又∵GE 平分∠MEN ,∴GE ⊥MN , 即EG ⊥FG .
7.如图2-2-10,已知半圆的直径AB =6 cm,CD 是半圆上长为2 cm 的弦,AC 与BD 延长线交于P ,当弦CD 在半圆上滑动时,求证:∠P 为定值,并求出这个定角的正弦值.
图2-2-10
思路分析:要证∠P 为定值,考虑求出∠P 的三角函数值,因此,构造以∠P 为内角的直角三角形,注意到AB 为直径,则连结B C 、AD 均可得到直角三角形. 解:连结BC ,∵CD 为定长,圆直径为定值,
∴在CD 滑动过程中,CD 的度数不变, ∴∠PBC 为定值.
又AB 为直径,∴∠ACB =∠PCB =90°, ∴∠P =90°-∠PBC 为定值.
∵∠PCD =∠PBA ,∴△PCD ∽△PBA .
∴
3
1
62===BA CD PB PC . 在Rt△PBC 中,cos P =3
1
=PB PC ,
∴sin P =3
2
2)3
1(12
=
-. 8.如图2-2-11,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD =DC ,分别延长BA 、CD 交于点E ,BF ⊥EC ,交EC 的延长线于F ,若EA =AO ,BC =12.求CF 的长.
图2-2-11
思路分析:在Rt△CFB 中,已知BC =12,要求CF,只有寻找与它相似的三角形,根据四边形ABCD 内接于⊙O ,则∠BCF =∠BAD ,因此连结BD ,构造Rt△BAD ,下面证明△BAD ∽△BCF . 解:连结OD 、BD ,
∵AD = DC ,∴AD =DC .
∴∠ABC m
2
1
m m ∠AOD .
∴OD ∥BC .∴BC OD =EB
EO
.
∵EA =AO =BO ,BC =12,
∴OD =8.∴AB =16,EB =24. ∵四边形ABCD 内接于⊙O,
∴∠EDA =∠EBC .∴△EDA ∽△EBC . ∴
BC AD =EB ED =EC
EA
. 设AD =CD =x ,ED =y , 则
12x =24y
=y
x +8,解得24=x , 28=y , ∴24==DC AD .
∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB =∠F =90°. 又∠DAB =∠FCB ,∴Rt△ADB ∽Rt△CFB . ∴
CF AD =BC
AB
,即CF 24=1216,
∴23=CF .
走近高考
9.如图2-2-12所示,在半径为1的⊙O 中,引两条互相垂直的直径AE 和BF ,在EF 上取点C ,弦AC 交BF 于P ,弦CB 交AE 于Q .证明四边形APQB 的面积是1.
图2-2-12
思路分析:由已知条件可以证明四边形ABEF 是正方形,且边长为2,则正方形面积为 2.而△ABD 的面积为正方形面积的一半,所以,只需证明S 四边形APQB =S △ABD ,即证S △BPD =S △BPQ ,即证DQ ∥PB .因为BP ⊥AE ,所以,只需证DQ ⊥AE .
证明:∵AE 、BF 为互相垂直的两条直径,垂足O 为圆心,
∴AE 、BF 互相平分、垂直且相等.∴四边形ABEF 是正方形. ∴∠ACB =∠AEF =45°,即∠DCQ =∠QED .
∴D 、Q 、E 、C 四点共圆.连结CE 、DQ ,则∠DCE +∠DQE =180°. ∵AE 为⊙O 的直径,∴∠DCE =90°,∠DQE =90°. ∵∠FOE =90°,进而DQ ∥BF ,∴S △BPQ =S △BPD , ∴S △ABP +S △BPQ =S △ABP +S △BPD ,即S 四边形ABQP =S △ABD .
∵⊙O 的半径为1,∴正方形边长为2,即AB =AF =2. ∴S 四边形ABQP =S △ABD =
2
1
AB ·AF =1. 10.如图2-2-13,△ABC 的∠A 的外角平分线交△ABC 的外接圆于点D . 求证:AB +AC <2BD .
图2-2-13
思路分析:因为比较的是两条线段的和与另一条线段的大小,所以应将两条线段的和转化为一条线段,故可延长BA 到E ,使得AE =AC ,然后比较BE 与2BD 的大小关系.
证明:在BA 延长线上取点E ,使得AE =AC .连结DC 、DE 、BD .
∵AE =AC ,∠1=∠2,AD =AD , ∴△ADE ≌△ADC . ∴DE =DC.
在△BED 中,BE <BD +DE =BD +DC ,即AB +AC <BD +DC . ∵ABCD 是圆内接四边形,∴∠1=∠BCD . 又∵∠2 =∠DBC ,∠1=∠2, ∴∠BCD =∠DBC .∴BD =DC. 因此AB +AC <2BD 成立.
11.如图2-2-14,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过P作正方形的边的垂线,垂足为E、F、G、H.你能发现E、F、G、H是否在同一个圆上吗?试说明你的猜想.
图2-2-14
思路分析:根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点应当在以O为圆心的圆上,于是连结线段OE、OF、OG、OH,再设法证明这四条线段相等.
解:猜想:E、F、G、H四个点在以O为圆心的圆上.
证明:如图,连结线段OE、OF、OG、OH.在△OBE、△OBF、△OCG、△OAH中,OB =OC=OA.
∵PEBF为正方形,∴BE =BF =CG =AH,∠OBE =∠OBF =∠OCG =∠OAH.
∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.
∴OE =OF =OG =OH.
由圆的定义可知:E、F、G、H在以O为圆心的圆上.。