(北师大版)重庆市九年级数学上册第二单元《一元二次方程》检测卷(含答案解析)

一、选择题
1．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ）
A ．12x （x ﹣1）＝45
B ．12
x （x+1）＝45 C ．x （x ﹣1）＝45
D ．x （x+1）＝45 2．1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +=（ ） A ．2- B ．3-
C ．4-
D ．6- 3．关于x 的方程()11340a a x
x ++-+=是一元二次方程，则（ ） A ．1a ≠± B ．1a =- C ．1a = D ．1a =± 4．如果方程220x x --=的两个根为α，β，那么22αβαβ+-的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．2- D ．0
5．关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=无实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．m 1≥ C ．1m
D ．1m 6．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x 个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．()1132x x +=
B ．()1132x x -=
C ．1(1)1322
x ⨯+= D ．1(1)1322x x -= 7．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．()222x -= B ．()222x += C ．()222x -=- D ．()2
26x -=
8．已知a 是方程2210x x --=的一个根，则代数式224a a -+的值应在（ ） A ．4和5之间 B ．3和4之间 C ．2和3之间 D ．1和2之间 9．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只， 如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为x ，则可根据题意列出的方程是（ ）
A ．()2
2000001+728000x =
B ．()32000001+728000x =
C ．()()22000001+2000001+728000x x +=
D ．()()2200000+2000001+2000001+728000x x +=
10．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ） A ．10x -= B ．20x x += C ．210x -= D ．210x +=
11．若12,x x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于
( )
A ．2020
B ．2019
C ．2029
D ．2028
12．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（ ）
A ．2000(1)2420x +=
B ．2000(12)2420x +=
C ．22000(1)2420x -=
D ．22000(1)2420x +=
二、填空题
13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +c ＝0有一个根是2，则另一根是_____．
14．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____．
15．关于x 的一元二次方程2(3)10k x x -++=有实数根，则k 的最大整数值为________．
16．已知m 为一元二次方程x²-3x-2020=0的一个根，则代数式2m²-6m+2的值为___________
17．方程21(1)104
k x k x ---+=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 18．若x=2是一元二次方程x 2+x+c=0的一个解，则c 2=__． 19．在实数范围内分解因式:231x x -+=_______________________．
20．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，设雕像下部高为m x ，则可得到方程______．
三、解答题
21．按要求解下列方程：
用配方法解：（1）x 2﹣4x +1＝0．
用公式法解：（2）21204
x x --
=． 22．解方程∶
（1）213(1)x x -=- （2）241x x -=-
23．一面墙长为22m ，一养殖户要利用长为41m 的篱笆和这面墙圈成一个面积为216m 2的矩形养殖场，其中，养殖场不靠墙的长边上要设一道宽为1m 的门，如图所示．求这个矩形养殖场的长宽各是多少米？
24．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x 2+x ＝0的两个根是x 1＝
0，x 2＝﹣1，则方程x 2+x ＝0是“邻根方程”；
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
①x 2﹣x ﹣12＝0；
②x 2﹣9x +20＝0；
（2）已知关于x 的方程x 2+（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值． 25．已知：关于x 的方程220x kx k ++-=．
（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若6k =，请解此方程．
26．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．
【详解】
解：本次比赛共有x 个参赛棋手， 所以可列方程为：
12
x （x -1）=45． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 2．A
解析：A
【分析】
把1x =代入方程，得到a 与b 的式子，整体代入即可．
【详解】
解：把1x =代入220x ax b ++=得，
120a b ++=，
∴21a b +=-，
∴242a b +=-，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体代入思想．
3．C
解析：C
【分析】 根据一元二次方程的定义可得1a +=2，且a+1≠0，解方程即可；．
【详解】 解：由题意得1a +=2，且a+1≠0，，
解得：a=±1，
因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，
故选C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 4．A
解析：A
【分析】
将α代入方程220x x --=，即可得22αα=+，即可推出
22()22αβαβαβαβ+-=+-+，再由韦达定理即可求出结果．
【详解】
将α代入方程220x x --=得：220αα--=，即22αα=+
∴2222()22αβαβαβαβαβαβ+-=++-=+-+．
∵α、β是方程的两个根， ∴111αβ-+=-
=，221
αβ-==-． ∴()2212(2)27αβαβ+--=-⨯-+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值．熟知韦达定理公式是解答本题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m<0，然后解不等式即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程2x2x m0
-+=无实数根，
∴△=（-2）2-4m<0，
解得m>1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．B
解析：B
【分析】
利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．
【详解】
设这段线路有x个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，
x x-=．
根据题意，列方程得()1132
故选择：B．
【点睛】
本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
先把方程变形为x2-4x=-2，再把两方程两边加上4，然后把方程左边用完全平方公式表示即可．
【详解】
解：x2-4x=-2，
x2-4x+4=2，
（x-2）2=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
8．A
解析：A
【分析】
先依据一元二次方程的定义得到a
式的取值范围．
【详解】
解：∵a 是方程2210x x --=的一个根，
∴2210a a --=，即221a a -=，
∴原式=22(2)2a a -=+
∵4
59， ∴
23<<， ∴
425<+<，即224a a -+的值在4和5之间，
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据题意生产口罩月平均增长的百分率为x ，四月份生产了口罩200000只，第二季度总共生产728000只口罩，由此列出方程即可．
【详解】
解：设生产口罩月平均增长的百分率为x ，
四月份生产了口罩200000只，
∴五月份生产了口罩()2000001x +只，
∴六月份生产了口罩()2
2000001+x 只， 又在第二季度四、五、六3个月总共生产了728000只口罩， ∴列式为：()()2200000+2000001+2000001+728000x x +=．
故选：D ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用问题，属于增长率问题，根据题意列出等式是解决本题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据题意一次项系数为0且△＞0判断即可．
【详解】
解：A 、x-1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；
B 、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意；
C 、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；
D 、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a
，也考查了一元二次方程的根的判别式． 11．D
解析：D
【分析】
先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代
入原式计算即可．
【详解】
解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，
∴211420200x x --=，
即21142020x x -=，
由根与系数之间关系可知124x x +=，
∴211222x x x -+
=21112422x x x x -++
=2020+122()x x +
=2020+8
=2028．
所以选项D 正确．
故答案为：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将211222x x x -+进行等量变形，并代入求解．
12．D
解析：D
【分析】
根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．
【详解】
设每天的增长率为x ，
依题意，得：22000(1)2420x +=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】利用一元二次方程根与系数关系可直接求得另一根【详解】解：设关于x 的一元二次方程x2﹣3x+c ＝0的另一根为a 根据根与系数关系可得a+2=3解得a=1；故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方
解析：【分析】
利用一元二次方程根与系数关系可直接求得另一根．
【详解】
解：设关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +c ＝0的另一根为a ，
根据根与系数关系可得，a+2=3，
解得，a=1；
故答案为：1．
【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟知一元二次方程两根之和等于b a
-． 14．且【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0即可得出关于a 的一元一次不等式组解之即可得出结论【详解】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根∴解得：a ＜3且a≠2
解析：3a <且2a ≠
【分析】
根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴22024(2)10
a a -≠⎧⎨=--⨯>⎩， 解得：a ＜3且a≠2．
故答案为：a ＜3且a≠2
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．
15．2【分析】由方程有实数根得到根的判别式的值大于等于0求出不等式的解集得到k 的范围即可确定出k 的最大整数值【详解】∵x 的一元二次方程有实数根∴∴∵∴∴k 的最大整数值为2故答案为：2【点睛】本题考查了一 解析：2
【分析】
由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，求出不等式的解集得到k 的范围，即可确定出k 的最大整数值．
【详解】
∵x 的一元二次方程有实数根，
∴0∆≥，
∴14(3)0k ∆=--≥，134
k ≤
， ∵30k -≠，
∴3k ≠，
∴k 的最大整数值为2.
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 16．4042【分析】由题意可得m2－3m=2020进而可得2m2－6m=4040然后整体代入所求式子计算即可【详解】解：∵m 为一元二次方程x2－3x －2020=0的一个根∴m2－3m －2020=0∴m2
解析：4042
【分析】
由题意可得m 2－3m=2020，进而可得2m 2－6m=4040，然后整体代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵m 为一元二次方程x 2－3x －2020=0的一个根，
∴m 2－3m －2020=0，
∴m 2－3m=2020，
∴2m 2－6m=4040，
∴2m 2－6m+2=4040+2=4042．
故答案为：4042．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是解题的关键．
17．【分析】由方程有两个实数根可得方程为一元二次方程可得：且解不等式组可得答案【详解】解：由已知方程可知：∵方程有两个实数根∴解得：∵∴故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件一元二次方程的定 解析：1k <
【分析】
由方程有两个实数根，可得方程为一元二次方程，可得：0≥且110
k k ≠⎧⎨
-≥⎩，解不等式组可得答案．
【详解】
解：由已知方程可知：11,4a k b c =-==
， ∵方程有两个实数根，
∴24220b ac k =-=-+≥，
解得：1k ≤，
∵110k k ≠⎧⎨-≥⎩
∴1k <，
故答案为：1k <．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识列不等式组求参数的范围是解题的关键．
18．36【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程x2+x+c=0即可求得c 的值进而求得c2的值【详解】解：依题意得22+2+c=0解得c=-6则c2=（-6）2=36故答案为：36【点睛】本题
解析：36
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程x 2+x+c=0即可求得c 的值，进而求得c 2的值．
【详解】
解：依题意，得
22+2+c=0，
解得，c=-6，
则c 2=（-6）2=36．
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
19．【分析】先解方程0然后把已知的多项式写成的形式即可【详解】解：解方程0得∴故答案为：【点睛】本题考查了利用解一元二次方程分解因式掌握解答的方法是解题的关键
解析：3322x x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【分析】
先解方程231x x -+=0，然后把已知的多项式写成()()12a x x x x --的形式即可．
【详解】
解：解方程231x x -+=0，得123322
x x ==，
∴2333122x x x x ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭
．
故答案为：3322x x ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了利用解一元二次方程分解因式，掌握解答的方法是解题的关键．
20．【分析】根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比列方程整理为整式方程即可【详解】设雕像下部高为则可得到方程：整理得：故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的实际 解析：2240x x +-=
【分析】
根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，列方程
22x x x -=，整理为整式方程即可． 【详解】
设雕像下部高为m x ，则可得到方程：
22
x x x -=， 整理得：2240x x +-=，
故答案为：2240x x +-=．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 三、解答题
21．(1) x 1＝x 2＝2；(2) x 1＝
2
，x 2＝2． 【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】
解：（1）2410x x -+=，
∵x 2﹣4x ＝﹣1，
∴x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，
则x ﹣2＝
∴x
1＝x 2＝2
（2）2104
x --=， ∵a ＝1，b
，c ＝﹣
14， ∴△
2﹣4×1×（﹣
14）＝3＞0，
则x
即x 1，x 2． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和公式法解一元二次方程．
22．（1）11x =，2
2x =；（2）12x =22x =
【分析】
（1）移项后，运用因式分解法求解即可；
（2）运用配方法求解即可．
【详解】
解：（1）213(1)x x -=- (1)(1)3(1)x x x +-=-
(1)(1)3(1)0x x x +---=
(1)(13)0x x -+-=
(1)(2)0x x --=
∴10x -=或20x -=
11x ∴=，22x =；
（2）241x x -=-
24414x x -+=-+
2(x 2)3-=
2x ∴-=
12x ∴=+22x =．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
23．长宽分别是18米和12米
【分析】
设这个矩形养殖场的长为x 米，则宽为4112
x +-米，根据矩形的面积公式，即可得出关于
x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设这个矩形养殖场的长为x 米，则宽为
4112x +-米， 根据题意得，4112162
x x +-=， ()()18240,x x ∴--=
解得：x 1＝18，x 2＝24（不合题意，舍去），
故长为18米，宽为12米，
答：这个矩形养殖场的长宽分别是18米和12米．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 24．(1)②是“邻根方程”,(2) m ＝0或﹣2
【分析】
（1）解方程求得方程的根即可判断；
（2）解方程得x ＝﹣m 或x ＝1，根据题意﹣m ＝1+1或﹣m ＝1﹣1，解得m ＝0或﹣2．
【详解】
解：（1）①分解因式得：（x ﹣4）（x +3）＝0，
解得：x ＝4或x ＝﹣3，
∵4≠﹣3+1，
∴x 2﹣x ﹣12＝0不是“邻根方程”；
②分解因式得：（x ﹣4）（x ﹣5）＝0，
解得：x ＝4或x ＝5，
∵5＝4+1，
∴x 2﹣9x +20＝0是“邻根方程”；
（2）分解因式得：（x +m ）（x ﹣1）＝0，
解得：x ＝﹣m 或x ＝1，
∵方程程x 2+（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程，
∴﹣m ＝1+1或﹣m ＝1﹣1，
∴m ＝0或﹣2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法，“邻根方程”的定义，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）13x =-23x =-
【分析】
（1）根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案；
（2）通过配方法求解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
（1）∵2224(2)48(2)40k k k k k ∆=--=-+=-+>
∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当6k =时，原方程为：2640x x ++=，
∴2695x x ++=
∴()2
35x += ∴
3x =-±
∴13x =-23x =-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式性质，从而完成求解．
26．（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】
（1）根据分的判别式求解即可；
（2）根据公式法计算即可；
【详解】
解：()1根据题意得：
()2()2421240m m ∆=-=-->-，
解得3m <；
()2当1m =时，原方程为2210x x --=，
()22(41)28--∆=⨯-=，
∴22
x ±=，
解得1211x x ==；
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键．。