测试信号习题

Word-可编辑习题
(2)
)4
(
)3
(
2
)
(-
-
+
=n
u
n
u
n
x
;
一. 求下列序列的傅里叶变换：（2*5%=10%）
(1)
)
(
2
)
(n
u
a
n
x n
=
, 1
0<
<a;
千里之行，始于足下
解：
评分标准：概念确切3分， 推导及答案2分
解： (1)
)(2)(n u a n x n =，10<<a
Ω
-∞
=Ω-∞
=Ω-∞
=Ω-Ω
-=
===∑∑∑j n n
j n n
j n
n n
j j ae ae
e
a e n x e X 12
)(22)()(0
，
10<<a
(2)
)4()3(2)(--+=n u n u n x
)]4()3([)3()4()3(2)(--+++=--+=n u n u n u n u n u n x
∞→--+++=∑∑∑-=∞-=∞-∞
=|)]4()3([||)3(||)(|3
3
3
n n n n u n u n u n x
故：其傅里叶变换不存在
朽木易折，金石可镂
二. 求下列序列的离散傅里叶变换DFT：（2*5%=10%）（1）X(n)={1, j, -1, -j} ；
（2）
)
2
sin(
2
)
(
N
n
n
x
π
=
，1
0-
≤
≤N
n
千里之行，始于足下
解：
（1） x(n)={1, j, -1, -j}
k j
k j k j n kn j je
e je
e
n x n x DFT k X 2
32
3
4
21)()]([)(πππ
π---=---+===∑，
30≤≤k
011)0(=--+=j j X
41)1(2
32
=--+=---πππ
j
j j
je
e je
X
01)2(32=--+=---πππj j j je e je X
01)3(2
932
3=--+=---πππj
j j je
e je
X
（2）
)2sin(2)(N
n
n x π=，
10-≤≤N n
)(1)2sin(2)(22N
n j N
n j
e
e
j
N n n x πππ--==
)
(j 1)(1)()]([)(1
)1k (210
)1-k (21
022210
2∑∑∑∑-=+--=--=---=--=-===N n N
n
j
N n N
n
j
N n kn N
j
N
n j
N
n j
N n kn N
j
e
e e
e
e j e
n x n x DFT k X ππππππ11,0-=N k
朽木易折，金石可镂
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-==-=-==others N k jN j
N
k jN j N
k X ,01
,1,)( 评分标准：概念确切3分， 推导及答案2分
三.
若IIR 滤波器的差分方程为： (10%)
0,0)(,)
1(5.0)()2(25.0)(<=-++--=n n y n x n x n y n y 且
求系统传递函数，并按直接II 型（规范型）画出滤波器的结构图。

（评分标准：传递函数确切5分，图形框架确切3分，系数2分）
解：
对原差分方程两边同时举行Z 变换：
)(5.0)()(25.0)(12z X z z X z Y z z Y --++-= 收拾后得：
21
25.015.01)()()(--++=
=z z z X z Y z H
其极点为：5.0j ±
千里之行，始于足下
因其为因果系统，所以收敛域为：∞≤<||5.0z
得系统的传递函数为：
2
1
25.015.01)()()(--++=
=z z z X z Y z H ，
∞≤<||5.0z
系统及构图：
四. 已知线性时不变系统的单位抽样响应为
（10%）
,0, 01()0,n a n a h n others ⎧≥<<=⎨
⎩
输入系列为：
1,0()0,n N
x n others ≤≤⎧=⎨
⎩。

利用线性卷积和，直接计算系统的输出。

（评分标准：概念确切2分，推理过程5分，结果3分）
y
朽木易折，金石可镂
解：
()()()()N
k k y n x k h n k h n k +∞
=-∞
==
-=-∑∑
令：m=n-k
千里之行，始于足下
()()()()N
n N
n
k m n
m n N
y n h n k h m h m -===-=-==
∑∑∑
当：n<0, m<0, h(m)=0, 则：y(n)=0 当：0<=n<N,
(1)
100
1()()()1n n
n
n
m m n N m m a
y n h m h m a a -+-=-==-====
-∑∑∑ 当：n>=N, 11()()1N n
n
m n
m n N m n N
a
y n h m a a a --=-=--===-∑∑ 故：
(1)1
1
0,01(),011,1n N
n n a y n n N a a a n N a -+---⎧
⎪<⎪-⎪=≤<⎨-⎪⎪-≥⎪-⎩
五、 对带限模拟信号xa(t)用电子开关举行等间隔采样，得到采样信号xs(t) = xa(t)|t=nT = xa(nT)。

其中，T 为采样周期。

试推导采样信号xs(t)频谱与模拟信号xa(t)频谱之间的关系，并说明由采样信号xs(t)无失真重构xa(t)需满意的条件。

（10%）
（评分标准：概念确切3分，推理过程2分，关系2分，重构条件3分）
朽木易折，金石可镂
解：
对x a (t)的采样过程可视为用一组冲激函数对x a (t)举行调制的过程，其中调制函数
()()n M t t nT δ∞
=-∞
=
-∑
()()()()()()s a a a n x t x nT x t M t x t t nT δ+∞=-∞
===-∑
千里之行，始于足下
因为
()()n M t t nT δ∞
=-∞
=
-∑, M(t)为周期函数，可展开成傅氏级数，即
2()()jm
t T
m
n m M t t nT C
e
πδ∞
∞
=-∞
=-∞
=
-=∑∑，其中
22211()T jm t
T m T n t nT dt C e T T πδ∞--=-∞
=-=∑⎰
2211()()()()()()jm t jm t
T T a a a s a m m x t x nT t M t t t x x e x e T
T ππ∞
∞=-∞=-∞====∑∑令ωs ＝
2π / T,
1()()s jm t
a s m x t t x e T ∞
Ω=-∞
=∑ 若x a (t)的频谱为X a (j ω)，则
()()j t a a X j x t e dt +∞
-Ω-∞
Ω=⎰
若x s (t)的频谱为Xs(j ω)，则
可见，采样信号x s (t)的频谱是对模拟信号x a (t)频谱的周期延拓，延拓周期为Ωs ＝2π / T 。

若x a (t)为带限信号，其最高物理频率为f m ，对其举行采样，采样频率f s ＝1/ T 。

当满意条件f s >= 2f m 时，可由采样信号x s (t)无失真地重构x a (t)。

[][][]()1()()()()()()()11()()s s jm t j t
j t s s a a a m j m t
a a s m m X j F x t F x t M t x t M t e
dt x t e e dt
T x t e dt X j m T T ∞
∞∞
Ω-Ω-Ω-∞
-∞=-∞
∞∞∞-Ω-Ω-∞=-∞=-∞
Ω======Ω-Ω∑⎰⎰∑∑⎰
六． 试按脉冲响应不变法设计一个巴特沃斯型数字低通滤波器，满意下列指标： （20%)
1.当πω2613
.0≤时，衰减不大于0.75dB;
2.当πω4018.0>时，衰减>20dB;
决定数字滤波器系统函数H(z)。

（提醒：可设采样频率为１Ｈｚ）
解：1）用脉冲响应不变变换法，T Ω=ω，令T=1
2）采用巴特沃斯滤波器设计法： N 222)c
j j (11
|)j (H |||H ΩΩΩΩ+== 3）T 2613.0T 1πωΩ==， T
4018.0T 2πω
Ω==
由N 2)c j j (11)j (H ΩΩΩ+=
⎪⎩
⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-=+--=+-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤+--≥+-∴+-=∴28.7'N T 9132.0c '20])c j T 4018.0j (1lg[1075.0])c j T 2613.0j (1lg[1020])c
j j (1lg[1075.0])c j j (1lg[10])c
j j (1lg[10))j (H lg(20N 2N 2N 22N 21N 2πΩΩπΩπΩΩΩΩΩΩΩ 取N=8，由1+
0)c j S (2N =Ω ∴极点为16,2,,1k ,e
S']211612k [j c k =Ω=+-π ∴最低阶巴特沃斯模拟滤波器系统函数的极点为左半平面的极点： 8,2,,1k ,e S ]211612k [j c k =Ω=+-π
∴∑∏∏∏====-=-Ω=--=818188
18
1)()()()(k k k k Sk s Ak Sk s c Sk s Sk s H
∴数字滤波器的系数函数为将Sk T
e
Sk →，∑==∴8
1k 1-SkT z e
-1Ak )z (H。