高等数学第1章 函数、极限与连续PPT科技

狄利克雷函数
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
取整函数
当x>0 当x=0 当x<0
当
y
21
O 12 34 x
y 1
O
x
1
x2 , 1 x 0
3. 子列
证: 设数列 若
是数列
的任一子数列 .
则 0, N , 当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk N
xN
*********************
从而有
xnk a ,
N
由此证明
lim
k
x
n
k
a.
说 明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散 .
例如，
发散 !
lim
k
x
2k
1
内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 任一子数列收敛于同一极限
作业 P19 1, 2 (2)、(4), 4, 5
备用题
1.设
xn1
1 2
(
xn
定 义 设有数列 xn，如果对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总
存在一个正整数N，使得当n>N时，不等式 | xn a | 恒成立，则
称常数a为数列 xn 的极限，或称数列 xn 收敛 于a，记为
lim
n
xn
a
或
xn a(n ).
如果数列xn 没有极限，就说数列 xn 是发散的.
为了表达方便，引入记号“∀”表示“对于任意给定的” 或者“对于每一个”，记号“∃”表示“存在”．
I
上的x
D, 使
O f (xx)1
xM2 ,
x
则称 f ( x ) 无界.
单调减函数 .
2.奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 , 则当
f ( x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
(1) A2 , A3, , An , (2)1, 1 , 1 , , 1 ,
23 n (3)2, 4,8, , 2n ,
111 1
(4) , , , 248
, 2n ,
(5)1, 1,1, , (1)n1,
(6)2, 1 , 4 , , n (1)n1 ,
23
n
以上都是数列的例子，其一般项分别为:
在这里，为了求不规则图形的面积，我们利用了规则图形面积的 极限．这就是用“极限方法”解决实际问题的基本思想．
二、数列与整标函数
一般地，按照某种顺序排列起来的一串实数 x1，x2，…，xn，…，称为
数列，简记为 xn 或xn(n＝1,2,3，…)，其中每一个数叫做数列的项，第n项
xn叫做数列的一般项或通项．
高等数学 （第3版）上册
第1章 函数、极限与连续
目录 CONTENTS
第1节
初等函数
第2节 数列的极限
第3节 函数的极限
第4节 无穷小和无穷大
第5节 极限的运算法则 第6节 极限存在的准则及两个重要极限 第7节 无穷小的比较 第8节 函数的连续性
第1章 函数、极限与连续
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
备用讲解例题
1. 设
且
时
其中
a, b, c 为常数, 且
证明
为奇函数.
证: 令
t
1 x
,
则
x
1 t
,
a
f
(
1 t
)
b
f
(t )
ct
由
a
f
(
1 x
)
b
f
(x)
cx
消去
f
(
1 x
),
得
为奇函数 .
2. 设函数 y f (x) , x ( , ) 的图形与 x a ,
y b (a b) 均对称, 求证 y f ( x) 是周期函数.
nN
所以
n (1)n1
lim
1.
n
n
四、数列极限的性质
1. 唯一性
证: 用反证法.假设
及
且 a b.
取
因
lim
n
xn
a,
故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
从而
xn
ab 2
同理,
因
lim
n
xn
b , 故存在 N2 ,
使当 n > N2 时, 有
从而
xn
ab 2
故假取b设2不Na 真 !mxn因ax此 N收a1敛, 数Nb列22a的, 极则限当必n唯> 一N 时.3aa2,2bxbn满xnx足n的不3ba等22式ab 矛盾,
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 ,
O
x
指数函数 对数函数
y e x , x ( , )
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
2.复合函数
设有函数链 y f (u), u D1
且 Rg D1
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
为半径的开区间．通常称点a为该邻域的中心，δ称为该邻域的半径.
为了方便，称开区间(a－δ，a)为a的左δ邻域，称开区间(a，a＋δ)为a 的右 δ 邻域.
二、函数的概念
定 义 设 x 和 y 是两个变量，D是一个给定的数集．如果对于每一个 x∈D， 变量y按照一定的法则(或关系)总有唯一确定的数值与它对应，则称y是 x的函数，记为y＝f(x)．x称为自变量，y称为因变量(或函数)，数集D称 为这个函数的定义域，而因变量y的变化范围称为函数 f(x) 的值域．
四、反函数与复合函数
1.反函数
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1 为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x) , x D 的反函数记成
性质:
y f 1( x) , x f (D)
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增
(减) .
2) 函数
与其反函数
An
0
1 n
1 n2
1 n
(n 1)2 1 n2 n
1 n3
[1
22
32
(n 1)2 ]
1 6n3
n(n
1)(2n
1),
即
11 1
An.
一、数列极限的例子
台阶形面积是所分小段个数n的函数．从图形上看，台阶形面积 随n的变化而变化，当n增大时，An 也增大，但An不会超过曲边三角形 面积 A，且随着n的增大，An越来越接近于A.
例1.2.1 证明数列
证: 用反证法. 假设数列
收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
,
则存在 N ,
使当 n > N 时, 有
a
1 2
xn
a
1 2
是发散的.
但因 xn 交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
(
a
1 2
,
a
1 2
)
内,
因此该数列发散 .
2. 有界性 证: 设
则
x
1
ln
y 2
,
y(2, 2e]
2 1
1 O 1 2 x
反函数 y
定义域为
( , 1] ( 2, 2 e ]
内容小结
1. 邻域的概念 2. 函数的概念及函数的二要素
定义域 对应规律
3. 函数的特性 4. 初等函数
单调性,奇偶性, 周期性, 有界性
作业
P12 1；2 (1),(3) ; 4; 6; 8; 10 ; 11
函数的对应法是多种多样的，但一般表示一个函数主要采用解析 法、表格法和图示法，这3种方法在中学都已经比较熟悉了．在高等 数学中还常常用到分段函数，即用几个式子分段来表示一个函数．
二、函数的概念
例1.1.3
0, t a,
函数 ua (t) 1, t a (a∈R)，其定义域为(－∞，a)∪(a，＋∞)，值 域为{0,1}．此函数在电子技术中经常遇到，称为单位阶跃函数．这种用 两个以上解析式表示的函数称为分段函数．该函数的图形如下图所示．
三、数列的极限
例1.2.1
用定义证明
lim
x
1
(1)n1 n
1.
n (1)n1
1
证 | xn a |
n
1 , n
为了使 | xn a | 小于任意给定的正数ε，
只要 1 或n 1 .
n
所以，∀ε>0，取
N
1
或( N
1
),
当n>N时，就有
n (1)n1 1 1 1 .
n
u cot v , v k π (k 0, 1, 2,)
v x , x (, ) 2
可定义复合函数:
k Z
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域,
默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
k π x k π π 时 , cot x 0
2
2
2
五、初等函数
(1) 基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数、反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 ,
取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有
xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN , 1 a
则有 xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立. 例如,
数列 (1 )n1 虽有界但不收敛 .
An
,
1 n
,
2n
,
1 2n
, (1)n1,
n
(1)n1 n
.
二、数列与整标函数
在几何上，数列xn 表示数轴上的一列点x1，x2，…，xn，…，如图所示.
从函数的观点看，一个数列的通项xn可以看做某一个函数 当自变量取正整数n时的函数值，即
xn＝f(n) (n＝1,2，…)， 称为整标函数．
三、数列的极限
01
第1节
初等函数
一、邻域 二、函数的概念 三、函数的简单性质 四、反函数与复合函数 五、初等函数
一、邻域
设a，δ∈R，且δ>0，称数集 x || x a | 为点 a 的 δ 邻域，记为U(a，δ)，
即
U (a, ) x || x a |
由于 | x a | 相当于 a－δ<x<a＋δ，故U(a，δ)是以 a 为中心，δ
y
ex
ex
y sh x
O
x
y
1
y th x
O
x
1
则 f (x) f (x) f (x) f (x) f (x)
2
2
偶函数
奇函数
3.周期性
x D, l 0, 且 x l D, 若
则称 f ( x) 为周期函数 , 称 l 为周期
y
2 π π O π 2 π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) C
例. 求
y
ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域.
2 e x1, 1 x 2
y
解: 当 1 x 0 时, y x2 ( 0, 1] ,
2e
则 x y , y ( 0, 1]
当 0 x 1 时, y ln x ( , 0 ] ,
则 x ey , y(, 0]
当 1 x 2 时, y 2 e x1 ( 2 , 2 e ] ,
例如,
y f ( x) e x e x 偶函数 2
记 ch x 双曲余弦
y x O x x
y ex ex
y ch x
O
x
又如, 再如,
y f (x) ex ex 2
记
sh x 双曲正弦
奇函数
y sh x ch x
ex ex
ex ex
奇函数
记
th x
双曲正切
说明: 给定
f ( x), x (l, l)
注意: 构成复合函数的条件 Rg D1 不可少.
例如, 函数链 :
y arcsin u ,
① ②
可定义复合函数
当改 u 1 x2 时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数, 但可定义复合函数 y arcsin(1 x2 ) , x [1, 1]
两个以上函数也可构成复合函数. 例如, y u, u0