应力强度因子的计算

z12 c2

1

(1

x12 f )2
a2

z12
(1 f )2 c2
1 (1 2 f ) x12 (1 2 f ) z12 1 x12 z12 2 f ( x12 z12 )
a2
c2
a2 c2
a2 c2
2f
y2 2 fy02 2 f (1 f )2 y02 2 fy02
(a2 x2)

a
KⅠ 0
2q a dx
(a2 x2)
令 x asin a2 x2 acos dx a cosd
5

KⅠ 2q
a

sin1(a1a ) a cos d 2q
0
a cos
a

sin1(a1 a )
当整个表面受均布载荷时
KI表 KI边 KI埋 KI中
又有
KI边 K I中

(1
0.1sin 2 A 1
W
tan A
)2
W
裂纹长度 板宽度
19
当
A W
1 时，
sin 2 A 2 A
WW
KI边 1.2 1.1 KI中
KI表 1.1 KI埋
tan A A
WW

KI表
1.1KI埋
2 ) (1 E
f
)a

(1
f
) y0
原有裂纹面:
x2 a2

z2 c2
( y )2 y0
1
扩展后裂纹面:
x2 a2

z2 c2
(
y )2 y0
1
以 x x1 ，z z1 代入 原有裂纹面的边缘 y 向位移 y
15
y2 y02

1
x12 a2
)2
其中:
2(1 2 ) a
y0
E
第二类椭圆积分
12

2
[sin
2


(
a
)2
cos2

1 2
]
d
0
c
1962年,Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应
力强度因子
原裂纹面
z1 cos , x1 sin
x12 a2

z12 c2
1
c2 x12 a2 z12 a2c2
28
1.威廉氏(Williams)应力函数和应力公式
Williams应力函数

KⅠ 2q
a

sin1(a a)

q
a
3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在 x 轴上有一系列
长度为 2a ,间距为 2b 的裂纹
单个裂纹时
Z z
z2 a2
6
边界条件是周期的: z , y x
y 0, a x a, a 2b x a 2b


ac
c2 sin2 a2 cos2
13
假设:椭圆形裂纹扩展时 r f f 1
f r r c2 sin2 a2 cos2 ac
边缘上任一点 p(x, z)有
x ( r) sin (1 f ) sin (1 f )x1 z ( r) cos (1 f )z1

)
1 4
在椭圆的短轴方向上，即 ，有
2
KI KImax
--椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子
当a

c
时，


2

KI

2
a
--圆片状深埋裂纹应力强度因子
18
§2-3 半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算
一、表面浅裂纹的应力强度因子
欧文假设：
半椭圆片状表面浅裂纹 KI 与 深埋椭圆裂纹的 KI 之比等于边裂 纹平板 KI 与中心裂纹平板的 KI 值之比
2b
2b
2b 2b 2b 2b
2b
[sin ( a)]2 (sin a)2 2 cos a sin a
2b
2b
2b 2b 2b
8
Z 0
sin a
2b
2 cos a sin a
2b 2b 2b

KⅠ

lim
0
2 Z
sin a
f r c2 sin2 a2 cos2
ac

y2 2ry02 c2 sin2 a2 cos2
ac
16
设各边缘的法向平面为平面应变,有:
v KⅠ r [(2k 1) sin sin 3 ]
4G 2
2
2
k 3 4
当 时，
v

4(1 2 )
( x y )ⅠⅡ | 0 2 Re
KⅠ
2
| 0
2 Im
KⅡ
2
| 0
2 Re[
1
2
(KⅠ iKⅡ)] | 0
取复数形式的应力强度因子 K KⅠ iKⅡ
( x y )ⅠⅡ | 0 2 Re(
K
2
)
|
0
又 ( x y ) 4 Re[x(Z )]
2b
2b tan a a
1 cos a sin a
2b
2b 2b 2b
2b tan a a 2b
取 Mw
2b tan a a 2b
--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 KⅠ 的影响
若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（ 2a 1 ）可不
考虑相互作用,按单个裂纹计算.
p(x, z), p(x1, z1) 均在 y 0的平面内
c2 x2 a2 z2 (1 f )4 a2c2 a2c2
14
新的裂纹面仍为椭圆 长轴 短轴
c (1 f )c a (1 f )a
y0

2(1 2 ) a E

2(1

1.1
a
--椭圆片状表面裂纹A处的 KI 值
20
二、表面深裂纹的应力强度因子 深裂纹：引入前后二个自由表面
使裂纹尖端的弹性约束减少
裂纹容易扩展 KI 增大
KI (表面) Me K（I 埋藏）
弹性修正系数，由实验确定
一般情况下
Me M1 M 2
前自由表面的修正系数 后自由表面的修正系数
2 Z ( )
4.Ⅲ型周期性裂纹:
KIII
a
2b tan a a 2b
11
§2-2
深埋裂纹的应力强度因子的计算
1950年,格林和斯内登分析了弹 性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的 应力和应变得到椭圆表面上任意点,
沿 y 方向的张开位移为y源自y0 (1x2 a2

z2 c2
1
2b 2b
2b

sin ( a) sin cos a cos sin a
2b
2b 2b
2b 2b
cos a sin a
2b 2b
2b
[sin ( a)]2 ( )2 cos2 a 2 cos a sin a (sin a)2
21
1.巴里斯和薛
a c 0 时， 接近于单边切口试样 M1 1.12
a c
1
时，
接近于半圆形的表面裂纹
M1 1
利用线性内插法
M1

1
0.12(1

a c
)
利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数
M2

(2B
a
tan

a
)
1 2
2B
裂纹深度 板厚
浅裂纹不考后自由表面的影响
22
2. 柯巴亚希.沙.莫斯
2b
2b
ZII ( )
sin ( a)
2b
[sin ( a)]2 (sin a )2
2b
2b
10

KⅡ

lim
0
2 ZII ( )
a
2b tan a a 2b
3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅢ

lim
0
利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿 透裂纹问题.
27
二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算
实际情况应看成有限宽板计算.必须考虑自由边界对 裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解. 通过近似的简化或数值计算方法.
方法:边界配置法,有限单元法等. 边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足 双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而 是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函 数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定 K 值. 边界配置法:只限于讨论直边界问题.

( x y )I ||0 2 Re ZI ||0 2 Re
KI
2 ||0
Ⅱ型：
x

2 Im ZII

y
Re
Z
' II
y y Re ZI'I
( x y )Ⅱ | 0 2 Im ZⅡ | 0 2 Im
KⅡ
2
| 0
25
Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹在裂纹前端处的不变量
2 ZⅠ 计算 K 的基本公式
1.在“无限大”平板中具有长度为 2a 的穿透板厚的裂
纹表面上,距离 x b 处各作用一对集中力P
x Re ZⅠ y Im ZⅠ
y Re ZⅠ y Im ZⅠ
xy y Re ZⅠ
选取复变解析函数：
2Pz a2 b2 Z
(z2 b2) z2 a2
3
以新坐标表示
边界条件：
z ,x y xy 0
z a, 除去 z b 处裂纹自由 表面上 y 0, xy 0 如切出 xy 坐标系内的第一象限的
薄平板，在 x 轴所在截面上内力
总和为P
Z 2P( a) a2 b2
K lim 2 2 x(Z ) 0
26
若采用
Z a K 2 2 lim z ax(z) za
选择 x(z) 满足具体问题的应力边界条件
f F1(Z ) F1(Z ) ZF4 (Z ) ZF4 (Z )
---复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式 或复变应力函数为普遍形式
2b 5
9
二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算
1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅡ

lim
0
Z II
(
)
2
2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.
ZII (z)
sin z
2b
(sin z )2 (sin a )2
y 0, xy 0
sin z

Z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
7
采用新坐标: z a
sin ( a)

Z
2b
(sin ( a))2 (sin a )2
2b
2b
当 0 时，sin , cos 1
第二章 应力强度因子的计算
1
计算 K 值的几种方法
1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.
2
§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算
一.无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算
KⅠ

lim
0
M1

1
0.12(1
a )2 2c
M2

(2B
a
tan

a
)
1 2
2B
表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）
KI

Me
a
23
§2-4 其他问题应力强度因子的计算 一、Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算
复变数： z x iy z x iy
取复变解析函数：x(z) p iq (z) p1 iq1

[( a)2 b2 ] ( 2a)
KⅠ

lim
0
2 Z ( )
2P a
(a2 b2)
4
2.在无限大平板中,具有长度为 2a 的穿透板厚的裂纹表 面上,在距离 x a1 的范围内受均布载荷q作用
利用叠加原理
集中力 qdx dKⅠ
2q a dx
E
KⅠ
r
2

2ry02 ac
c2
sin2
a2
cos2

16(1 2 )2
E2
K
2 I
r
2

K
2 I

1 4
E
( 1


2
)2

ac
y02
c2 sin2 a2 cos2
17
y0

2(1 2 ) a E

KI

(
a
)
1 2
(c2
sin
2

c

a2
cos2
取应力函数 2 (z) (z) z x(z) zx(z) 或 Re[ (z) zx(z)]
满足双调和方程
24
分析第一应力不变量
x
y

2
x2

2
y 2

4 Re[x' (z)]
对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹
Ⅰ型：
x

Re ZI

y Im
Z
' I
y Re ZI y Im ZI'