教学设计2：2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4.1 抛物线及其标准方程
教学内容抛物线及其标准方程
三维目标
【知识与技能】
1．理解抛物线的定义。

明确焦点、准线的概念
2．掌握抛物线的方程及标准方程的推导
3．熟练掌握抛物线的四个标准方程。

【过程与方法】
通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】
通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。

教学重点抛物线的定义和标准方程，四种抛物线标准方程的应用，理解坐标法的基本思想. 教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用．
教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。

教学过程复习
引入
一．引入新课
【师】前面我们已经探究过，椭圆和双曲线都可以叙述为“平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l（F不在l上）的距离的比是常数e（0
>
e）的动点的轨迹”。

其中当()1,0
∈
e时是椭圆，当()
+∞
∈,1
e时是双曲线。

那么，当1
=
e时，动点的轨迹是什么？它的方程如何呢？点题，板书课题。

新
课
学
习
二．新课讲解
1．实验观察、实现构建
探究1 点F与直线l的位置关系
（1）点F在直线l上
（引导学生求出动点的轨迹）
点F的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线。

（2）点F不在直线l上
用《几何画板》演示，观察点M的轨迹。

2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点M的轨迹是一条什么曲线吗？
F
l
F
H
M
l
· o
F y x l
K (学生会猜想到轨迹是抛物线)
3.如果曲线是抛物线，只要适当建立平面直角坐标系，就可以得到形如c bx ax y ++=2
()0≠a 的轨迹方程，是否真是这样呢？
（在学生思考的基础上引导学生先求出点M 的轨迹方程。

）
4.如何建立坐标系求点M 的轨迹方程？
（师生探讨建立不同方案，以下面方案为例进行推导）
解：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立平面直角坐标系。

令()
0>=p p KF 则⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p F ，直线l ：2p y -=，设动点()y x M ,，点M 到直线l 的距离为d ，则
d MF = 即222
2p y p y x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+化简得()022>=p py x 注意到方程可化为：()0212>=p x p
y ，与我们初中所学的二次函数的解析式形式一致。

可见点M 的轨迹是顶点为(),00，开口向上的抛物线。

可见平面内到一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F 和一条直线l （F 不在l 上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。

点F 叫做焦点．．，l 叫做准线。

．．．
类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线方程的另外三种形式px y 22=，px y 22-=，py x 22-=()0>p ．这四种方程都叫做抛物线的标准方程．
标准方程 px y 22= px y 22-= py x 22= py
x 22-=图形
焦点坐标
⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p 准线方程 2p x -= 2p x = 2p y -= 2
p
y =
开口方向 向 右 向 左 向 上
向 下
说明：四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
三．练习领会
师生共同解答下列各例：
【例1】求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为()0,3F ； （2）准线为41-=y ； （3）过点()1,3-P ； （4）焦点到原点的距离为2；（5）焦点是双曲线14491222=-y x 的左顶点；
（6）焦点在直线012=+-y x 上。

分析：先依已知条件确定标准方程是下面中哪一个，然后定P 值即可。

px y 22= px y 22-= py x 22= py x 22-=
解析：（1）由已知焦点在x 轴上，开口向右，6=p ，所以抛物线的标准方程为x y 122=；
（2）由已知焦点在y 轴上，开口向上，2
1=
p ，所以抛物线的标准方程为y x =2； （3）由已知焦点可能在y 轴上，开口向下，或焦点可能在x 轴上，开口向右， 所以可设抛物线的标准方程为px y 22=（0>p ）或()022>-=p px x ， 再因为过点()1,3-P ，所以61=
p 或29=p ，所以抛物线的标准方程为x y 3
12=或y x 92-=； （4）由已知4=p ，抛物线可以是下列任何一个
px y 22= px y 22-= py x 22= py x 22-= 所以抛物线的标准方程为：x y 82±=或y x 82±=；
（5）双曲线14491222=-y x 的左顶点为()
0,32- 所以抛物线焦点在x 轴上，开口向左，34=p ， 抛物线x y 382-=。

（6）因为求抛物线的标准方程，且焦点在直线012=+-y x 上，所以焦点为直线012=+-y x 和x 轴或y 轴的交点，分别为()0,1-，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0， 所以y x 22=
满足抛物线的方程，再结合16=⋅→→OA FA 可以确定p 值。

解析:（1）设抛物线的方程为()022>-=p px y ，则
∵532
=+=
p MF ，∴4=p ， 所以抛物线的方程为x y 82-= ∴242=m ，62±=m ；
（2）由已知条件知抛物线为()022>=p px y ，所以⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2p F ，不妨设()n A ,2，则
∵⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=→n p FA ,22，()n OA ,2=→，且16=⋅→→OA FA ∴162222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n p ， 又p n 42=，解之有4=p
抛物线的标准方程为x y 82=。

【例5】已知抛物线x y 42=，P 是抛物线上一点。

（1）设F 是焦点，一个定点为()3,6A ，求PF PA +的最小值，并指出此时点P 的坐标；
（2）设点()0,m M （R m ∈），求|PM |的最小值，并指出此时点P 的坐标；
分析：（1）一般我们用原理：三角形两边之和不小于第三边，即AF PF PA ≥+，当且仅当点P 在线段AF 上时求PF PA +的最小值AF ；但定点()3,6A 在抛物线x y 42=含焦点F 部分，点P 在抛物线上，所以点P 不会再在线段AF 上，所以需要利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点和到准线的距离相等作一个转化，从而实现上面的想法。

（2）已知抛物线x y 42=，P 是抛物线上一点，所以其坐标()00,y x 满足抛物线的方程：0204x y =，而()0,m M （R m ∈），求|PM |的最小值不妨直接用两点间距离直接表示|PM |，从而转化为函数的最值问题。

解析：（1）做PN 垂直于准线，其中N 为垂足，则|PF |=|PN |， 所以|PA |+|PF |=|PA |+|PN |，可知，当AP 垂直准线时三点A ，P ，
N 共线，|PA |+|PF |=|PA |+|PN |取小值为7，此时⎪⎭
⎫ ⎝⎛3,49P （2）设()00,y x P ，因为()0,m M （R m ∈），
1615-。

8．过点()2,0-P 的双曲线C 的一个焦点与抛物线y x 162-=的焦点相同，
则双曲线C 的标准方程为112
42
2=-x y 。

9．已知双曲线的顶点坐标为()1,0±，离心率为2，又抛物线()022>=p py x 的焦点与双曲线的一个焦点重合，则=p 4。

抛物线的定义中p 的重要作用和意义。