线性代数及群论基础

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第二个线性变换中旧变量的个数,那么连续实行这
两个线性变换的结果(简称两个线性变换的乘积)
还是一个线性变换。如果用C=(Ckj)pxn代表线性 变换(2)与(4)的乘积变换的矩阵,
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那么C元素Ckj就是在Zk的表示式(5)中xi的
系数: Ckj = ∑bkiaij=bk1a1j+bk2a2j+......+bkmamj (k=1,2…,p;j=1,2...,n) 换句话说,矩阵c中位于第K行第j列的元素Ckj等 于矩阵B中第K行元素与矩阵A中第j列的对应元 素的乘积之和。
我们可以给 (21) 或 (21’)以几何解释:线性变换
2)把n维向量x变为m维向量y 同理,我们可以把线性变换(4)写成 z = By (41) 其中B是变换(4)的矩阵,而z是由z1 , z2 … , zp所组成的p行单列矩阵,或p维列向 量。连续施行线性变换(2)与(4)的结 果——变换(21’)与(41)的乘积是以BA
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所以
4 1 C=BA= 1 0 2 1 = 3 -1 0 2 0
-1 1 3
2 0 1 3 1 4
9 -2 -1
9 9 11
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定义3:两个矩阵
B =(bkj)pxm,A =(akj)mxn的乘积是指矩阵
C =(ckj)pxn
其中位于第k行第j列的元素Ckj等于矩阵B的第k 行元素与矩阵A的第j列的对应元素乘积之和,
A = 1 2 3 4 是一个二级矩阵,
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而行列式
1 3 2 4
之值等于-2,可以说矩阵A的行列式为-2,记作∣A∣=-2.
线性变换和它的矩阵是密切关联着的。它们之间存在一
一对应的关系。有线性变换(2)的系数唯一的确定一个m
行n列的矩阵A,反之,给定了一个m行n列的矩阵A,就有
唯一的一个以A为它的矩阵的线性变换(2)。
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把线性变换(2)的系数aij按原有的相对位置 排成一个表就得一个m行n列的矩阵,称为线性变 换(2)的矩阵。
a11 a12 …… a1n a21 a22 …… a2n ........ am1 am2 …… amn
(3)
6
定义2
mn个数所排成的m行n列的表(3)称为一个m行n列
的矩阵(简称m×n型矩阵),横的各排称为矩阵(3) 的行,而纵的排列称为矩阵(3)的列。Aij称为矩阵

=
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n am1 am2 … amn …
x1 x2 x
n
(21)

或简写为:y =Ax
(21’)
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其中A是变换(2)的矩阵,而
x =
x1 x2 xn

,
y=
y1 y2 ym

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依次是n行的单列矩阵(也叫做n维列向量)和m 行的单列矩阵(也叫做m维列向量)。
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二.矩阵的乘法
当在线性变换(2)之后施行线性变换即连 续施行两个线性变换:
Z1=b11y1+b12y2+……+b1mym Z2=b21y1+b22y2+……+b2mym …………… (4)
Zp=bp1y1+bp2y2+……+bpmym
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m

ZK= ∑bkiyi
i=1
(k=1, 2…, p)
(4’)
4
X
2.线性变换定义
定义1 : 把新变量Y 1,Y2…Ym用旧变量 X 1,X2…Xn齐次线性表出的代换:
Y1=a11x1+a12x2+……+a1nxn Y2=a21x1+a22x2+……+a2nxn …… Ym=am1x1+am2x2+……+amnxn (2)
称为把变量X 1,X2…Xn换位新变量Y 1,Y2…Ym的线性变 换,其中aij(i =1,2…m; j = 1,2…n)是数。
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为其矩阵的线性变换 z=(BA)x 这样,我们用矩阵等式表示法重新证明了线 性变换的性质。
结论:线性变换可以用矩形等式表示,连续施行 线性变换可以用矩阵乘积表示
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§4.2. 群论基础
一 . 对称操作 1. 对称性、对称操作和对称元素 对称性:经过一种操作不改变其中任何两点间的 距离,而能够复原的性质。 对称操作:使物体作一种运动,完成这种运动之 后,物体的每一点与物体原始取向时的等价点(或 可能是同样的点)相重合。 对称元素:执行对称操作时所依赖的几何要 素
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例1.求矩阵
4 1 B= 0 3 -1 2 与 A= -1 2 1 0 1 1 0 3
2
1
0
3
1
4
的乘积BA。
14
解:因为矩阵B是二行四列的,矩阵A是四 行三列的,所以乘积BA有意义,它是二行 三列的矩阵。其乘积:BA=C=(cij)2×3的 元素,据公式(6)有:
C11=b11a11+b12a21+b13a31+b14a41 =1x4+0x(-1)+3x2+(-1)x1=9
(3)的第i行第j列的元素,或矩阵(3)的(ij)元素。
通常用A代表矩阵(3),也可以把矩阵(3)记 作(aij)或(aij)m×n 或 A m×n ,特别如果 m = n, 则称(3)为n级方阵或n级矩阵。
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必须指出
从矩阵与行列式的记号外表来看,它们是很 类似的,但它们是两个完全不同的概念。一般 的说行列式是一个数量,只是为了方便,才把 它写成正方阵列外加两条垂直线的形状,至于 阵列,一般的说,它既不是数也不是一个函数, 而是有某些元素所排成的矩形阵列本身。 例如:
C3V NH3 σ3 v
C3 σ1 v =σ3 v σ1 v C3 =σ2 v σ1 v
H1
H3
H2
σ2 v
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C3v E C31 C32 σv 1 σv 2
E C31 E
C3 2 σv1 σ v
3. 单位元素E存在:E∈G , A∈G EA=AE=A
4. 有逆元素存在:A∈G , 则有A-1 ∈G , AA-1=E
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满足以上四条性质的元素集合称为群, 记为:G≡{E,A,B,C…} 如:NH3分子 C3v {E , C31 , C32, σv(1) , σv(2) ,σv(3) }
45
19
例1.
0 -3 1
2 1 5 3
8
= 14 -16
-2
2
-4 0 -2
20
例2.求出连续施行线性变换
Y1 = -x1+3x2 Y2 = -2x1+ x2+ x3 Y3 = 3x1 - 2x3 Y4 = 4x1+ x2+ 2x3 与
Z1 = 5y1 - y2 + 3y3 + y4 Z2 = 2y1 - y3 + 4y4
40
当Ф确定时,上述变换矩阵有具体值, 如:
41
42
由此可知,一个转动操作可用矩阵表示, (x,y,z)为基.
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二.群的定义
若干个固定元素的全体,在数学上称为集合, 用符号G {a, b, …}表示。若集合具有下面四条性质 时,则称G构成一个群。 1. 封闭性:A∈G , B∈G 则 AB=C∈G 2. 可结合性:A(BC)=(AB)C , AB=BA
2
线性代数主要内容:
1、行列式 2、矩阵(本课介绍) 3、向量组的相关性、矩阵的秩 4、线性方程组 5、相似矩阵与二次型
3
1.线性变换和线性变换的矩阵
在解析几何中,如图1把向量OP=(x,y)变为另一个向量 OP’=(x’,y’)或把点P (x,y)变为另一个点P’ (x’,y’),即在 平面上绕原点O做角度α的旋转变换,此时新变量(x’,y’)与 旧变量的关系为: P’ (x’,y’) X’=X cos a + Y sin a Y α P (x,y) (1) Y’=-X sin a+ Y cos a 这种把新变量经由旧变量线性表出, 变量的这种代换通常称为线性变换。 O Z 图1
z
P'(x', y ' ,z ' ) P(x,y,z) ρ
θ γ O o φ
y
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x
用矩阵表示:
x′ y′ z′
=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x y z
31
恒等操作E :
x′ y′ z′
=
1 0 0பைடு நூலகம்
0 1 0
0 0 1
x y z
32
σ(XY) :
33
σ(XZ) :
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常见的对称操作和对称元素有:
旋转 反映 反演 恒等操作 旋转反映 旋转轴 (真轴) 对称面 对称中心 恒等元素 旋转反映轴 (非真轴) Cn σ(σh σv σd ) i E Sn
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2. 对称操作的矩阵表示 OP(x,y,z) OP′ (x′,y′,z′)
x′= a11x + a12y + a13z y′= a11x + a12y + a13z z′= a11x + a12y + a13z
的结果
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解:把它们的矩阵相乘,得到:
-1
5 -1 2 0 3 -1 1 4 -2 3 4
3
1 0 1
0
1 -2 2
=
10 11
15 10
-5 10
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因此所求线性变换为
Z1=10x1+15x2-5x3 Z2=11x1+10x2+10x3
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三、矩阵等式
把矩阵乘法的定义3推广到元素含有变量的矩 阵上去。这样,我们就可以把线性变换(2)写成 一个矩阵等式: y1 y2 ym
§1.4.4、线性代数及群论基础
§4.1. 线性代数基础选讲 §4.2. 群论基础 §4.3. 群论应用举例
1
§4.1. 线性代数基础选讲
什么是线性代数?
线性( linear ),指量与量之间按比例、成 直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为 常数的函数;非线性 non-linear 则指不按比例、 不成直线的关系,一阶导数不为常数。 线性代数( Linear Algebra )是讨论矩阵理 论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变 换理论的一门学科。它的研究对象是向量,向 量空间(或称线性空间),线性变换和有限维 的线性方程组。
它的对应矩阵是
b11 b12 … b1m b21 b22 … b2m ……………… bp1 bp2 ……bpm
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B=
把(2)中Y 1,Y2…Ym的表示式代入(4’)得到
m n n m
Zk=∑bki (∑ aijxj)= ∑(∑ bkiaij)xj
i=1 j=1 j=1 i=1
(5)
因此,如果第一个线性变换中新变量的个数等于
= sinФ′x + cosФ′y z′= z
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用矩阵表示为:
x′ y′ z′
=
cosФ′ -sinФ′ sinФ′ cosФ′
0 0 1
0
0
x y z
由此可知,一个转动操作可用一个三维矩阵表示, (x,y,z)为基
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化学上常常以原子轨道作为基
在分子、原子结构中, x,y,z 可视为px,py,pz轨道 xy, xz, yz 视为dxy, dxz, dyz轨道; x2-y2 视为dx2-y2轨道; z2 视为dz2轨道; 在四面体场中,x2+y2+z2 s轨道, 在平面三角形(△3h) , x2+y2 s轨道
即Ckj有(6)式决定。矩阵B与矩阵A的乘积A的
乘积记作C=BA。
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注意:
两个矩阵的乘积BA,只有在矩阵B的列数等于矩阵A
的行数时才有意义 根据上面的讨论,线性变换与矩阵的乘法之间有下面
的关系:
设矩阵为A的线性变换中新变量的个数等于矩阵为B的线 性变换中旧变量的个数,也就是说,矩阵B的列数等于矩 阵A的行数,则连续施行这两个线性变换的结果是以BA为 矩阵的 线性变换。
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C12=b11a12+b12a22+b13a32+b14a42 =1x1+0x1+3x0+(-1)x3 =-2 C13=b11a13+b12a23+b13a33+b14a43 =1x0+0x3+3x1+(-1)x4=-1 C21=...............................=9 C22=...............................=9 C23=...............................=11
x = ρcosФ y = ρsinФ z = γcosθ
z
P'(x', y ' ,z ' ) P(x,y,z) ρ
θ γ O o φ
y
x
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当op转动Ф′角
x′= ρ cos(Ф′+Ф) = ρ (cosФ′cosФ-sinФ′ sinФ) = cosФ′x- sinФ′ y
y′= ρ sin(Ф′+Ф) = ρ(sinФ′cosФ + cosФ′ sinФ)
x′ y′ z′
=
1 0 0 -1 0 0
0 0 1
x y z
=
x -y z
34
同理可得 i: -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1
i
由此可知,一个反映操作可用一个三维矩阵表示, (x,y,z)为基
35
36
旋转操作Cz(Ф)
Cz(Ф)表示op绕z轴转动一个角度,此时γ,θ 不变, Ф改变。由图可知, p点可由如下球坐标表示:
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