线性代数及群论基础

第二个线性变换中旧变量的个数，那么连续实行这
两个线性变换的结果（简称两个线性变换的乘积）
还是一个线性变换。如果用C=（Ckj）pxn代表线性 变换（2）与（4）的乘积变换的矩阵，
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那么C元素Ckj就是在Zk的表示式（5）中xi的
系数： Ckj = ∑bkiaij=bk1a1j+bk2a2j+......+bkmamj (k=1，2…，p；j=1,2...，n) 换句话说，矩阵c中位于第K行第j列的元素Ckj等 于矩阵B中第K行元素与矩阵A中第j列的对应元 素的乘积之和。
我们可以给 (21) 或 (21’)以几何解释：线性变换
2）把n维向量x变为m维向量y 同理，我们可以把线性变换（4）写成 z = By (41) 其中B是变换（4）的矩阵，而z是由z1 , z2 … , zp所组成的p行单列矩阵，或p维列向 量。连续施行线性变换（2）与（4）的结 果——变换（21’）与（41）的乘积是以BA
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所以
4 1 C=BA= 1 0 2 1 = 3 -1 0 2 0
-1 1 3
2 0 1 3 1 4
9 -2 -1
9 9 11
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定义3：两个矩阵
B =（bkj）pxm，A =（akj）mxn的乘积是指矩阵
C =（ckj）pxn
其中位于第k行第j列的元素Ckj等于矩阵B的第k 行元素与矩阵A的第j列的对应元素乘积之和，
A = 1 2 3 4 是一个二级矩阵，
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而行列式
1 3 2 4
之值等于-2，可以说矩阵A的行列式为-2，记作∣A∣=-2.
线性变换和它的矩阵是密切关联着的。它们之间存在一
一对应的关系。有线性变换（2）的系数唯一的确定一个m
行n列的矩阵A，反之，给定了一个m行n列的矩阵A，就有
唯一的一个以A为它的矩阵的线性变换（2）。
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把线性变换（2）的系数aij按原有的相对位置 排成一个表就得一个m行n列的矩阵，称为线性变 换（2）的矩阵。
a11 a12 …… a1n a21 a22 …… a2n ........ am1 am2 …… amn
(3)
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定义2
mn个数所排成的m行n列的表（3）称为一个m行n列
的矩阵（简称m×n型矩阵），横的各排称为矩阵（3） 的行，而纵的排列称为矩阵（3）的列。Aij称为矩阵
…
=
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n am1 am2 … amn …
x1 x2 x
n
(21)
…
或简写为：y =Ax
(21’)
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其中A是变换（2）的矩阵，而
x =
x1 x2 xn
…
,
y=
y1 y2 ym
…
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依次是n行的单列矩阵（也叫做n维列向量）和m 行的单列矩阵（也叫做m维列向量）。
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二.矩阵的乘法
当在线性变换（2）之后施行线性变换即连 续施行两个线性变换：
Z1=b11y1+b12y2+……+b1mym Z2=b21y1+b22y2+……+b2mym …………… （4）
Zp=bp1y1+bp2y2+……+bpmym
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m
或
ZK= ∑bkiyi
i=1
(k=1, 2…, p)
(4’)
4
X
2.线性变换定义
定义1 : 把新变量Y 1，Y2…Ym用旧变量 X 1，X2…Xn齐次线性表出的代换:
Y1=a11x1+a12x2+……+a1nxn Y2=a21x1+a22x2+……+a2nxn …… Ym=am1x1+am2x2+……+amnxn (2)
称为把变量X 1，X2…Xn换位新变量Y 1，Y2…Ym的线性变 换，其中aij（i =1,2…m; j = 1,2…n)是数。
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为其矩阵的线性变换 z=(BA)x 这样，我们用矩阵等式表示法重新证明了线 性变换的性质。
结论：线性变换可以用矩形等式表示，连续施行 线性变换可以用矩阵乘积表示
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§4.2. 群论基础
一 . 对称操作 1. 对称性、对称操作和对称元素 对称性：经过一种操作不改变其中任何两点间的 距离，而能够复原的性质。 对称操作：使物体作一种运动，完成这种运动之 后，物体的每一点与物体原始取向时的等价点（或 可能是同样的点）相重合。 对称元素：执行对称操作时所依赖的几何要 素
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例1.求矩阵
4 1 B= 0 3 -1 2 与 A= -1 2 1 0 1 1 0 3
2
1
0
3
1
4
的乘积BA。
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解：因为矩阵B是二行四列的，矩阵A是四 行三列的，所以乘积BA有意义，它是二行 三列的矩阵。其乘积：BA=C=（cij）2×3的 元素，据公式（6）有：
C11=b11a11+b12a21+b13a31+b14a41 =1x4+0x(-1)+3x2+(-1)x1=9
（3）的第i行第j列的元素，或矩阵（3）的（ij）元素。
通常用A代表矩阵（3），也可以把矩阵（3）记 作（aij）或（aij）m×n 或 A m×n ，特别如果 m = n， 则称（3）为n级方阵或n级矩阵。
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必须指出
从矩阵与行列式的记号外表来看，它们是很 类似的，但它们是两个完全不同的概念。一般 的说行列式是一个数量，只是为了方便，才把 它写成正方阵列外加两条垂直线的形状，至于 阵列，一般的说，它既不是数也不是一个函数， 而是有某些元素所排成的矩形阵列本身。 例如：
C3V NH3 σ3 v
C3 σ1 v =σ3 v σ1 v C3 =σ2 v σ1 v
H1
H3
H2
σ2 v
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C3v E C31 C32 σv 1 σv 2
E C31 E
C3 2 σv1 σ v
3. 单位元素E存在：E∈G , A∈G EA=AE=A
4. 有逆元素存在：A∈G , 则有A-1 ∈G , AA-1=E
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满足以上四条性质的元素集合称为群， 记为：G≡{E,A,B,C…} 如:NH3分子 C3v {E , C31 , C32, σv(1) , σv(2) ,σv(3) }
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19
例1.
0 -3 1
2 1 5 3
8
= 14 -16
-2
2
-4 0 -2
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例2.求出连续施行线性变换
Y1 = -x1+3x2 Y2 = -2x1+ x2+ x3 Y3 = 3x1 - 2x3 Y4 = 4x1+ x2+ 2x3 与
Z1 = 5y1 - y2 + 3y3 + y4 Z2 = 2y1 - y3 + 4y4
40
当Ф确定时，上述变换矩阵有具体值, 如：
41
42
由此可知，一个转动操作可用矩阵表示， (x,y,z)为基.
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二.群的定义
若干个固定元素的全体，在数学上称为集合， 用符号G {a, b, …}表示。若集合具有下面四条性质 时，则称G构成一个群。 1. 封闭性：A∈G , B∈G 则 AB=C∈G 2. 可结合性：A(BC)=(AB)C , AB=BA
2
线性代数主要内容：
１、行列式 ２、矩阵（本课介绍） ３、向量组的相关性、矩阵的秩 ４、线性方程组 ５、相似矩阵与二次型
3
1.线性变换和线性变换的矩阵
在解析几何中，如图1把向量OP=(x，y)变为另一个向量 OP’=(x’，y’)或把点P (x，y)变为另一个点P’ (x’，y’)，即在 平面上绕原点O做角度α的旋转变换，此时新变量(x’，y’)与 旧变量的关系为： P’ (x’，y’) X’=X cos a + Y sin a Y α P (x，y) (1) Y’=-X sin a+ Y cos a 这种把新变量经由旧变量线性表出， 变量的这种代换通常称为线性变换。 O Z 图1
z
P'（x'， y ' ，z ' ） P（x，y，z） ρ
θ γ O o φ
y
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x
用矩阵表示：
x′ y′ z′
=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x y z
31
恒等操作E ：
x′ y′ z′
=
1 0 0பைடு நூலகம்
0 1 0
0 0 1
x y z
32
σ(XY) :
33
σ(XZ) :
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常见的对称操作和对称元素有：
旋转 反映 反演 恒等操作 旋转反映 旋转轴 (真轴) 对称面 对称中心 恒等元素 旋转反映轴 （非真轴） Cn σ(σh σv σd ) i E Sn
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2. 对称操作的矩阵表示 OP(x,y,z) OP′ (x′,y′,z′)
x′= a11x + a12y + a13z y′= a11x + a12y + a13z z′= a11x + a12y + a13z
的结果
21
解：把它们的矩阵相乘，得到：
-1
5 -1 2 0 3 -1 1 4 -2 3 4
3
1 0 1
0
1 -2 2
=
10 11
15 10
-5 10
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因此所求线性变换为
Z1=10x1+15x2-5x3 Z2=11x1+10x2+10x3
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三、矩阵等式
把矩阵乘法的定义3推广到元素含有变量的矩 阵上去。这样，我们就可以把线性变换（2）写成 一个矩阵等式： y1 y2 ym
§1.4.4、线性代数及群论基础
§4.1. 线性代数基础选讲 §4.2. 群论基础 §4.3. 群论应用举例
1
§4.1. 线性代数基础选讲
什么是线性代数？
线性（ linear ），指量与量之间按比例、成 直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为 常数的函数；非线性 non-linear 则指不按比例、 不成直线的关系，一阶导数不为常数。 线性代数（ Linear Algebra ）是讨论矩阵理 论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变 换理论的一门学科。它的研究对象是向量，向 量空间（或称线性空间），线性变换和有限维 的线性方程组。
它的对应矩阵是
b11 b12 … b1m b21 b22 … b2m ……………… bp1 bp2 ……bpm
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B=
把（2）中Y 1，Y2…Ym的表示式代入（4’）得到
m n n m
Zk=∑bki (∑ aijxj)= ∑(∑ bkiaij)xj
i=1 j=1 j=1 i=1
(5)
因此，如果第一个线性变换中新变量的个数等于
= sinФ′x ＋ cosФ′y z′= z
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用矩阵表示为：
x′ y′ z′
=
cosФ′ -sinФ′ sinФ′ cosФ′
0 0 1
0
0
x y z
由此可知，一个转动操作可用一个三维矩阵表示， (x,y,z)为基
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化学上常常以原子轨道作为基
在分子、原子结构中， x，y，z 可视为px，py，pz轨道 xy, xz, yz 视为dxy, dxz, dyz轨道; x2-y2 视为dx2-y2轨道; z2 视为dz2轨道; 在四面体场中，x2+y2+z2 s轨道， 在平面三角形(△3h) , x2+y2 s轨道
即Ckj有（6）式决定。矩阵B与矩阵A的乘积A的
乘积记作C=BA。
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注意：
两个矩阵的乘积BA，只有在矩阵B的列数等于矩阵A
的行数时才有意义 根据上面的讨论，线性变换与矩阵的乘法之间有下面
的关系：
设矩阵为A的线性变换中新变量的个数等于矩阵为B的线 性变换中旧变量的个数，也就是说，矩阵B的列数等于矩 阵A的行数，则连续施行这两个线性变换的结果是以BA为 矩阵的 线性变换。
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C12=b11a12+b12a22+b13a32+b14a42 =1x1+0x1+3x0+(-1)x3 =-2 C13=b11a13+b12a23+b13a33+b14a43 =1x0+0x3+3x1+(-1)x4=-1 C21=...............................=9 C22=...............................=9 C23=...............................=11
x = ρcosФ y = ρsinФ z = γcosθ
z
P'（x'， y ' ，z ' ） P（x，y，z） ρ
θ γ O o φ
y
x
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当op转动Ф′角
x′= ρ cos(Ф′＋Ф) = ρ (cosФ′cosФ－sinФ′ sinФ) = cosФ′x－ sinФ′ y
y′= ρ sin(Ф′＋Ф) = ρ(sinФ′cosФ ＋ cosФ′ sinФ)
x′ y′ z′
=
1 0 0 -1 0 0
0 0 1
x y z
=
x -y z
34
同理可得 i: -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1
i
由此可知，一个反映操作可用一个三维矩阵表示， (x,y,z)为基
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旋转操作Cz(Ф)
Cz(Ф)表示op绕z轴转动一个角度，此时γ，θ 不变， Ф改变。由图可知, p点可由如下球坐标表示：