高一数学暑假学习材料04

暑期专题辅导材料四
高一新课 第一章 集 合
集合论是整个现代数学的基础之一，高中教材中的集合概念属朴素集合论的初步，主要学习集合的基本概念，掌握集合的语言。

这种语言较之普通语言能更准确、简练、清晰地表达数学知识和逻辑联系，有利于加深对知识的理解和数学思维能力的提高。

这一部分的知识有三段，集合及其表示方法，元素与集合的关系（属于、不属于）；集合与集合的关系（包含、相等），子集、空集的概念；集合的运算（交、并、补），交集、并集、补集的概念。

本节概念多，符号多，要注重辨析概念之间的差异和联系。

集合中最基本与最重要的概念是集合的子、交、并、补的意义。

熟练地正确使用各种符号，是我们必须掌握的基本技能。

集合的运算，既是重点又是难点。

灵活地运用集合知识，深刻理解集合语言，强化集合语三种不同表达方式（普通语言、符号语言、图象语言即韦恩图）的互译训练，处理和解决内容广泛的数学问题，是我们学习这一节内容的目的。

1.1 集合 1.2 子集、全集、补集 1.3 交集、并集
一、知识点解析（一）集合 1．集合的概念
集合是数学中最原始的概念之一，它和几何中的点、线、面一样，都是不加定义的，一组对象的全体形式一个集合，也简称集。

集合的元素具有三个特性：
确定性：任意给定的一个对象，都可判定它是不是某一给定集合的元素。

如圆周率属于实数集，但不属于有理数集。

而“好人”，“著名科学家”不能构成数学意义上的集合。

互异性：给定的集合中若有两个或两个以上的元素，则这集合中任两个元素都是不相同的对象，即任一集合中元素无重复现象。

如方程0122
=+-x x 的解集为{1}。

无序性：集合中的元素是不排序的。

例如集合{a,b}也可写作{b,a}。

集合中的元素不一定只是数，还可以是任意的具体确定的事物，例如{，某某，某某，某某}
2．集合的表示法
列举法：把集合中的每一个元素列举出来。

当集合中的元素较少时，可用列举法。

有时，规律性强的
无限个数也可用列举法表示。

描述法：把集合元素的公共属性描述出来，写在大括号内的方法。

又分为语言描述法和代表元素描述
法。

语言描述法的结构为：{具有性质P 的事物}如{小于10的正奇数}等。

代表元素描述法的结构为：{X|X 具有性质P}，如{y|y=x
2
x }R ∈，表达函数x y =的值域，即
y 的取值X 围，而{（x,y ）/2
x y =，x R ∈}则表示抛物线2
x y =上的点组成的集合。

3．符号“∈”与“∉”的用法
符号“∈”与“∉”是表示元素与集合之间的从属关系的，它们不能表示集合与集合之间的包含关系。

例如},{b a b ∈，},{b a c ∉。

4．特定集合
N={自然数}={非负整数}，{*
==+N N 正整数}，Z={整数}， Q={有理数}，R={实数}，C={复数}。

不含有任何元素的集合叫做空集，用φ表示。

（二）子集，全集，补集
1．子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则集合A 叫做集合B 的子集。

即任取X ∈A ，若均有X ∈B 成立，则A 为B 的子集，记作A ⊂B 。

如果A 是B 的子集且B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

即若A B B A ⊂⊂且则A=B 。

如果A 是B 的子集且A 与B 不相等，则称A 是B 的真子集。

即若A ⊂B 且A ≠B ，则A ≠⊂B 。

空集φ是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

2．全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

全集可以由我们自由规定，出于研究的需要，有时我们会以N 为全集，有时会以R 为全集，但在同一个问题中只能有一个全集。

3．补集：设S 是一全集，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做S 中子集A 的补集，记作CsA ，即}|{A x s x x CsA ∉∈=且 4．若集合A 有几个元素，则它的所有子集的个数是n 2。

（三）交集、并集
1．交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A }|{B AX X X B ∈∈=⋂。

2．并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A }|{B AX X X B ∈∈=⋃
3．必须熟练地用图形（韦恩venn 图）来表示子集、交集、并集和补集。

4．常用的运算性质
A B ⊂A ，A B ⊂B ，A A=A ，A φ=φ，A B=B A ， A B ⊂A ⊂A B ，A B ⊂B ⊂A B ，A B=B A ， A B=A A ⇔⊂B ，A B=A ⇔B ⊂A ， A B=A 且A B=A ⇔A=B
A CuA=φ,AUCuA=U, Cu(CuA)=A, Cu φ=U,CuU=φ, (CuA)U(CuB)=Cu(A B), (CuA) (CuB)=Cu(AUB) 以上这些关系式均可用Venn 图来验证。

二、概念辨析
例1．下面命题中正确的是 （ ） A ．任何一个集合必有两个子集。

B ．任何一个集合必有一个真子集。

C ．若两个集合的交集是空集，则这两个集合至少一个是空集。

D ．若两个集合的交集是全集，则这两个集合都是全集。

分析：为什么A ，B 不正确？考虑空集。

排除C 只需举出反例：A={1}，B={2}，A φ=⋂B ，但A ，B 全不空。

举反例是一种强有力的说理方法。

构作反例靠的是对基本概念的透彻理解。

例2．若集合M={X|X=M+
Z M ∈,61}，N={X|X=},3
12Z N N ∈-，P={X|X=612+P ，P }Z ∈，则M ，N ，P 的关系是 （ ）
A ．M=N ≠P ⊂
B ．M ≠⊂N ≠P ⊂
C ．M ≠⊂N=P
D ．以上结论都不对
分析：因为M={X|X=
},61
6Z M M ∈+
N={X|X=},61
)1(3|{},623Z N N X X Z N N ∈+-==∈-
P={X|X=},6
1
3Z P P ∈+
对于集合{}3|>=x x A ，{}4|<=y y B ，不要误以为φ=B A ，这是错误的。

因为
{}{}4|4|<=<=x x y y B ，所以{}43|<<=x x B A ，所以本题的答案为
P N M =⊂≠
例3．若B A ⊆，C A ⊆，{}5,4,3,2,1=B ，{}9,7,5,3,1=C ，则满足上述条件的集合A 为。

分析：{
}5,3,1=A 吗？ 注意：B A ⊆，且C B A C A ⊆⇒⊆。

而{}5,3,1=C B ，所以A 是集合{}5,3,1的子集，有8种可能，分别是φ，{
}1，{}3，{}5，{}3,1，{}5,1，{}5,3，{}5,3,1。

例4．已知{}b a A ,=，{}A x x B ⊆=|，则A 与B 的关系是。

分析：由符号“⊆”的定义知，B 中的元素为A 的子集，而A 的子集有4个，即φ，{}a ，{}b ，{}b a ,，所以B A ∈。

例5．已知{
}R x x y y M ∈+==,1|2
，{
}
R x x y y N ∈+-==,1|2
，
则=N M （ ）
A ．{}1,0
B ．{})1,0(
C ．{
}1D ．以上答案均不对 分析：如果你选B 就错了。

原因在于没有先研究集合中元素的属性、意义，错误地认为交集为两曲线的交点（或两方程的公共解）。

正
确
的
解
为
{}
{}
1|,1|2≥=∈+==y y R x x y y M ，
{}
{}1|,1|2≤=∈+-==y y R x x y y N
所以，{}
1=N M ，选C 。

例6．若A ，B 是两个互不相等的非空集，且是全集I 的真子集，下列四个关系中，有多少个是正确的？ （1）B A B A A ⊂⊂ （2）)(B A C B I ⊂ （3）A B B A C I ⊄)( （4）B A A B A ⊂⊂
分析：画图1
I 图1
本图中，B A =I ，A φ=B ，（C A B B B A I ⊂=)，所以否定（1），（2）（3）。

≠
画图2
I
这X 图中，B A B B A ⊂⊂，否定（4）
所以（1），（2），（3），（4）都不正确。

例7.已知集合},02|{2
>--=x x x p }04|{2
<++=a a X X Q ，若Q p ⊇，某某数a 的取值X 围。

错解：因为1|{-<=x x p 或}2>x ，}4242|{a x a X Q -+-<<---=
所以只有当142-≤-+
-a 时，即43≤≤a 时，才有P Q ⊆，所以a 的取值X 围是}43|{≤≤a a
分析：这里忽视了空集φ，因为φ是任何集合的子集，当Q=φ时，亦满足Q P ⊇，此时0416<-=∆a 解得a>4，
所以，a 的取值X 围是}3|{}4|{}43|{≥=>≤≤a a a a a a
例8.设集合}01|{},023|{2
2
=-+-==+-=a ax x x B x x x A ，若A B A = ，某某数a 的值， 错解：由题设知}2,1{=A ，}1,1{-=a B 因为A B A B A ⊆=所以, 所以a-1=2 所以a=3
分析：集合B 由描述法化简为列举法，不一定能得保持等价。

由描述法知集合乃是关于X 的方程
012=-+-a ax x 的解集，这个方程一定有实根1，但可能有两个相等实根1，而}1,1{-=a B ，由断定
了B 中必有两元素，漏掉了B 中只有一个元素1的情况，应补上。

当a-1=1即a=2，A B ⊆=}1{，仍有A B A = 成立。

所以a 的值为2或3。

例9．设{}a U -=1,4,2，{}
2,22
+-=a a A ，若{}1-=CuA ，则a ＝。

解：显然U ∈-1，所以11-=-a 得2+=a ，代入A 中检验U a a ∈=+-422
，符合题意，所以
2=a 。

例10．集合{
}
012|2
=++=x ax x A 为单元素集合，则a ＝。

分析：如果你先入为主地认为A 为一元二次方程0122
=++x ax 的解的集合，马上会联想到A 为单元素集合等价于△＝0，由此解得a ＝1。

但方程0122
=++x ax 不一定是关于x 的二次方程，当a ＝0时，它是一次方程，也只有一个根，仍符合题意。

故本题的解为a ＝1或0。

例11．已知集合{
}
01|2
=++=ax x x M ，{
}
023|2
=+-=x x x N ，且N M ⊆，求a 的值。

解：{}{
}2,10)2)(1(|==--=x x x N 由N M ⊆φ=∴M ，{}1，{}2或{}2,1。

当φ=M 时，有
042<-=∆a 即22<<-a 042=-=∆a 时，2±=a ，两根之积为1。

{}2=∴M 与题意不符，应舍去。

只有{}1=M 与题意相符，此时2-=a 。

若{}2,1=M ，则由韦达定理知121=⨯矛盾，故{}2,1≠M 。

综上所述，只有当22≤≤-a 时，N M ⊆。

例12．已知全集{}
的正整数不大于10=U ，A 、B 是U 的两个子集，且{}9,8,2)(=CuB A ，
{}10,6,4)(=B CuA ，{}5,1)()(=CuB CuA ，求A 、B 。

解：{
}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=U ，用韦恩图分别表示)(CuB A 、B CuA )(及)()(CuB CuA 得{}7,3=B A
所以{}9,8,7,3,2=A ，{}10,7,6,4,3=B 。

例13．已知集合{}d a d a a M 2,,++=，{
}2
,,aq
aq a N =，
设N M =，求q 的值。

解：两个集合相等，则它们对应元素相等（元素的确定值） 所以，有⎩⎨⎧=+=+22aq d a aq d a 或⎩⎨⎧=+=+aq d a aq d a 22（元素的无序性） 当⎩⎨⎧=+=+2
2aq d a aq
d a 时，解得0=d ，1=q ，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去。

当⎩⎨⎧=+=+aq
d a aq d a 22时，解得21
-=q ，经检验满足题意。

例14．已知集合{
}
019|2
2=-+-=a ax x x A ，{
}065|2
=+-=x x x B ，{
}
082|2
=-+=x x x C ，且满足φ⊃
≠B A ，φ=C A ，某某数a 的值。

解：因为φ⊃
≠B A ，所以φ≠B A ，又因为{}3,2=B ，{}4,2-=C ，φ=C A ，所以A ∉2，A ∉3，
故有019392
=-+-a a 解之得5=a 或2-=a
当5=a 时，{}3,2=A ，而A ∉2，故舍去；当2-=a 时，{}3,5-=A ，与题意均相符。

综上所述，2-=a 。

例15．已知b ax x x f ++=2
)(，集合{}{}3)(|==x x f x ，求集合{}3)(|==x f x M 。

分析：请先读懂题意，准确翻译好题中两个集合，它们分别是方程x x f =)(和3)(=x f 的解集。

即{}{}{
}
{}30)1(||)(|2
2
==+-+==++==b x a x x x b ax x x x x f x ，这个集合是单元素集3表示方
程0)1(2
=+-+b x a x 有等根3，据韦达定理易知61=-a ，9=b ，即5-=a ，9=b 所以
9
5)(2+-=x x x f ，代
入集合M ，得
{}{}
{}{}3,20)3)(2(|065|395|22==--==+-==+-=x x x x x x x x x M
例16．设{
}
01)1(2|2
2=-+++=a x a x x M ，{
}
04|2
=+=x x x N ，M N M = ，求a 的值。

解：{}0,4-=N ，由M N M = 知N M ⊆，φ=∴M 或{}4-或{}0或{}0,4- 对于方程
01)1(222=-+++a x a x ，其判别式)1(8)1(4)1(422+=--+=∆a a a
（1）当0<∆，即1-<a 时，φ=M ，符合题意；
（2）当0=∆，即1-=a 时，{}0=M ，也符合题意； （3）当0>∆，即1->a 时，M 应等于{}0,4-，必须满足
111
1
04)1(2042
=⇒⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧-=⨯-+-=+-a a a a a 综上所述，a 的值为1=a 或1-≤a
例17．已知{
}
R x x p x x A ∈=+++=,01)2(|2
，若φ=+
R x ，求p 的X 围。

分析：如何理解
φ=+R A ？
其一：A 中元素不是正数，只能是负数或零。

设方程01)2(2
=+++x p x 的根为1x 、2x ，则有：0010)2(0
4)2(2
1212≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>=<+-=+≥-+=∆p x x p x x p
其二：A 是空集，0404)2(2
<<-⇒<-+=∆p p 综上所述，知满足题意的p 的X 围是),4(+∞-。

解法二：让我们变换目标，从另一个角度去思考本题。

由于方程01)2(2
=+++x p x 不可能有零根且两根必同号，所以φ≠+
R A 的条件是
⎩⎨
⎧>+-=+≥∆0)2(0
21
p x x 4-≤⇒p ∴满足题意的p 的X 围为4->p （巧用补集，简洁明快） 例18.已知集合},201|),{(},02|),{(2
≤≤=+--==+-+=x o y x y x B y mx x y x A 且如果
φ≠B A ，某某数m 的取值X 围。

解：由 022
=+-+y mx x 消去y ，得 x-y+1=0
01)1(2=+-+x m x ……①
因为φ≠B A 所以方程①在区间[0，2]，上至少有一个实根 首先由0)1)(3(4)1(2
≥+-=--=∆m m m 得13-≤≥m m 或 其次，设方程①的两实数根公别为21,x x
当3≥m 时，由21=+x x 上至少有一实根），应舍去。

当1-≤m 时，由21+x x 在[0，1]上，综上所述，所求m 的取值X 注：例19.设x x A R U ≥==},1|{,解：|{,≥==x x A R U 将CuA 和B 得|{)(=⋃x x B CuA 例20.集合2|{x x A ≤≤-=(1) 若φ≠⋂B A (2) 若,A B A ≠⋂(3) 若φ≠⋂B A 且A
解：将数集（1（2（3
例21.集合解：∵a 2 （1）当 则∴a=0（2）当2a-1=-3时，a=-1，此时 A={1，0，-3} B={-4，-3，2} 符合条件
由（1）、（2）可知，所某某数a 的值为-1。

讲评：条件A ∩B={-3}中，说明集合A ∩B 中有一个元素为-3，而且只能有一个元素为-3，第一种情况解出的a=0不合题意。

因为在用条件a-3=-3解出a=0时，只能说明A 与B 有公共元素-3，并不能说明除了-3以外，A 与B 没有其它的公共元素。

因此有必要把a=0和a=-1反代入原来的集合检验A ∩B 中是否的确有且只有一个元素为-3，否则易产生增根。

例22.若U={(x,y)|x,y ∈R},A={(x,y)|y=3x-2},B={(x,y)|32
4
=--x y },求A ∩B 及（CuA ）∪B 。

解：∵
32
4
=--x y ，∴y=3x-2(x ≠2),即 B={(x,y)|y=3x-2 (x ≠2)}
∴B ⊂A ，于是A ∩B=B ；
CuA 是坐标平面上除了直线l:y=3x-2上的点后所有点的集合，B 是直线l:y=3x-2
上除了（2，4）外所有点组成的点集。

∴（CuA ）∪B={(x,y)|x,y ∈R,(x,y)≠(2,4)}
例23.设集合A={x ∈R|x 2-3x+2=0},B={x ∈R|2x 2-ax+2=0}
若A ∪B=A ，求：实数a 的取值X 围。

解：A={x ∈R|x 2-3x+2=0}={1，2} ∵A ∪B=A ，∴B ⊆A
由x=1代入2x 2-ax+2=0得：a=4 而当a=4时，B={x|2x 2-ax+2=0}={1} 此时有：A ∪B={1，2}=A 由x=2代入2x 2-ax+2=0得：a=5
而当a=5时，此时B={x|2x 2-5x+2=0}={2，2
1} 此时有：A ∪B={1，2，2
1
}≠A ，不符合题意 ∴a=5应舍去
≠
又在方程2x 2-ax+2=0中，由△=a 2-16<0得： -4<a<4
此时，B=φ，满足A ∪B=A
综上所述，实数a 的取值X 围为{a|-4<a ≤4}。

讲评：本题中实际上应想到集合B 中一元二次方程的两根恰为x=1和x=2的情况，在上述解法中，我们利用当有一个根为x=1时解出a 的值，再反代入原方程求出另一个根的方法，结果出现当有一个根为x=1时，另一个根也为x=1；当有一个根为x=2时，另一个根为x=
2
1
,即不可能出现两根恰为x=1和x=2的情形。

解题时还应注意不要疏漏B 为空集的情况。

例24.已知集合A={x ∈R|x 2+(p+2)x+1=0},设R +为正实数。

若A ∩R +=φ,某某数p 的取值X 围.
分析:∵R +为正实数,要使A ∩R +=φ,则有两种可能: A=φ或A 中的元素为负数或0 解:(1)当A=φ时,方程x 2+(p+2)x+1=0无解 由△=(p+2)2-4<0得: -2<p+2<2 即 -4<p<0
例26.设集合A={x|-2≤x ≤a}，B={y|y=2x+3,x ∈A}，C={y|y=x 2
,x ∈A}，若B ∪C=B ，某某数a 的取值X 围。

由（1）（2）（3）可知，所求a 的取值X 围为{a|2
1
≤a ≤2}∪{a|2<a ≤3} 即 {a|2
1
≤a ≤3}
【巩固练习】
1．说出下列集合中元素的意义
①{}32|2
--==x x y x A ②{}32|2
--==x x y y B ③{}32|),(2
--==x x y y x C
④{}032|2
=--=x x
x D ⑤{}032|2
>--=x x x E
2．已知{}14|2
++==x x y y M ，{}62|2
+-==x x y y N ，则M 与N 之间的关系是（ ）
A ．N M ⊂
≠ B ．M N ⊂
≠ C ．N M = D ．M 与N 之间无任何包含关系
3．设全集{}
20U =小于的正偶数，若{
}14,12=CuB A ，{}18,16,4,2=B CuA ，{}6=CuB CuA ，求集合A 、B 。

4．{}1|>=x x A ，{}40|<≤=x x B ，{}32|≥<=x x x C 或，求C B A 。

5．已知}023|{,2
≤+-==x x x A R I 且}321|{)(,)(<<<<==x x o x A C B R B A C I I 或 ，求集合B 。

6．设}1|),{(},12
3
|),{(},,|),{(+===--=∈∈=x y y x B x y y x A R y R x y x I ，求（B A C I ) 7．已知{
}
R x p x x x A ∈=+++=,014|2
，且φ=+
R A ，某某数p 的X 围。

8．设方程0122
=-+px x 的解集为A ，方程02
=++r qx x 的解集为B ，有B A ≠，{}4,3-=B A ，
{}3-=B A ，求p 、q 、r 的值。

9．已知{}4321,,,a a a a A =，{}
2
4232221,,,a a a a B =，其中4321a a a a <<<，1a 、2a 、3a 、+∈N a 4。

若{}41,a a B A =
且1041=+a a ，B A 中所有元素之和为124，求集合A 、B 。

答案
1．①函数y ＝x 2―2x ―3中自变量x 的取值X 围； ②函数y ＝x 2―2x ―3中值的取值X 围； ③函数y ＝x 2―2x ―3的图象上的点； ④不等式x 2―2x ―3＝0的解集； ⑤不等式x 2―2x ―3＞0的解集；
2．B 3．{}14,12,10,8=A ，{}18,16,10,8,4,2=B 4．{}4321|<≤<<=x x x C B A 或
5．}30|{<<=x x B 6．（C )}3,2{()=B A I 7．1≥p 8．1-=p ，6=q ，9=r
9．{
}9,5,3,1=A ，{}81,25,9,1=B 。

【提高练习】
1、设集合A={x ∈R|-4≤x<5}，B={x ∈R|x>2或x<-6}，则A ∩B 等于（ ）
A 、{x|-6<x<5}
B 、{x|-6<x<-4}
C 、{x|2<x<5}
D 、{x|-6<x<2}
2、设集合M={(x,y)|3x-2y=-1}，N={(x,y)|5x+3y=11}，则M ∩N 等于（ ） A 、（1，2） B 、{（1，2）} C 、{1，2} D 、φ
word
11 / 11
；A 。

______；A ∩C= ______；A ∩B ∩C= _____。

9、已知全集u=N+，A={x ∈N+|x 2+px+12=0}，B={x ∈N+|x 2-5x+q=0}，(CuA)∩B={2}，A ∩(CuB)={4}，则：p+q= ______。

10、已知：A={1，4，x}，B={1,x 2}，且A ∩B=B ，求x 的值及集合B 。

11、已知S={x|2x 2-px+q=0}，T={x|6x 2+(p+2)x+q+5=0}，且S ∩T={
2
1}，求集合S 和T 。

12、设A={2，4，a 3-2a 2-a+7}，B={-4，a+3,a 2-2a+2, a 3+a 2+3a+7}
已知A ∩B={2，5}，求a 的值及A ∪B 。

13、集合A={x ∈R|x 2-3x+2=0}，B={x ∈R|x 2-ax+a-1=0}，C={x ∈R|x 2-mx+2=0}，满足C ≠φ，A ∪B=A ，A ∩C=C ，求a ，m 的值。

【答案】
1、C
2、1B
3、B
4、D
5、A ∩B={x|=1<x<2}，A ∩B ∩(CuP)={x|0<x<2}；
6、①Cu(A ∩B)；②((CuB)∩A)∪((CuA)∩B)；
7、A={3，5}，B={2，3}；
8、A ∩B={矩形}，A ∩C={菱形}，A ∩B ∩C={正方形}；
9、-1；
10、当x=0时，B={1，0}
当x=±2时，B={1，4}；
11、S={4,21 }，T={31,21}； 12、a=2。

A ∪B={2,4,5,25,-4}；
13、a=2或3，m=3。