高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广学案北师大版必修4

1.2 角概念推广
1．角概念
角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成图形．
2．角分类
(1)按旋转方向可将角分类：
(2)按角终边位置分类
预习交流1
(1)终边与始边重合角一定是零角吗？
(2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．
3．终边一样角表示
一般地，所有与角α终边一样角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边一样角，都可以表示成角α与周角______倍与．
注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；
(2)α是任意角；
(3)k·360°与α之间用“＋〞号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；
(4)终边一样角不一定相等，但相等角终边一定一样，终边一样角有无数个，它们相差周角整数倍．
预习交流2
(1)以下各角中与330°角终边一样角是( )．
A．510°B．150°C．－150°D．－390°
(2)在－360°到360°范围内，与412°角终边一样角是______．
答案：1．一条射线端点旋转
2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)
预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边与始边重合角，但终边与始边重合角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角终
边与始边也重合．
(2)一三四
3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数
预习交流2：(1)D (2)52°，－308°
1．角概念辨析问题
判断以下说法是否正确，并说明理由：
(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，那么有P＝Q；
(2)角α与角2α终边不可能一样；
(3)假设α是第二象限角，那么2α一定是第四象限角；
(4)不相等角其终边位置必不一样．
思路分析：解答此题首先要明确角范围不再局限于0°～360°，角度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边一样角概念．
A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.
对推广后角概念理解．
(1)紧紧抓住“旋转〞二字，用运动观点来看角．
(2)结合实际意义明确角概念经过推广后，角范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角与零角．
(3)正确理解正角、负角与零角概念，既要注意始边位置与旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边一样角及象限角
α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边一样，且－720°≤θ＜0°.
思路分析：利用终边一样角关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．
将以下各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 840°；(2)1 690°.
终边一样角相差360°整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边一样0°～360°范围内角，这个0°～360°范围内角所在象限即为所求．
3．区域角表示
如下图，写出终边落在阴影局部(实线包括边界，虚线不包括边界)角集合．
思路分析：观察图形，找出边界上角，用不等式形式表示出阴影局部内角集合．
如下图，写出终边落在图中阴影局部(实线包括边界，虚线不包括边界)角集合．
区域角及其表示方法
区域角是指终边落在平面直角坐标系某个区域内角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针方向找到区域起始与终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始与终止边界对应－360°到360°范围内角α与β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}；
(3)根据旋转观点把起始、终止边界对应角α、β加上k ·360°(k ∈Z )．
特别地，如“活动与探究3”中，假设是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n ×180°(n ∈Z )即可；假设区域包括了x 轴非负半轴，那么可由负角到正角，如图③，两边再加上k ×360°(k ∈Z )．
4．α角所在象限，判断角α2
终边所在位置 角α是第二象限角，试判断角α2
是第几象限角． 角α是第三象限角，试判断角α2
是第几象限角．
(1)各象限角集合如下
角k·360°，k∈Z}
第三象限
角{α|180°＋k·360°＜α＜270°＋
k·360°，k∈Z}
第四象限
角{α|270°＋k·360°＜α＜360°＋
k·360°，k∈Z}
答案：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上P＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q.
(2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边一样．
(3)不正确．由90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°(k∈Z)知180°＋2k×360°＜2α＜360°＋2k×360°，k∈Z，故2α是第三或第四象限角，也可能终边在y轴非正半轴上．
(4)不正确．不相等角其终边位置也可能一样，如30°与390°.
迁移与应用：解：A∩B＝{α|0°＜α＜90°}，
A∪C＝{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z}，
C∩D＝{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z，k≤0}，A∪D＝{α|α＜90°}．
活动与探究2：解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.
迁移与应用：解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°，
故－1 840°是第四象限角．
(2)1 690°＝4×360°＋250°，故1 690°是第三象限角．
活动与探究3：解：(1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边一样角有60°角，与l2终边一样角有310°角．∴图①阴影局部中角集合为
S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由图②知，第一象限内阴影局部中角集合为
S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．
第三象限内阴影局部中角集合为
S 2＝{α|225°＋k ×360°≤α≤270°＋k ×360°，k ∈Z }． ∴所求阴影局部中角集合为S ＝S 1∪S 2
＝{α|45°＋2k ×180°≤α≤90°＋2k ×180°，k ∈Z }∪{α|45°＋(2k ＋1)×180°≤α≤90°＋(2k ＋1)×180°，k ∈Z }
＝{α|45°＋n ×180°≤α≤90°＋n ×180°，n ∈Z }．
(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l 2旋转至l 1，与l 2终边一样角有－30°角，与l 1终边一样角有30°角．
∴图③阴影局部中角集合为
S ＝{α|－30°＋k ×360°＜α＜30°＋k ×360°，k ∈Z }． 迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影局部中角集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°，k ∈Z }，终边落在第四象限内阴影局部中角集合可表示为{x |k ×360°－15°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }，
∴终边落在阴影局部角集合可表示为
{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°或－15°＋k ×360°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }．
活动与探究4：解法一：(分类讨论法)
∵角α是第二象限角，
∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z.
∵k ×180°＋45°＜α2
＜k ×180°＋90°，k ∈Z ， ∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ×360°＋45°＜α2
＜n ×360°＋90°，
即角α2
是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， n ×360°＋225°＜α2
＜n ×360°＋270°， 即角α2
是第三象限角．
∴角α2
终边落在第一或第三象限． 解法二：(几何法)
先将各象限二等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2区域即为角2α终边所在区域，如下图，故角2α是第一、三象限角．
迁移与应用：解法一：(分类讨论法)
∵α是第三象限角，
∴k ×360°+180°＜α＜k ×360°+270°，k ∈Z ，
∴k ×180°+90°＜2α＜k ×180°+135°，k ∈Z.
∴当k=2n ，n ∈Z 时，n ×360°+90°＜
2α＜n ×360°+135°，即角 2
α是第二象限角； 当k =2n +1，n ∈Z 时，n ×360°+270°＜
2α＜n ×360°+315°，即角2
α是第四象限角． ∴角2α
是第二或第四象限角． 解法二：(几何法)
仿照“活动与探究4”“解法二〞即可知角 是第二或第四象限角．
1．以下命题中正确是( )．
A ．三角形内角必是第一、二象限角
B ．第一象限角必是锐角
C ．不相等角终边一定不一样
D ．假设β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，那么α与β终边一样
2．给出以下四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中
正确命题有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．与405°角终边一样角是( )．
A ．k ·360°－45°，k ∈Z
B ．k ·360°－
405°，k ∈Z
C ．k ·360°＋45°，k ∈Z
D ．k ·180°＋45°，k ∈Z
4．(1)一个30°角，将其终边按逆时针方向旋转三周，那么旋转后角是________．
(2)假设时针走过2小时40分，那么分针转过角度是________．
5．终边在第一、三象限角平分线上角集合为________；终边在第二、四象限角平分线上角集合为________．
答案：1．D 解析：90°角可以是三角形内角，但它不是第一、二象限角，故A 错；390°角是第一象限角，但它不是锐角，故B 错；390°角与30°角不相等，但终边一样，故C 不正确；对于D ，由终边一样角概念可知正确．
2．C 解析：①②③正确，④错误．
3．C
4．(1)1 110° (2)－960° 解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过角度为360°×3＝1 080°.再加上原来角度30°，所以旋转后角是1 110°.
(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223
＝－960°. 5．{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z }
{|＝×180°＋135°，∈Z }。