广东省湛江一中高二数学下学期期中试题 理 新人教A版

高二级 数学(理)科试卷
考试时间：120分钟 满分:150分
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ
卷为9-20题，共110分， 第Ⅰ卷 (选择题共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、复数3z bi =-的虚部是 ( ) A ．bi B ．bi - C ．b - D ．b
2、若212
1515
x x C C ++=，则实数x 的值为 ( ) A ．4 B ．1 C ．4或1 D ．其它
3、一个物体的运动方程为21s t t ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3
秒末的瞬时速度是 ( )
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒
4、12名同学分别到三个企业进行社会调查，若每个企业4人，则不同的分配方案共有( )种
A ．44412
8
4
C C C B ．44412
8
4
3C C C C ．44312
8
3
C C A
D ．4441284
3
3
C C C A 5、下列函数中,在(0,)+∞上为减函数的是 ( ) A ．x
e y x
= B ．(1)x y x e =- C ．3y x x =- D ．ln(1)y x x =-+
6、某地四月份刮东风的概率是
830，既刮东风又下雨的概率是7
30
，则在该地四月份刮东风的条件下，下雨的概率为 ( )
A ．
830 B ．730 C ．18 D ．78
7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，令12n
n S S S T n
++
+=，称n T 为数列a 1，a 2，……，a n 的“理
想数”，已知数列a 1，a 2，……，a 502的“理想数”为2012，那么数列5，a 1，a 2，……，a 502的“理想数”为 ( )
A ．2008
B ．2014
C ．2012
D ．2013
8、某人射击一发子弹的命中率为0.8，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率f (n )如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最可能是 ( )
A ．14发
B ．15发
C ．16发
D ．15或16发
第Ⅱ卷 (非选择题共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
9、已知复数z 满足：33(23i z i =⋅-，那么复数z 在复平面内对应的点位于第 象限
10、定积分11
()e x dx x
+⎰=
11、函数2cos y x x =+在区间[0,]2
π
上的最大值是
12、类比平面几何中的射影定理：若直角三角形ABC 中(如图)，AB 、AC 互相垂直，AD 是BC
边的高，则AB 2=BD ·BC ；AC 2
=CD ·BC ．若在三棱锥A -BCD 中(如图)，三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，O 是点A 在平面BCD 上的投影，则三棱锥的侧面面积与它在底面上的投影面积和底面积的之间满足的关系为 (只需填一个)
13、二项式33()n x x
的展开式中含有x 2
项，则n 最小时，展开式中所有系数之和为
14、设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使|()|f x ≤||M x 对一切实数x 均成立，
则称()f x 为“倍约束函数”.现给出下列函数：①()2f x x =；②2()1f x x =+； ③()sin cos f x x x =+；④2
()3
x
f x x x =-+；⑤()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切1x ,2x 均有12|()()|f x f x -≤
121
||2
x x -.其中是“倍约束函数”的有 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15、(本题满分12分)在比例的性质中，有等比定理：若,,,a b c d R *∈，且
a c
b d =，则a a
c c
b b d d
+==+；
在不等式中是否也有类似的性质.若有请写出来，并证明；若没有，请举例说明.
16、(本题满分12分)函数322()f x x ax bx a =+++，在x =1时有极值10，(1)求a ,b 的值； (2)求曲线()y f x =的切线的斜率的最小值
17、(本题满分14分)已知22()n
x x
的展开式中，(1)若第5项的系数与第3项的系数之 比是56﹕3，求展开式中的常数项；(2)求证：二项式22()n x x 与1
2
2()n x x +的展开式中 A B C D A
B C D
O
不可能都有常数项.
18、(本题满分14分)已知,()2
k k Z π
αβπ≠
+∈，且sin α是sin θ、cos θ的等差中项，
sin β是sin θ、cos θ 的等比中项，求证：
22221tan 1tan 1tan 2(1tan )
αβ
αβ--=++ 19、(本题满分14分)某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元；若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元；若是二等品，则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.
(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的总利润不少于10万元的概率.
20、(本小题满分14分)已知函数()ln(1)()a
f x x a R x
=-+∈．
(1) 若2a =时，试证明：当2x ≥时，()1f x ≥；
(2) 如果函数()y f x =是定义域上的增函数，求a 的取值范围； (3)求证：111
1
ln(1)357
21
n n +>+++
+
+(*n N ∈)．
湛江一中2007—2008学年度第二学期期中考试
高二年级数学(理)科答题卷
一、选择题(每题5分,共40分)
9、__________; 10、__________; 11、_______________;
12、 ； 13、_________; 14、_____________.
三、解答题(本题共6小题,80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.) 15、(满分12分)
16、(满分12分)
17、(满分14分)
18、(满分14分)
19、(满分14分)
20、(满分14分
)
湛江一中2011—2012学年度第二学期期中考试
高二年级数学(理)科参考答案
一、选择题(每题5分,共40分)
二、填空题(每题5分,共30分)
9、 一 ； 10、212e +； 11、36
π
；
12、2ABC OBC DBC S S S ∆∆∆=⋅； 13、 64； 14、①， ④， ⑤
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15、(本题满分12分)在比例的性质中，有等比定理：若,,,a b c d R *∈，且
a c
b d
=，
则a a c c b b d d +==+；在不等式中是否也有类似的性质.若有请写出来，并证明.若没有，请举例说明. 解析：类比比例中有等比定理，在不等式中也有类似的性质：若,,,a b c d R *∈，且a c
b d
>，则a a c c b b d d
+>>+…………………4分 证明如下(分析法)：欲证a a c
b b d +>+成立，………………5分
因为,,,a b c d R *∈，只需证()()a b d b a c +>+…… ………7分 即证ab ad ba cb +>+，即证ad cb >
即a c b d >，而a c b d >成立，所以a a c b b d +>+成立……………10分
同理可证a c c b d d +>+，所以若,,,a b c d R *∈，且a c
b d
>，则a a c c b b d d +>>+成立……12分
16、(本题满分12分)函数322(),f x x ax bx a =+++在x =1时有极值10，(1)求a ,b 的值； (2)求曲线()y f x =的切线的斜率的最小值 解析：(1)'2()32f x x ax b =++…………………1分
'(1)230f a b =++=，2(1)110f a a b =+++=…………………3分
联立2
23
9
a b a a b +=-⎧⎨
++=⎩，解得34
,311a a b b =-=⎧⎧⎨
⎨==-⎩⎩
或…………………5分 当3a =-时，1x =不是极值点，所以4,11a b ==-………………8分
(2)当4,11a b ==-时，22449
'()38113()33f x x x x =+-=+-，………………11分
所以43x =-时，切线的斜率最小值为49
3
-…………12分
17、(本题满分14分)已知22()n
x x
的展开式中，(1)若第5项的系数与第3项的系数之 比是56：3，求展开式中的常数项；(2)求证：22()n x x 与12
2()n x x +的展开式中不可 能都有常数项.
解析：(1)
由通项公式122(
)r
r n n r r
T C x
+-=,…………………2分 得：4422256
1032
n n C n C =⇒=，或5n =-(舍去)……………………4分
由通项公式55102110
1022()2r r
r
r r r
r T C C x x
--+==，所以当r =2时，取到常数项……5分 即3180T =……………6分
(2)假设它们的展开式中都有常数项，分别是第r +1和k +1项…………8分
则222
2
122r
n r n r
r r
r r
r r n
n
T C x x
C x
----+=⋅=是常数项，所以5n r =，即n 是5的倍数…10分
11222
2
111
22n k n k
k k
k k
k
k k n n T C x
x
C x
+-+---+++=⋅=是常数项，所以51n k =-，即n 是被5整除余4的
数，……13分
所以矛盾，所以假设不成立，原命题成立……14分
18、(本题满分14分)已知,()2
k k Z π
αβπ≠
+∈，且sin α是sin θ、cos θ的等差中项，
sin β是sin θ、cos θ 的等比中项。

求证：
22221tan 1tan 1tan 2(1tan )
αβ
αβ--=++ 证明：由题意，2sin cos 2sin ,sin cos sin θθαθθβ+== ……………2分 得224sin 2sin 1αβ-= …………………6分
另一方面，要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )
αβαβ--=++，即证22222222sin sin 11cos cos sin sin 12(1)cos cos βαβααβαβ
--=+- ……8分
即证22221cos sin (cos sin )2
ααββ-=- ……………………………10分 即证22112sin (12sin )2
αβ-=- ……………………………12分 亦即证224sin 2sin 1αβ-= ，而此式已证，故原等式成立.………14分
19、(本题满分14分)某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；
乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品若是一等品则获利4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品若是一等品则获利6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.
(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的总利润不少于10万元的概率. 解：(1)由题设知X 的可能取值为10，5，2，3-.且………3分 (10)0.80.90.72P X ==⨯=，(5)0.20.90.18P X ==⨯=，
(2)0.80.10.08P X ==⨯=， (3)0.20.10.02P X =-=⨯=．………6分 由此得
的分布列为
………8分
(2)设生产的4件甲产品中一等品n 件，则二等品有4n -件. ………9分
由题设知4(4)10,n n --≥解得14
5n ≥.………10分
又,3 4.n N n n ∈==得或所以334
4440.80.20.80.8192P C C =⋅⋅+⋅=，
∴所求概率为0.8192………14分
20、(本小题满分14分)已知函数()ln(1)()a
f x x a R x =-+∈．
(1) 若2a =时，试证明：当2x ≥时，()1f x ≥；
(2) 如果函数()y f x =是定义域上的增函数，求a 的取值范围；
(3)求证：1111ln(1)35721n n +>+++++(*n N ∈)．
20、解：(1)当2a =时，2221
2
(1)1()01(1)x f x x x x x -+'=-=≥--，在2x ≥时恒成立，……2分
所以函数()y f x =在[2,)+∞上为增函数………………3分
所以2
()ln(1)(2)1f x x f x =-+≥=成立………………4分
(2)函数()ln(1)a
f x x x =-+的定义域是(1,)+∞，
2221(1)
()1(1)a x a x f x x x x x --'=-=--，…………………5分
因为函数()y f x =是定义域上的增函数，()0f x '≥，在(1,)+∞上恒成立，
即22(1)
0(1)x a x x x --≥-，……6分
又因为函数()ln(1)a
f x x x =-+的定义域是(1,)+∞，即2(1)0x a x --≥，
所以22(1)2(1)11
(1)2111x x x a x x x x -+-+≤==-++---，……………8分
又因为1
(1)241x x -++≥-，所以4a ≤……………9分
(3)(法一)根据(1)的结论，当2x >时，2
ln(1)1x x -+>，即2
ln(1)x x x -->．……11分
令11(1)k x k k +-=≥，则有11
ln 21k k k +>+，1
ln(1)ln 21k k k +->+……………13分
所以111
[ln(1)ln ]21n n k k k k k ==∴+->+∑∑
所以，111
ln(1)3521n n ∴+>++++． …………14分
(法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．
3ln2ln81=>，1
ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………………10分
设当n k
=时，命题成立，即
111
ln(1)
3521 k
k
+>+++
+
．
1
n k
∴=+时，
21112
ln(1)ln(2)ln(1)ln ln
135211
k k n k k
k k k
++ +=+=++>++++
+++
．
根据(1)的结论，当2
x>时，
2
ln(1)1
x
x
-+>，即
2
ln(1)
x
x
x
-
->
令
2
1
1
k
x
k
+
-=
+
，则有
21
ln
123
k
k k
+
>
++
，
则有
1111
ln(2)
352123
k
k k
+>++++
++
，即1
n k
=+时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立．………………14分(以上解答题，用其它方法，请酌情给分，谢谢！！！)。