2014高考数学第一轮复习 第11课时—函数的单调性(1)

一．课题：函数的单调性
二．教学目标：理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问
题．
三．教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 四．教学过程:
（一）主要知识：
1．函数单调性的定义;
2．判断函数的单调性的方法;求函数的单调区间; 3．复合函数单调性的判断． (二）主要方法：
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：(1）用定义；（2）用已知函数的单调性;(3)利用函数的导数．
3．注意函数的单调性的应用;
4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析： 例1．（1）求函数20.7
log (32)y x x =-+的单调区间；
（2)已知2
()82,f x x x =+-若2
()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．
解:（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）2
22
()82(2)(2)g x x x =+---4
2
28x x =-++，3
()44g x x x '=-+，
令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<,1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．
例2．设0a >，
()x x
e a
f x a e
=+是R 上的偶函数．
（1)求a 的值;（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数． 解：（1)依题意，对一切x R ∈,有
()()f x f x -=，即1x x
x x e a ae ae a e
+=+
∴11()()x x a e a e --0=对一切x R ∈成立，则10a a
-=，∴1a =±，∵0a >，∴1a =．
(2)设120x x <<，则12121211()()x x x x f x f x e e e e -=-+-
2121121
122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e
+-++-=--=-，
由1
2
2
1
0,0,0x x x x >>->，得2112
0,10x x x x e -+>->，21
10x x e
+-<，∴12()()0f x f x -<，
即12
()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数．
例3．(1）（《高考A 计划》考点11“智能训练第9题”)若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-+∞．
例4．（《高考A 计划》考点10智能训练14）已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意1
2
,x x 都有1
2
1
2
()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，
（1)求证：()f x 是偶函数；(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数；(3)解不等式2
(21)2f x -<．
解:（1)令1
2
1x x ==,得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令1
2
1x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数．
（2)设210x x >>，则2
211
11
()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-2
2
1
1
1
1
()()()()x x f x f f x f x x =+-=
∵2
10x
x >>，∴
211x x >，∴21
()x
f x 0>,即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．
（3）(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，
∵()f x 是偶函数∴不等式2
(21)2f x -<可化为2
(|21|)(4)f x
f -<,
又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2
|21|4x -<,解得：x <<
即不等式的解集为(． 例5．函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．
分析:由函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①
对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a x x
+->恒成立．
解:∵函数9
()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的1
21,x
x ≤<有
12()()
f x f x <，即
919212
log (8)log (8)a a x x x x +-
<+-，得
1212
88a a
x x x x +-
<+-，即
1212
()(1)0a
x x x x -+
<, ∵120x x
-<，∴12
10,a
x x +>
12
1,a
x x >- 12a x x >-，
∵2
1
1x x >≥，∴要使12
a x x >-恒成立,只要1a ≥;
又∵函数9
()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->，
即9a <,综上a 的取值范围为[1,9)-． 另解：（用导数求解）令()8a g x x x
=+-，函数9
()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是
增函数，
∴()8a g x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，2
()1a g x x '=+，
∴180a +->,且210a
x
+
≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<． （四）巩固练习： 1．《高考A 计划》考点11，智能训练10；
2．已知)(x f 是R 上的奇函数，且在),0(+∞上是增函数，则)(x f 在)0,(-∞上的单调性为 ．
五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5， 7,8，12，13,15．。