高考数学压轴专题人教版备战高考《三角函数与解三角形》知识点训练含答案

【高中数学】高考数学《三角函数与解三角形》解析
一、选择题
1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若
2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．
则：2221
222
b c a bc cosA bc bc +-===，
由于：0＜A ＜π，
故：A 3
π
=
．
由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，
所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
2．△ABC 中，已知tanA =13
，tanB =1
2，则∠C 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，
11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132
A B C A B A B A B π+
+=--=-=-
=---⋅， 所以135C ?o .
故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
3．
能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．
5π3
B ．
43
π C ．
23
π D ．
3
π
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】
依题意π2sin 23y x θ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当
1,2k =时，2π3θ=
或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3
θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，
()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是增函数，不符合题意.
故选C. 【点睛】
本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
4．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2cos cos b C c B =，则
111
tan tan tan A B C
++的最小值为（ ） A
B
C
D
．【答案】A 【解析】
【分析】
先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】
∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴
()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22
tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1
B C B B
B C B B +=-
=-=---， ∴21112tan 111
tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++
27tan 3
6tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,
∴
27tan 36tan 3
B B +≥=
，当且
仅当tan B =
时取等号，
∴min
111tan tan tan A B C ⎛⎫++=
⎪
⎝⎭ A. 【点睛】
本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.
5．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】
∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4
∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，
∴由余弦定理：c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC ，所以cosC=
2222a b c ab
+-=222
4916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】
本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
6．若函数()sin 2f x x =向右平移6
π
个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
中心对称 B ．图象关于6
x π
=-轴对称
C ．在区间5,126ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】
利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】
函数()sin 2f x x =向右平移6π
个单位，得()sin 2()sin(2)63
g x x x ππ=-=-． 由23
x π
-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23
x π-
＝2
k π
π+
， 得212k x π5π
=
+
()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+
()k ∈Z ， 所以在区间5,12
6ππ⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】
解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||
T π
ω=
周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫
⎪⎝⎭
，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．
7．已知函数f （x ）＝2x －1
，()2cos 2,0?
2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩
（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋
∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．[]1,
1,22⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
U 【答案】C 【解析】 【分析】
对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】
当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意.
当a ＜0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],
因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜
1
2
，即a ＜0. 当a ＞0时，y =2
2(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥
2
3时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨
+≥⎩
. 当0＜a ＜
23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜1
2
. 综合得a 的范围为a ＜1
2
或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．函数sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6
π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12
，横坐标不变得到
D ．向左平移6π
个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12
，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】
合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，利用平移、伸缩知识即可判断选项。

【详解】
由cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
将它的图象向左平移
6
π
个单位， 可得函数2sin 22sin 2666y x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛
⎫=+
-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭的图象， 再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到：sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图
象. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了三角函数图象的平移、伸缩变换，考查了两角差的正弦公式，属于中档题。

9．要得到函数y ＝sin （2x +9π）的图象，只需将函数y ＝cos （2x ﹣9
π
）的图象上所有点（ ） A ．向左平移518
π
个单位长度 B ．向右平移518
π
个单位长度 C ．向左平移536
π
个单位长度 D ．向右平移
536
π
个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】
先将函数cos 29y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
转化为7sin 218
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再结合两函数解析式进行对比，得出结论． 【详解】
函数75cos 2sin 2sin 2sin 299218369y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-
=-+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ ∴要得到函数sin 29y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数cos 29y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭的图象上所有点向右平移
536
π
个单位长度，故选D ． 【点睛】
本题考查函数()sin y A x b ωϕ=++的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论．
10．在△ABC 中，7b =，5c =，3
B π
∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】
因为7,5,3
b c B π
==∠=
，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，
即2
1
4925252
a a =+-⨯⨯
，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
11．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A．1
2
B．
4
7
C．
2
5
5
D
．
7
65
65
【答案】B
【解析】
【分析】
过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E，设C（a，0），可得
3
2
CD=，
1
1,
2
AD DE
==，
3
tan
2
CD
CAD
AD
∠==，
1
tan
2
ED
EAD
AD
∠==，再利用
tan tan()
BAC CAD EAD
∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E，
由题可得周期为2，设(,0)
C a，则
1
(,1)
2
B a+-，
3
(,1)
2
A a+，
所以
3
2
CD=，
1
1,
2
AD DE
==，
3
tan
2
CD
CAD
AD
∠==，
1
tan
2
ED
EAD
AD
∠==
所以
tan tan
tan tan()
1tan tan
CAD EAD
BAC CAD EAD
CAD EAD
∠-∠
∠=∠-∠=
+∠⋅∠
31
4
22
317
1
22
-
==
+⨯
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
12．已知1F、2F分别为双曲线
22
1
46
x y
-=的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满
足120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ） A ．12 B ．122
C ．24
D ．242
【答案】C 【解析】 【分析】
设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和
12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】
解：设1MF m =，2MF n =，
∵1F 、2F 分别为双曲线22146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122210F F c ==.
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==， ∴()2
222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，
设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()2
2
2426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111
862422
S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
13．已知πππ
sin()cos()0,322
ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）
A B ．35
-
C ．
45
D ．
35
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫
+=- ⎪
⎝
⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
求值. 【详解】
解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛
⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
13sin sin sin 22ααααα+==
6πα⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭ ∴π4
sin 65
()α+=-.
又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35
)α+=. 故选：C 【点睛】
本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
14．已知角α的终边与单位圆交于点34
(,)55
P -，则cos α的值为( ) A ．
35
B ．35
-
C ．
45
D ．45
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，结合三角函数的定义即可得到cos α的
值.
【详解】
因为角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -， 所以34,,155x y r =-=
=， 所以3cos 5
α=-
， 故选B.
【点睛】
该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.
15．已知函数()3cos(2)2f x x π
=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟
成立，则12x x -的最小值为（ ）
A ．4
B ．1
C ．12
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案．
【详解】 对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟
成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12
min 22
T x x -==，故选D ． 【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
16．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足
(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v 的最小值为（ ）
A B C D 【答案】A
【解析】
【分析】 根据2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠
=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得
点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r
.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r 的最小值.
【详解】 在OAB ∆中,已知2OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒
由正弦定理可得sin sin AB OB AOB OAB
=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 22
OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=
即2OAB π
∠= 所以OAB ∆为等腰直角三角形 以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭
所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)
2,0OB =u u u r 因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r 则)222,022OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭= 则22
22222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r 2222λλμμ=++
因为23λμ+=,则32μλ=-
代入上式可得 ()()22322232λλλλ+-+- 218518λλ-=+
299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 所以当95λ=时, min 9355OP ==u u u r 故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
17．将函数cos y x =的图象先左移
4π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为（ ）
A ．sin 24y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ B ．13sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．1sin 24y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ D ．3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案.
【详解】 cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 纵坐标不变，横坐标缩为原来的
12，变为3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D .
【点睛】
本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.
18．若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )
A ．sin
B ．cos
C ．tan
D ．cos2θ
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可．
【详解】
由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan ＞0.故选C
【点睛】
本题考查三角函数值的符号的判断，是基础题．
19．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23
x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，
上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，
上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项.
【详解】
由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33
k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，故B 选项正确.所以本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π
个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）
A ．4x π
= B ．3x π
= C ．56x π= D ．1912
x π= 【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数的周期可得23
πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，再求其对称轴方程即可. 【详解】 解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
的最小正周期是3π，则函数2()4sin 3
3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912
x π=. 故选D.
【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。