数学_2014年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷(文科)(含答案)

2014年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数z 满足等式(2−i)⋅z =i ，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2. 设集合P ={3, log 2a}，Q ={a, b}，若P ∩Q ={0}，则P ∪Q =( ) A {3, 0} B {3, 0, 1} C {3, 0, 2} D {3, 0, 1, 2}
3. 在等差数列{a n }中，a 2+a 12=16，则2a 3+a 15的值是（ ） A 24 B 48 C 96 D 无法确定
4. 执行如图所示的程序框图，若输入x =2，则输出y 的值为（ ）
A 2
B 5
C 11
D 23
5. 下列命题中的假命题 是（ ）
A ∃x ∈R ，x 3<0
B “a >0”是“|a|>0”的充分不必要条件
C ∀x ∈R ，2x >0
D 若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题
6. 将函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π
6个单位后得到的图象关
于原点对称，则φ等于（ ） A 0 B π
6
C π
3
D π
2
7. 一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（ ）
A √3
B 2√3
C 3√3
D 6√3
8. 设变量x ，y 满足约束条件{y −1≥0
x +y −4≤0y −1≤k(x −1)，其中k >0．若y
x
的最大值为1，则实数k 的
取值范围是（ ）
A (1, +∞)
B [1, +∞)
C (0, 1]
D (0, 1)
9. 2014年3月8日发生的马来西亚航空公司MH370失联事件，引起了全世界人们长达数周的密切关注．为了消除人们对航空安全的担忧，某航空公司决定对该公司所属的波音777−200，波音777−300，空客A350，空客A380四架客机进行集中安全大检查．若检
测人员分两周对客机进行全方位的检测，每周检测两架客机，则波音777−200，波音777−300两架客机在同一周被检测的概率为（ ） A 1
2
B 1
3
C 1
4
D 1
6
10. 下列四个图中，哪个可能是函数y =
10ln|x+1|x+1
的图象（ ）
A B C D
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样抽取样本，将全体会员随机按1∼200编号，并按编号顺序平均分为40组（1−5号，6−10号，…，196−200号）．若第5组抽出的号码为22，则第3组抽出的号码是________．
12. 一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是________cm 3．
13. 在公比大于1的等比数列{a n }中，a 3a 7=72，a 2+a 8=27，则a 10=________． 14. 在△ABC 中，点D 是BC 中点，若∠A =60∘，AB →
⋅AC →
=1
2，则|AD →
|的最小值是________． 15. 已知实数m ≠1，函数f(x)={2x +m,x <2，
−x −2m,x ≥2，若f(3−m)=f(1+m)，则m 的值为
________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知数列{a n }是公比不为1的等比数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 2成等差数列． （1）求数列{a n }的通项；
（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，试求S n 的最大值． 17. 已知函数f(x)=msinx +√3cosx ，(m >0)的最大值为2． （1）求函数f(x)在[0, π]上的值域；
（2）已知△ABC 外接圆半径R =2，f(A −π
3
)+f(B −π
3
)=8sinAsinB ，角A ，B 所对的边
分别是a ，b ，求1a
+1
b
的值．
18.
如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥BC ，AB // CD ，
BC ⊥AB 且AA 1=AB =AD =2，∠A 1AB =∠DAB =60∘． （1）求证：AB 1⊥平面A 1BC ； （2）求该四棱柱的体积．
19. 小乐星期六下午从文具超市买了一套立体几何学具，他发现学具袋里有三组长度相等的塑料棒，长度分别为1，√2，2，而且每组恰有三根，于是想利用它们拼出正三棱锥．设拼出的正三棱锥的侧棱长为l ，底面正三角形的边长为s ．
（1）若小乐选取l =1，s =√2，现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条，求这两条棱互相垂直的概率；
（2）若小乐随机地选取l ，s ，可以拼出m 个不同的正三棱锥．设从每个正三棱锥的六条棱中随机选取两条，这两条棱互相垂直的概率为X ，请分别写出其相应的X 的值（不用写出求解X 的计算过程）．小乐再从拼出的m 个正三棱锥中任选两个，求他所选的两个正三棱锥的X 值相同的概率．
20. 在平面直角坐标系xoy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆G:x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆G 与抛物线y 2=−8x 有一个公共的焦点，且过点(−2, √2)． （1）求椭圆G 的方程；
（2）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点，若OA →
⊥OB →
（O 为坐标原点），试探讨直线l 与图形|x|+|y|≤
2√6
3
的公共点的个数，并说明理由． 21. 集合A 是由适合以下性质的函数f(x)构成的：对于任意的m ，n ∈[−1, 1]，且m ≠n ，
都有|f(m)−f(n)|≤3|m −n|．
（1）判断函数f 1(x)=x 2是否在集合A 中？并说明理由；
（2）设函数f(x)=ax 2+bx ，若对于任意的m ，n ∈[−1, 1]，有|a(m +n)+b|≤3恒成立，试求2a +b 的取值范围，并推理判断f(x)是否在集合A 中？
（3）在（2）的条件下，若f(−2)=6，且对于满足（2）的每个实数a ，存在最大的实数t ，使得当x ∈[−2, t]时，|f(x)|≤6恒成立，试求用a 表示t 的表达式．
2014年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷（文科）答案
1. B
2. B
3. A
4. D
5. D
6. C
7. A
8. C
9. B 10. C 11. 12 12.
500π3
13. 48 14. √3
2 15. −54
16. 设等比数列的公比为q ， ∵ a 1，a 3，a 2成等差数列， ∴ 2a 3＝a 1+a 2，又a 1＝1，
∴ 2×1×q 2＝1+1×q ，解得q =−1
2，或q ＝1（舍）． ∴ a n =(−1
2)n−1．
由等比数列求和得，S n =
1×[1−(−1
2)n ]
1−(−1
2
)
=23[1−(−1
2)n ]，
当n 为奇数时，S n =23[1+(12)n ]≤2
3(1+12
)=1；
当n 为偶数时，S n =23
[1−(12
)n ]<23
． ∴ S n 的最大值为1．
17. 解：（1）函数f(x)=msinx +√3cosx 的最大值√m 2+3=2， 解得：m =1，
∴ f(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π
3)， ∵ x ∈[0, π]， ∴ x +π
3
∈[π3
, 4π
3
]，
∴ sin(x +π
3)∈[−
√3
2
, 1]， 则f(x)在[0, π]上的值域为[−√3, 2]；
（2）化简得：f(A −π
3
)+f(B −π
3
)=sin(A −π
3
)+√3cos(A −π
3
)+sin(B −π
3
)+√3cos(B −
π3
)
=sinAcos π3−cosAsin π3+√3cosAcos π3+√3sinAsin π3+sinBcos π3−cosBsin
π
3+√3cosBcos π3+√3sinBsin π
3
=2sinA +2sinB
=8sinAsinB ，
即sinA +sinB =4sinAsinB ，
由正弦定理a
sinA =b
sinB =2R =4，化简得：a
4+b
4=4⋅a
4⋅b
4， 整理得：1
a +1
b =1．
18.
（1）证明：在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1
为平行四边形， ∵ AA 1=AB ，
∴ 四边形ABB 1A 1为菱形， ∴ AB 1⊥A 1B ，
∵ AB 1⊥BC ，A 1B ∩BC =B ， ∴ AB 1⊥平面A 1BC ，…
（2）解：∵ BC ⊥AB ，BC ⊥AB 1，∴ BC ⊥平面ABB 1A 1， ∴ 平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1 过A 1作A 1H ⊥AB ，垂足为H ∴ A 1H ⊥平面ABCD ，… ∴ V =
(1+2)⋅√3
2
⋅√3=9
2．…
19. 解：（1）如图，设小乐所拼的正三棱锥P −ABC 的三条侧棱分别记为a ，
b ，
c ，底面正三角形ABC 的三边分别记为
d ，
e ，
f ，
从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条，共有15种选法，分别为：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，(d, e)，(d, f)，(e, f)…
因为l =1,s =√2，由勾股定理可知∠APB =∠APC =∠BPC =90∘，
又正三棱锥的对棱互相垂直，所以其中两条棱互相垂直的选法共有6种，分别为：(a, b)，(b, c)，(a, c)，(a, d)，(b, e)，(c, f)，
记事件“两条棱互相垂直”为A ，所以所求概率为P(A)=6
15=2
5．…
（2）由题意，l =1，s =2时不能拼成正三棱锥，所以可以拼出5个正三棱锥，依次为 ①l =1,s =√2，X =2
5
；②l =√2，s =1，X =1
5
；③l =√2，s =2，X =2
5
；
④l =2，s =1，X =15；⑤l =2，s =√2，X =1
5；
从中任选两个，共有10种选法，所选的两个正三棱锥的X 值相同共有4种选法， 所以他所选的两个正三棱锥的X 值相同的概率为4
10=2
5． 20. 解：（1）由题意知，a 2−b 2=4，4
a 2+2
b 2=1， 解得 a 2=8，b 2=4． ∴ 椭圆G 的方程为 x 2
8+
y 24
=1．…
（2）图形|x|+|y|≤
2√63围成一个以(±2√63,0)，(0, ±2√6
3
)为顶点的正方形区域， 设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， ∵ OA →
⊥OB →
，∴ OA →
⋅OB →
=x 1x 2+y 1y 2=0，
(I)当直线l 的斜率不存在时，设直线l:x =m ，则A(m, y 1)，B(m, −y 1)， 点A 在椭圆上，
m 28
+
y 1
24
=1，OA →
⊥OB →
，m 2−y 12=0，
解得m 2=8
3，此时直线l:x =2√6
3
，和x =−
2√6
3
与图形|x|+|y|有且只有一个公共点，
分别为(
2√63，0)，(−2√6
3
,0)．… (II)当直线l 的斜率存在时，设直线l:y =kx +n ， 代入x 2
8+
y 24
=1，得(2k 2+1)x 2+4knx +2n 2−8=0，
x 1+x 2=−4kn
2k 2+1，x 1⋅x 2=2n 2−8
2k 2+1， ∴ y 1⋅y 2=(kx 1+n)⋅(kx 2+n)=
n 2−8k 22k 2+1
，
∵ x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0，∴ 3n 2=8(k 2+1)，①… 又∵ 坐标原点O(0, 0)到直线l 的距离为d =√k 2+1
，②
由①②，得d =
√k 2+1
=
2√6
3是一个定值， ∴ 直线l 总与圆x 2+y 2=83
相切， 而圆x 2+y 2=8
3是图形|x|+|y|≤2√6
3
围成的正方形的外接圆， ∴ 当k =0，n =±2√6
3时， 直线l:y =2√6
3或l:y =−
2√6
3
与图形|x|+|y|≤
2√6
3
有且只有一个公共点， 分别为(0, 
2√63
)，(0, −
2√63
)，
当k ≠0时，直线l:y =kx +n 与图形|x|+|y|≤
2√6
3
没有公共点， 综上所述，当直线l 的斜率不存在或斜率为0时， l 与图形|x|+|y|≤
2√6
3
有且只有一个公共点； 当直线l 的斜率存在且不为0时，l 与图形|x|+|y|≤
2√6
3
没有公共点． 21. 解：（1）f 1(x)=x 2在集合A 中．理由如下：设m ，n ∈[−1, 1]，且m ≠n ，则 |f 1(m)−f 1(n)|=|m 2−n 2|=|(m +n)(m −n)|=|m +n|⋅|m −n| ≤(|m|+|n|)⋅|m −n|≤2|m −n|≤3|m −n|
∴ f1(x)=x2在集合A中…4分
（2）∵ 对于任意的m，n∈[−1, 1]，有|a(m+n)+b|≤3恒成立，
∴ 令u=m+n∈[−2, 2]，则|au+b|≤3恒成立，|au+b|max≤3
∵ |au+b|≤|au|+|b|≤|2a|+|b|
∴ |2a|+|b|≤3
∴ |2a+b|≤|2a|+|b|≤3即2a+b∈[−3, 3]…7分
当m，n∈[−1, 1]且m≠n时，有|f(m)−f(n)|=|(am2+bm)−(an2+bn)|=|a(m+ n)+b||m−n|
又∵ 对任意的m，n∈[−1, 1]，|a(m+n)+b|≤3恒成立，
∴ |f(m)−f(n)|=|a(m+n)+b||m−n|≤3|m−n|成立，
∴ f(x)=ax2+bx在集合A中…9分
（3）由f(−2)=6，可知b=2a−3又因为2a+b∈[−3, 3]
∴ 2a+b=4a−3∈[−3, 3]∴ a∈[0, 3
2
]
①当a=0时，b=−3，f(x)=−3x是减函数，|f(−2)|=|f(2)|=6
∴ t=2...10分
②当a∈(0,3
2
]时，f(x)=ax2+(2a−3)x
该函数表示开口向上的抛物线，对称轴x=3−2a
2a ≥0，f(−2)=f(3
a
)=6，最小值为
f(3−2a
2a )=−(2a−3)2
4a
(I)当−(2a−3)2
4a ≥−6时，即4a2−36a+9≤0，解得9−6√2
2
≤a≤3
2
若|f(x)|≤6在x∈[−2, t]恒成立，此时t的最大值为f(x)=6的解x1=−2，x2=3
a
中较大的根，所以
t=3
a
...12分
(II)当−(2a−3)2
4a <−6时，即4a2−36a+9>0，解得0<a<9−6√2
2
此时，令f(x)=−6，解得x=3−2a±√4a2−36a+9
2a
，
若|f(x)|≤6在x∈[−2, t]上恒成立，则t为其中较小的根，
∴ t=3−2a−√4a2−36a+9
2a
综上所述，t=
{2,(a=0)
3−2a−√4a2−36a+9
2a ,(0<a<9−6√2
2
)
3 a ，(9−6√2
2
<a<3
2
)
…14分。