演示课件材料力学能量法.ppt

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先加F1后加F2 F1
F2
先加F2后加F1 F1
F2
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
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三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理 线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
……
Di*= di1F1 * +di2 F2 * + … +diiFi * … +dinFn *= lDi
……
注意：带星号上标的载荷和位移都是中间值，所 以是变数，随着l的变化而变化。
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Ve
W
n i 1
1 2
Fi Di
线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其 对应位移乘积之半的总和。
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组合变形
M
据Clapeyron原理，
微段dx上
dVe
dW
1 2
FNd (Dl )
1 Mdq
2
1 Tdj
2
FN2dx M 2dx T 2dx
dx
2EA 2EI 2GIP
整个杆件的应变能为
Ve
FN2
(
x
)
dx
l 2EA
M2 (x)
dx l 2EI
T2 (x)
dx l 2GIP
T
FN
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已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ）
③求外力功W 和应变能Ve
W
1 2
FwA
Ve
l M 2dx 0 2EI
l (Fx)2 dx F 2l3
0 2EI
6EI
1
F 2l3
2 FwA 6EI
F
FF
F
l
Dl Fl
EA
Ve
W
1 FDl 2
F 2l 2EA
FN2l 2EA
FN为变量时
Ve
FN2 (x) d x l 2EA
Dl Dl
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2、扭 转
Me j Mel
GI P
Me Me
j j
Ve
W
1 2
M
ej
M e2l 2GIP
T 2l 2GIP
T为变量时
T 2 (x)
Ve
dx l 2GIP
有位移dA 和dB 。在结构A点的新位置（无装配应力位置）
重新安装铰链后， 在B点作用一向下的载荷 F，求此时铰 链A的约束力（设结构保持线弹性）。
A
FA
dA
A
B FA1
F
dB
B
解：第一种情况下，A处的约束力为FA1， 第二种情况下，A处的约束力为FA。
由功的互等定理有 FAd A FdB FA1 0 0
Fj 先加Fj Fi
j
Djj Dji
O Dij
Fi
Di
Dii
W
1 2
Fj D jj
1 2
Fi Dii
Fj D ji
Fj
Fj
先加Fi 后加Fj外力功为 W W
1
1
W 2 FiDii 2 Fj D jj FiDij
O Djj
Dj
Dji
FiDij FjD ji
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W
1 2
Fi Dii
即 D1= d11F1+d12F2+ … +d1iFi + … +d1nFn
……
Di= di1F1+di2F2+ … +diiFi + … +dinFn
……
其中dij 是与载荷无关的常数。
注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。
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设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷 在位移增量上所作的元功为：
Fn D n
n i 1
1 2
Fi Di
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设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
加载过程中 ，任一时刻的位移为：
D1*= d11F1* +d12 F2 * + … +d1iFi * … +d1nFn *=lD1
外力功和变形能不符合叠加原理
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F D F D i ij
j ji
功的互等定理
注：力系、位移均为广义的。
线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于 乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组 力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第 二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。
Fi
F1
F2
Fi
D1
D2
Di
图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点
位移都不是单个力引起的，是所有力共同作用下
的位移。D1既有F1的作用，也有F2 ， Fi 的作用。 所以Clapeyron原理不符合叠加原理。
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注意
1、Clapeyron原理只适用于线弹性，小变形体； 2、Di 尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是Fi 一
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应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次 函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几 种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载 荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。
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第十章 能量法
§10.1 概 述
一、能量法
利用能量原理解决力学问题的方法。
可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。
二、外力功与应变能
1
1
2 FDl3 2 (F1Dl1 F2Dl2 F3Dl3)
A Dl1
F （1） Dl3
由平衡方程和对称条件有 F1 F2，Dl1 Dl2 （2）
2F1 cos F3 F （3）
（2）、（3）代入（1）得 Dl3 cos Dl1 变形几何方程
（1）考虑物理方程得
F F3l F12l F22l F32l
第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC 。
由功的互等定理 FwC l[qdx w(x)] qAw
Aw
FwC q
5Fl 4 384EI
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装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理
求C处的约束力。
F
解：解除C处约束的工件可 简化为悬臂梁，F、FC作为 第一组力。悬臂梁在C处加 单位力1作为第二组力。
1 2
FjD jj
Fi Dij
1 2
Fi Dii
1 2
FjD
jj
1 2
Fi Dij
1 2
Fi Dij
FiDij Fj D ji
1 2
Fi Dii
1 2
Fj D
jj
1 2
Fi Dij
1 2
Fj D
ji
1 2
Fi
(Dii
Dij
)
1 2
Fj
(D
jj
D
ji
)
1
1
2 FiDi 2 FjD j
Clapeyron原理
wA
Fl 3 3EI
()
仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，
其它位移的求解有待进一步研究功能原理。
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图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。 B C
D
①由平衡方程，通过功能原理导出变形几 何方程；②由平衡方程结合功能原理求出 各杆内力。
l
解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。
由功能原理有
定
FiDi j =FjDj i
理
若 Fi = Fj =1(无量纲) 称为单位力
d i j =d j i
单位力1作用在 i点
Di 简称为与力Fi (相)对应的位移。
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外力功属于静载作功。
静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性 体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W D F d D 0
F
F—D 图下方面积
对于线弹性体 W 1 FD 2
F
D
F dD D
F
F为广义力，D为广义位移。
D
D
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弹性固体的应变能
一、外力功与应变能 1、外力功W 载荷在其作用点位移上所作的功。 (1) 常力作功
F AF B D
W=FD
M
q
M
W=Mq
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1
(2) 静载作功 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性
体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W D F d D 0
F
F—D图下方面积
EA EAcos EAcos EA
（2）、（3）代入上式并化简得得 F3 cos2 F1
几何方程 和物理方 程的联立
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§10.2 互等定理
一、外力功的计算
Fi —— 广义力（集中力，力偶） Di —— 广义位移（线位移，角位移） Fi 为集中力，Di为该力作用点沿力方向的线位移； Fi为力偶，则Di为该力偶作用面内沿力偶转向的角 位移（转角）。
F
解：沿杆件轴线加相同的一对力
下图中
Dh h Fh F
E Ebh bE
l
h
b
F
Dl Dh F
F
bE
l
hF
b
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力F作用在 j点 i Dij
位移互 等定理
力F作用在 i点 F i
F j
D i j =D j i
j Dji
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单位力1作用在 j点
1
位
i
j
移
dij
互
等
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二、外力功与变形能的特点
外力功的数值与加载顺序无关，
只与载荷与位移的最终数值有关。
加载顺序：
F1, F2, …Fi，… F2, F1, … Fj，…
……………
不同时加载，加载顺 序不同，外力功不变。
如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现 什么结果？
按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还 能守恒么？——反证法！
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3、平面弯曲 纯弯曲
1 dq M d x EI
dq
dq M d x
EI
Ve
W
1M 2
dq
M2dx 2EI
横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当 l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3﹪。
横力弯曲M(x)为变量
Ve
M 2 (x) d x l 2EI
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1、外力功W F
F从零逐渐增加到最终值， 变形亦缓慢增加最终值。
D
载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。
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2、应变能 弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。
三、功能原理
条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性） （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。
原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve = W
个力引起的，而是所有力共同作用的结果，即 它是 i 点实际的总位移； 3、Di 是Fi 对应的位移，Fi为集中力，Di则为线位 移，Fi为集中力偶，Di则为角位移； 4、Fi Di 为正时，表明Fi作正功，Di 与Fi 方向 （或转向）相同；为负则表示Di 与Fi 方向 （或转向）相反。
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FA
dA dB
F
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五、位移互等定理
功的互 等定理
FiDij Fj D ji
若 Fi = Fj =F
则 Di j = Dj i
线弹性体上作用在 j 处的一个力引起 i 处的 位移，等于它作用在 i 处引起 j 处的位移。
图示杆件在中央受一对大小相等，方向相反的力作用，材料处于线弹性
状态，求杆件的伸长Dl。
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先加Fi
Fi
i
Dii Dij
外力功为
后加Fj
Fi
Fj j
Dji Djj
Fi
O Dii
Dij
Di
Fj
W
1 2
Fi Dii
1 2
FjD
jj
FiDij
O
Dji
Fj
Dj
Djj
外力功W 与加载顺序无关，改变加载 顺序可得到相同的外力功。
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后加Fi i Fi
Dij Dii
外力功为
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四、功的互等定理(线弹性体)
Fi
i
j
Dii
Dji
Fj
i
j
Dij
Djj
位移 位移D的第一个下标表示某点处的位移， 命名 第二个下标表示由那点的力引起的位移。
Dii和 Dij第一个下标i表示i点的位移，第二个下标i和j分别表示 是由i点和j点的力引起的位移， Dji和 Djj亦可以类推得到。
F
D
dD D
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2
对于线弹性体
F
W 1 FD
F
2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。
由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
即 Ve =W
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二、线弹性体的应变能
1、轴向拉压
i
j
Dii
Dji
Fj
i
j
Dij
Djj
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抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度
wC
=
5ql 4 384EI
，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中
载荷F时，梁挠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线与原始轴线所围成的面积。
解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为w(x)。
挠曲线与原始轴线围成的面积 Aw l w( x)dx
dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn*
=lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn)
=(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl
外力作的总功为：
1
W (F1D1 +
+FiDi +
+ FnDn )
ldl
0
1 2
F1D1 +
+
1 2
Fi Di
+
+
1 2
A
BC
a
l
FC
wB
a3 3EI