2015届高考理科数学第二专题整合检测题40

补偿练2 函数与导数(一)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是 ( )．
A ．f (x )＝x 2＋x
B ．f (x )＝tan x
C ．f (x )＝x ＋sin x
D ．f (x )＝lg
1－x
1＋x
解析 函数f (x )＝x 2＋x 不是奇函数；函数f (x )＝tan x 的定义域不是R ；函数f (x )＝lg 1－x
1＋x 的定义域是(－1,1)，因此选C.
答案 C
2．式子2lg 2－lg 1
25的值为 ( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 2lg2－lg 1
25＝lg 4＋lg25＝lg100＝2. 答案 B 3．函数f (x )＝
1
2x
－1
＋ln(x －1)的定义域是 ( )．
A ．(0，＋∞)
B ．(1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(0,1)∪(1，＋∞)
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＞1，
x －1＞0，
得x ＞1，故函数的定义域是(1，＋∞)．
答案 B
4．下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0”的是
( )．
A．f(x)＝1
x－x B．f(x)＝x
3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x
解析“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”等价于在
(0，＋∞)上f(x)为减函数，易判断f(x)＝1
x
－x符合．
答案 A
5．函数f(x)＝e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()．
A.π
4B．0
C.3π
4D．1
解析由f’(x)＝e x(cos x－sin x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f’(0)
＝1，故倾斜角为π
4.
答案 A
6．设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是增函数”是“函数g(x)＝x a在R上是增函数”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析函数f(x)＝a x在R上是增函数，即a＞1；但当a＝2时，函数g(x)＝x2
在R上不是增函数．函数g(x)＝x a在R上是增函数时，可有a＝1
3
，此时函数f(x)＝a x在R上不是增函数．
答案 D
7．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝
()．
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函数，
∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，
∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
答案 C
8．设函数f(x)＝log a|x|在(－∞，0)上单调递增，则
f(a＋1)与f(2)的大小关系是()．A．f(a＋1)＞f(2) B．f(a＋1)＜f(2)
C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，根据函数f(x)为偶函数，可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)＞f(2)．
答案 A
9．函数f(x)＝1
4x
2＋2cos x＋2的导函数f′(x)的图象大致是()．
解析∵f′(x)＝1
2x－2sin x，显然是奇函数，
∴排除A.当x→∞时，f′(x)→＋∞，
∴排除D.而[f′(x)]＝1
2
－2cos x＝0有无穷多个根，∴函数f′(x)有无穷多个单调区间，排除C.故选B.
答案 B
10．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间(1
2，3)上有零点，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，52)
D ．[2，10
3)
解析 因为f (x )＝x 2－ax ＋1在区间(12，3)上有零点，所以x 2－ax ＋1＝0在(1
2，3)上有解．由x 2－ax ＋1＝0，得a ＝x ＋1x ，设g (x )＝x ＋1x ，则g ′(x )＝1－1
x 2，令g ′(x )＞0，得g (x )在(1，＋∞)，(－∞，－1)上单调递增，令g ′(x )＝1－1
x 2＜0，得g (x )在(－1,1)上单调递减，因为12＜x ＜3，所以g (x )在(1
2，1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以当1
2＜x ＜3时， 2≤g (x )＜103，所以a ∈[2，10
3)． 答案 D
11．设函数f (x )＝x e x ，则
( )．
A ．x ＝1为f (x )的极大值点
B ．x ＝1为f (x )的极小值点
C ．x ＝－1为f (x )的极大值点
D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ， 当x ＞－1时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增， 当x ＜－1时，f ′(x )＜0，函数f (x )递减， 所以当x ＝－1时，f (x )有极小值． 答案 D
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x ≥2，
x 2－3，x ＜2，
若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不等的实根，
则实数k 的取值范围是 ( )．
A ．(－3,1)
B ．(0,1)
C ．(－2,2)
D ．(0，＋∞)
解析
由函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2
x ，x ≥2，
x 2－3，x ＜2
的图象可知，要使关于x 的方程f (x )＝k
有三个不等的实根，则需直线y ＝k 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，所以有0＜k ＜1，所以关于x 的方程f (x )＝k 有三个不等的实根的实数k 的取值范围是(0,1)． 答案 B 二、填空题
13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x
(x ≤0)，log 2x (x ＞0)，
则f [f (1
2)]＝__________.
解析 f (12)＝log 21
2＝－1， ∴ f [f (12)]＝3－1＝13. 答案 1
3 14．函数f (x )＝ln
1
|x |＋1
的值域是__________． 解析 因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1，所以0＜
1|x |＋1≤1，所以ln 1|x |＋1
≤0，即f (x )＝ln
1|x |＋1
的值域为(－∞，0]．
答案 (－∞，0]
解析
答案 π4－1
2
16．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上单调递减，则4a ＋b 的最大值为________．
解析 ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∵函数f (x )在区间 [－2,2]上单调递减，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≤0在[－2,2]上恒成立． ∵a ＞0，∴－
2a 2×3
＝－a
3＜0，∴f ′(x )max ＝f ′(2)≤0，即4a ＋b ≤－12， ∴4a ＋b 的最大值为－12. 答案 －12
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。

莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。