2024-2025学年河北省石家庄五十四中九年级(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年河北省石家庄五十四中九年级（上）第一次月考
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一组数据−2，5，3，7，增加一个数据后，众数为7，则增加数据后中位数是( )
A. 5
B. 3
C. 4
D. 7
2.已知x=3是关于x的一元二次方程x2−x−2a=0的一个解，则a的值为( )
A. −6
B. −3
C. 6
D. 3
3.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<1
B. k<1且k≠0
C. k≠0
D. k>1
4.如图，靠墙建一个面积为100平方米的仓库，并在与墙平行的一边开一
道宽1米的门，现有长28米的木板，设仓库宽为x米，根据题意，下面所列
方程正确的是( )
A. x(28−2x)=100
B. x(28−2x+1)=100
C. x(28−x)=100
D. x(28−x+1)=100
5.如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 10
3
6.如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为
D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( )
①△ABC与△DEF位似；②△ABC与△DEF周长比为2：1；③△ABC与
△DEF面积比为2：1；④△ABC与△DEF是相似图形．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )
A. 4
sinθ米 2 B. 4
cosθ
米 2 C. (4+4
tanθ
)米 2 D. (4+4tanθ)米 2
8.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
9.已知点A(1,y1)，B(2,y2)在反比例函数y=−3
x
的图象上，则下列结论正确的是( )
A. y1<y2<0
B. 0<y1<y2
C. y2<y1<0
D. 0<y2<y1
10.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC=2：3，AE交BD于F，则S△BEF：
S四边形AECD等于( )
A. 1：6
B. 1：14
C. 4：31
D. 4：25
11.如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( )
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30
12.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则cos∠BDE的值是( )
A. 22
3
B. 1
4
C. 1
3
D. 2
4
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.若关于x的一元二次方程x2+mx−3n=0的一个根是3，则m−n的值是______．
14.琪琪同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y(单位：秒)与训练次数x(单位：次)之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
(1)y与x之间的函数关系式为______；x取值范围是______．
(2)当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较(y1−y2)与(y2−y3)的大小：y1−y2
______y2−y3．
)2=0，则∠A=______，∠B=
15.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanA−3|+(cosB−1
2
______．
16.在△ABC中，AB=122，AC=13，cos∠B=2
，则BC边长为______．
2
三、解答题：本题共5小题，共40分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)
计算．
(1)x2+x−12=0；
(2)cos45°+3tan30°−2sin60°．
18.(本小题8分)
一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价
措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为______件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
19.(本小题8分)
如图1，A，B，C是郑州市二七区三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AB=60米，6位环卫工人分别测得的BC长度如下表：
甲乙丙丁戊己
BC(单位：m)
1049810296100100
他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列不完整的统计图2．
(1)表中的中位数是______，众数是______，BC长度的平均数−x=______；
(2)求A处的垃圾量，并将图2补充完整；
(3)用(1)中的x作为BC的长度，要将A处的垃圾沿道路AC都运到C处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.05元，求运垃圾所需的费用．
20.(本小题8分)
修建隧道可以方便出行．如图：A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要爬坡到山顶C地，再下坡到B 地．若打通穿山隧道，建成直达A，B两地的公路，可以缩短从A地到B地的路程．已知：从A到C坡面的坡度i=1：3，从B到C坡面的坡角∠CBA=45°，BC=42公里．
(1)求隧道打通后从A到B的总路程是多少公里？(结果保留根号)
(2)求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少公里？(结果精确到0.01)(2≈1.414，3
≈1.732)
21.(本小题8分)
已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，三角形ACD沿AC方向以速度为1cm/s匀速平移得到三角形PMN时，同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s.当三角形PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为t(s)(0<t<4)，解答下列问题：
(1)当t为何值时PQ⊥AC？
(2)求是否存在某一时刻t，S△PQC：S四边形ABQP=1：35，求出t的值．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.B
5.D
6.C
7.D
8.B
9.A
10.B
11.B
12.A
13.−3
14.y=1200
x
x>0>
15.60°60°
16.7或17
17.解：(1)x2+x−12=0，
(x+4)(x−3)=0，
∴x+4=0或x−3=0，
得x1=−4，x2=3；
(2)原式=2
2+3×3
3
−2×3
2
，
=2
2
+3−3，
=2
2
．
18.解：(1)26；
(2)解：设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得(40−x)(20+2x)=1200，
整理得x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
故x=10．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
19.100100100
20.解：(1)作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，∵∠CBA=45°，BC=42，
∴CD=BD=4．
在Rt△ACD中，
∵i=1：3=CD
，
AD
∴AD=3CD=43，
∴AB=(43+4)公里．
答：隧道打通后从A到B的总路程是(43+4)公里．
(2)在Rt△ACD中，
∵i=1：3=CD
，
AD
∴∠A=30°，
∴AC=2CD=2×4=8，
∴AC+CB=8+42．
∵AB=43+4，
∴AC+CB−AB=8+42−43−4≈2.73(公里)．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短2.73公里．21.解：(1)如图1，在Rt△ABC中，AB=3cm，BC=5cm，
∴AC=4cm，
∵PQ⊥AC，AC⊥AB，
∴PQ//AB，
∴∠CPQ=∠CAB，∠CQP=∠CBA，∴△CPQ∽△CAB，
∴CP CA =CQ
CB
，
∵AP=t，CQ=t，
∴4−t
4=t
5
，
解得t=20
9
，
∴当t为20
9
时，PQ⊥AC；
(2)如图2，作PF⊥BC于点F，
∴∠CFP=∠CAB=90°，又∠CPF=∠CBA，∴△CPF∽△CBA，
∴CP BC =PF
AB
，即4−t
5
=PF
3
，
∴PF=3
5
(4−t)，
∵S△PQC：S四边形ABQP=1：35，
∴S△PQC=1
36
S△ABC，
1 2×t×3
5
(4−t)=1
36
×1
2
×3×4，
解得：t=6−31
3或t=6+31
3
．。