2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第2章 第1讲 函数及其表示

第1讲函数及其表示
一、知识梳理
1．函数与映射的概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解+析法、图象法、列表法．
[注意]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这
种函数称为分段函数．
[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
二、教材衍化
1．下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )
答案：C
2．下列哪个函数与y ＝x 相等( ) A ．y ＝x 2
x
B ．y ＝2
log 2x
C ．y ＝x 2
D ．y ＝(3
x )3
答案：D
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( )
(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区(1)对函数概念理解不透彻； (2)解分段函数不等式忽视范围．
1．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2
x
＋1
D ．y ＝x 2＋1
详细分析：选B.对于A.函数y ＝(
x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定
义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2
x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
2．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧|x |，x <1，
3x －5，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ．
详细分析：当x <1时，|x |≥1，所以x ≥1或x ≤－1. 所以x ≤－1；
当x ≥1时，3x －5≥1，所以x ≥2.
所以x ≥2；所以x 的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)
函数的定义域(多维探究) 角度一求函数的定义域
(2020·陕西汉中一模)函数f (x )＝
1
4－x 2
＋ln(2x ＋1)的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1
2，2 B.⎣⎡⎭⎫－1
2，2 C.⎝⎛⎦
⎤－1
2，2 D.⎝⎛⎭
⎫－1
2，2 要使函数f (x )有意义，需满足⎩
⎪⎨⎪⎧4－x 2>0，2x ＋1>0，解得－1
2
<x <2.所以函数f (x )的定义域为
⎝⎛⎭
⎫－12，2.故选D.
【答案】 D
求函数定义域的两种方法
[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
角度二 已知函数的定义域求参数
若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为
一切实数，则实数m 的取值范围是 ．
由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；
当m ≠0时，则⎩
⎨⎧m >0，
Δ＝m 2－4m ≤0， 解得0<m ≤4. 综上可得0≤m ≤4. 【答案】 [0，4]
已知函数定义域求参数取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．
1．函数f (x )＝
3x
x －1
＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．(0，2)
D ．[1，2]
详细分析：选B.要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，
2x －x 2
>0，
解得1<x <2. 所以函数f (x )＝
3x
x －1
＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)．
2．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
详细分析：选D.因为－2x ＋a >0， 所以x <a 2，所以a
2
＝1，所以a ＝2.
3．(2020·山东安丘质量检测)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫
12x ＋8－2x 的定义域为( )
A ．[0，3]
B ．[0，2]
C ．[1，2]
D ．[1，3] 详细分析：选A.由题意，可知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，
8－2x ≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域
为[0，3]，故选A.
函数的解+析式(师生共研)
(1)已知f ⎝⎛⎭⎫
2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解+析
式为 ．
(2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解+析式为 ． (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解+析式为 ． (1)(换元法)令2
x ＋1＝t ，由于x >0，
所以t >1且x ＝2
t －1，
所以f (t )＝lg 2
t －1，
即f (x )的解+析式是f (x )＝lg
2
x －1
(x >1)． (2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.
所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，
所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，
所以所求函数的解+析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
【答案】(1)f(x)＝lg
2
x－1
(x＞1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x 求函数解+析式的4种方法
1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝ ． 详细分析：法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －1
2，
所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122
－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，
所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．
法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．
法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .
因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－5，
c ＝9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )
2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝ ．
详细分析：因为－1≤x ≤0，所以0≤x ＋1≤1，所以f (x )＝12f (x ＋1)＝1
2
(x ＋1)[1－(x ＋1)]
＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－1
2
x (x ＋1)．
答案：－1
2
x (x ＋1)
分段函数(多维探究) 角度一 求分段函数的函数值
(1)(2020·合肥一检)已知函数f (x )＝
⎩⎪⎨
⎪⎧x ＋1x －2，x >2，
x 2＋2，x ≤2，
则f (f (1))＝( ) A ．－1
2
B ．2
C ．4
D ．11
(2)(2020·山西太原三中模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），若f (m )＝3，则f ⎝⎛⎭⎫5
2－m
＝ ．
(1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋
1
3－2
＝4.故选C. (2)当m ≥2时，m 2－1＝3，所以m ＝2或m ＝－2(舍)； 当0<m <2时，log 2m ＝3，所以m ＝8(舍)． 所以m ＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝log 21
2＝－1. 【答案】 (1)C (2)－1
分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解+析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度二 分段函数与方程、不等式问题
(1)(一题多解)设f (x )＝
⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，
若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫
1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2－
x ，x ≤0
1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的
取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(0，＋∞)
C ．(－1，0)
D ．(－∞，0)
(1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1， 所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ， 所以a ＝1
4
.
此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，
所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6，故选C.
法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数，
当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， 所以a ＝2(a ＋1－1)， 所以a ＝1
4.
所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝6.
(2)法一：①当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ≤0，
即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)
＜－2x ，解得x ＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0
时，不等式组无解．
③当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ≤0，
即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解
集为(－1，0)．
④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，
即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．
综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.
法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，
1，x ＞0，
所以函数f (x )的图象如图所示．
由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .
此时x ≤－1.
当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.
综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)． 故选D.
【答案】 (1)C (2)D
有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．
1．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫
－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2
D ．－4
详细分析：选B.由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83. f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
详细分析：选D.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时．不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
3．(2020·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，
2x ，x ≥0.
若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，
则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ ．
详细分析：由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a .解得a ＝1
4，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝8，
当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，无解． 答案：8
核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题
所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
(2020·陕西延安模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整
点，若函数f (x )的图像恰好经过n (n ∈N ＋)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：
①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x
；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④
D ．④
对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；
对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；
对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x
，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.
【答案】 C
本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解.
1．若一系列函数的解+析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解+析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
详细分析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±2，所以函数的定义域可以
是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．
2．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；
(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2<0.
①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ； 以上三个函数中， 是“优美函数”．
详细分析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②
[基础题组练]
1．函数y ＝1
ln （x －1）的定义域为( )
A ．(1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(1，2)∪(2，＋∞)
D ．(1，2)∪[3，＋∞)
详细分析：选C.由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝
1
ln （x －1）
的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．
2．已知f ⎝⎛⎭⎫1
2x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－7
4
B.74
C.43 D ．－43
详细分析：选B.令t ＝1
2x －1，则x ＝2t ＋2，
所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1， 所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝7
4
.
3．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x ≤0），
f （x －3）（x >0），
则f (5)的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．0
D.1
2
详细分析：选D.f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝1
2.故选D.
4．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2
＋1x 2＋1
x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)
D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)
详细分析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t
＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．
5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，
－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝ ，函数f (x )的值域是 ．
详细分析：因为f (2)＝1
2，
所以f (f (2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－12－2＝－5
2. 当x >1时，f (x )∈(0，1)， 当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， 所以f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－5
2
[－3，＋∞)
6．若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解+析式为 ．
详细分析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－1
2
x ，所以
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.
答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2
7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，
－（x －1）2，x ＞0，则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是 ．
详细分析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，
－（x －1）2≥－1，
解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4，2]． 答案：[－4，2]
8．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，
2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．
(1)求f (x )的解+析式； (2)画出f (x )的图象．
解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，
－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝
⎩⎨⎧－x ＋1，x <0，
2x
，x ≥0.
(2)f (x )的图象如图所示．
[综合题组练]
1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －
1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x
（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
详细分析：选B.①y ＝3－x 的定义域与值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，
③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x （x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.
2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：对任意的x ∈R ，
(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )
A ．(f ·f )(x )＝f (x )
B ．(f ·g )(x )＝f (x )
C ．(g ·f )(x )＝g (x )
D ．(g ·g )(x )＝g (x )
详细分析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，
f 2
（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，
(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.
3．(2020·河南驻马店模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x
＋1，x ≤0，
－x ，x >0，
则f (x ＋1)－9≤0的解集
为 ．
详细分析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＋1，x ≤0，
－x ，x >0，
所以当x ＋1≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，
2－（x ＋1）－8≤0，解得－4≤x ≤－1；
当x ＋1>0时，⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，
－x ＋1－9≤0，
解得x >－1.
综上，x ≥－4，即f (x ＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)． 答案：[－4，＋∞)
4．(创新型)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f (x )＝x 2；②f (x )＝1
x －1
；
③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2sin x －1.
其中是“美丽函数”的序号有．
详细分析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③。