人教版数学七年级下册第七章7．4 课题学习 镶嵌课时同步训练

第七章 三角形
7．4 课题学习 镶嵌
课前预习篇
1．平面镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，在几何中叫平面镶嵌．
2．平面镶嵌分为用正多边形镶嵌和用一般多边形镶嵌，如果只用一种正多边形进行镶嵌，则 正三角形，正方形，正六边形 可形成平面镶嵌．
典例剖析篇
【例1】如果只有一种正多边形镶嵌，请问这些正多边形是哪些正多边形，为什么只有这些正多边形能形成平面镶嵌？
【解析】用几何图形镶嵌的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好能组成一个周角，所以能够单独进行多边形镶嵌的正多边形的每一个内角必须是360的约数． 解：只用一种正多边形镶嵌，这些正多边形是正三角形，正方形和正六边形．
因为单独用一种正多边形镶嵌，必须满足条件n n 180)2(360⋅-÷
为正整数，即22-n n 为正整数，所以当n=3，4，6时，2
2-n n 的解为正整数，这样就确定了正多边形的边数． 【例2】一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的两个是正六边形，那么另外两个图形为（ ）
A ．正三角形
B ．正四边形
C ．正五边形
D ．正六边形
【解析】正六边形每个内角度数为120°，在一个顶点处有两个正六边形，则所成角为240°，要想铺满地面，还有120°，因为题中指明个数为2，所以是每个内角为60°的正三角形．
【答案】 A
基础夯实篇
1．（2009广州）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ C ）
A ．正十边形
B ．正八边形
C ．正六边形
D ．正五边形
2．（2010湛江）小亮的父亲想购买同一种大小一样、形状相同的地板砖铺设地面，小亮根据所学知识告诉父亲，为了能够做到无缝隙、不重叠地铺设，购买的地板砖形状不能是（ C ）
A ．正三角形
B ．正方形
C ．正五边形
D ．正六边形
3．（2010 龙岩）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ C ）
A ． 正三角形
B ． 正方形
C ． 正五边形
D ． 正六边形
4．（2009 烟台）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正
八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ B ）
A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
5．下列正多边形的组合中，能够铺满地面（即平面镶嵌）的是 （ A ）
Ａ．正三角形和正四边形 Ｂ．正四边形和正五边形
Ｃ．正五边形和正六边形 Ｃ．正六边形和正八边形
6．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是（ D ）
Ａ．正方形 Ｂ．正六边形
Ｃ．正十二边形 Ｄ．正十八边形
7．用下面的一种多边形不能铺满地面的是（ C ）
Ａ．任意三角形 Ｂ．梯形
Ｃ．正十二边形 Ｄ．平行四边形
8．如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是 60 度．
决胜中考篇
9．为什么只用同一种正五边形不能形成平面镶嵌？
解：因为正五边形的每个内角为：5
180)25(⨯-=108°，假设用正五边形可以形成平面镶嵌，设在每一个拼接点处有n 个角，则108×n=360，n=108
360,此时n 不是正整数， 故用同一种正五边形不能形成平面镶嵌．
10．（2010德州）粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD ），已知每支粉笔的直径为12mm ，由此估算矩形ABCD 的周长约为__300__ mm ．(313.7≈，结果精确到1 mm)
11．（2010青岛）问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着4个正方形的内角．
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 3 个正六边形的内角． 问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 第16题第16题 A B C D
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180
903608x y -⨯+• =，整理得：238x y +=，我们可以找
到惟一一组适合方程的正整数解为⎩⎨⎧==2
1y x 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2： 在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一
个周角．根据题意，可得方程： 60120
360a b +=．整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为⎩⎨⎧==22b a 和⎩⎨⎧==1
4b a ．
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3： 是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程： 6090120360m n c ++=，
整理得：23412m n c ++=，
可以找到惟一一组适合方程的正整数解为⎪⎩
⎪⎨⎧===121c n m
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
O。